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2025—2026学年九年级数学上学期第一次月考卷03
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列函数表达式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列事件可能性大小正确的是（ ）
A．从一副张的扑克牌中抽出一张红桃的可能性是
B．掷一枚骰子得到的点数是奇数的可能性是
C．从写有的数字卡片中任意抽取一张，得到的数小于的可能性是
D．从装有个红球和个白球的袋子里任意摸出一个红球的可能性是
3．在同一平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）和一次函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．，，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（ ）
A．转动转盘后，出现比5小的数
B．转动转盘后，出现奇数
C．转动转盘后，出现能被3整除的数
D．转动转盘后，出现能被5整除的数
7．从长度为3，5，7，m（其中m为整数）的四条线段中任取三条，使它们首尾顺次相接能组成三角形的概率为，则m的值应为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，该图像与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
9．小明受二次函数的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
10．从－3，1，－2这三个数中，任选两个数的积作为k的值，则使正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限的概率是( )
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知点，，在函数的图像上，则，，的大小关系是 ．
12．在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为 粒．
13．一个袋子中装有5个白球和若干个红球（袋中每个球除颜色外其余都相同）．某活动小组想估计袋子中红球的个数，分20个组进行摸球试验．每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为6000次．估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是 ．
14．一个不透明的盒子里装有2个红球，3个白球，这些球除颜色外其它均相同，现从中随机地摸出一个小球，不放回，然后再从剩下的小球中随机摸出一个，则摸出的两个小球恰好都是红球的概率为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为 ．
16．已知点在抛物线上，则 ．（填“>”“<”或“=”）
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．已知函数．
(1)指出它的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标以及函数的最大值或最小值．
(2)当x取何值时，y随x的增大而减小？
18．如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为．
(1)求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标
(2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像．
19．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
(1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）；
(2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
(3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率．
20．如图，甲、乙两个可以自由转动的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘甲的扇形上分别标有数字，，8，转盘乙的扇形上分别标有数字，5，7（两个转盘除标有的数字不同外，其他完全相同）．转动转盘，待转盘自动停止后，其指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为指针指向的数字（若指针恰好停留在分界线上，则重新转动一次）．
(1)转动转盘甲，转盘甲的指针指向负数的概率是 ；
(2)分别转动甲、乙两个转盘，待转盘自动停止后，记录各指针指向的数字，请用列表或画树状图的方法，求记录的两数字之和为正数的概率．
21．中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求这20天中第几天销售利润为18000元；
(3)这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由．
22．已知抛物线与x轴的一个交点为，且过点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)将该二次函数的图象向左平移个单位，若抛物线再次经过点时，求的值．
23．某网店经营一种热销的小商品，若该商品的售价为每件元，第天（为正整数）的每件进价为元，与的对应关系如下（已知是的一次函数）：
第天 ……
每件进价（单位：元） ……
(1)直接写出与的函数关系式；
(2)统计发现该网店每天卖掉的件数，设该店每天的利润为元；
①求该店每天利润的最大值；
②若该店每卖一件小商品就捐元给某慈善组织，该店若想在第天获得最大利润，求的取值范围．
24．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
(3)若M，N为抛物线上的点，横坐标分别为，t，且，点M，N之间（包含端点）的函数图像称为图像P，设图像P的最高点与最低点的纵坐标分别为，，当时，求t的值．2025—2026学年九年级数学上学期第一次月考卷03
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C A C C A A D D
1．A
本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．
根据二次函数的定义判断即可．
A. 符合二次函数的定义，是二次函数；
B. 最高项次数不是2，不是二次函数；
C. 不是整式函数，不是二次函数；
D. 当时，，不是二次函数；
故选：A．
2．D
本题主要考查了可能性的计算，A选项中用红桃的牌数除以54即为抽出红桃的可能性；B选项中用中奇数的个数除以6可得点数是奇数的可能性；C选项中用中小于3的数字个数除以10可得任意抽取一张，得到的数小于的可能性；D选项中用红球个数除以球的总数可得任意摸出一个红球的可能性．
解：A、从一副张的扑克牌中抽出一张红桃的可能性是，原说法错误，不符合题意；
B、掷一枚骰子得到的点数是奇数的可能性是，原说法错误，不符合题意；
C、从写有的数字卡片中任意抽取一张，得到的数小于的可能性是，原说法错误，不符合题意；
D、从装有个红球和个白球的袋子里任意摸出一个红球的可能性是，原说法正确，符合题意；
故选：D．
3．C
本题主要考查二次函数及一次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数及一次函数的图像与性质是解题的关键；因此此题可分当和两种情况进行分类讨论，则问题可求解．
解：当时，则二次函数开口向上，一次函数图像经过第一、三、四象限，故排除B、D；
当时，则二次函数开口向下，一次函数图像经过第二、三、四象限，故排除A；C选项符合题意；
故选C．
4．A
本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；由题意易得抛物线的对称轴为直线，且开口向下，进而根据“开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大”进行排除选项即可．
解：由抛物线可知：抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
∵，，在抛物线上，
∴，
∴；
故选：A．
5．C
本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．根据题意列出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可．
解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花有：红黄、红白、红紫、黄白、黄紫、白紫，共6种情况，
当选中红黄、红白、黄紫、白紫时，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种情况，
∴红色和紫色的花不在同一花坛的概率是．
故选：C．
6．C
本题考查利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可．
解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为；
A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为，不符合题意；
B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为，不符合题意；
C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被3整除的数的结果有3种，故概率为，符合题意；
D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为，不符合题意；
故选C
7．A
本题考查了概率公式和三角形三边关系，根据三角形三边关系正确列出不等式是解题的关键．
根据题意可得满足条件任取三条能组成三角形的情况只有种，再根据三角形三边关系进行逐一判断即可．
解：∵四条线段任取三条所有的情况为4种，
∴当能组成三角形的概率为时，
∴满足条件任取三条能组成三角形的情况为种，
∴有①；②；③；④，
∵，
∴能组成三角形，①能组成三角形；
A、当时，对于②有，
∴②能组成三角形，
对于③，，
∴③不能组成三角形，
对于④，，
∴④能组成三角形，
∵满足条件任取三条能组成三角形的情况只有种，
∴A选项符合题意；
B、当时，对于②有，
∴②能组成三角形，
对于③，，
∴③能组成三角形，
对于④，，
∴④能组成三角形，
∴B选项不符合题意；
C、当时，对于②有，
∴②能组成三角形，
对于③，，
∴③能组成三角形，
对于④，，
∴④能组成三角形，
∴C选项不符合题意；
D、当时，对于②有，
∴②能组成三角形，
对于③，，
∴③能组成三角形，
对于④，，
∴④能组成三角形，
∴D选项不符合题意．
故选A．
8．A
本题主要考查了二次函数的综合应用，根据二次函数图像的对称轴确定点的坐标，易得，然后根据，即可获得答案．
解：根据题意，该二次函数的图像的对称轴为直线，且与轴负半轴交于点，
则与轴正半轴的交点的坐标为，
∴，
∴．
故选：A．
9．D
本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解题的关键．
先求二次函数的顶点D点的坐标为，然后根据，可知B点的横坐标为，代入得到，所以，又，进而求得杯子的高度．
解：如图：
∵，
∴抛物线顶点D的坐标为，
∵，
∴B点的横坐标为，
把代入，得到，
∴，
∴．
故选：D．
10．D
根据题意画树状图为：
共有6种可能的情况，而正比例函数的图像经过二、四象限的条件是k＜0，因此符合的有4种可能，因此符合条件的概率为：.
故选D.
：此题主要考查了树状图或列表法求概率，解题时根据抽取两数求积k的值，然后根据正比例函数图像经过的象限判断出k的范围，然后求符合条件的概率即可.
11．
本题主要考查了比较二次函数值的大小．根据函数解析式得到二次函数开口向上，对称轴为直线，且离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到y轴的距离即可得到答案．
解：∵二次函数解析式为，，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵点，，都在函数的图像上，
且，
∴，
故答案为：．
12．120
本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键．
由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答．
解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为，
所以瓶子中豆子的总数为粒．
故答案为：120．
13．
本题主要考查利用频率估计概率的知识，根据红球的次数除以试验总次数即可得到答案．
解：由题意知，红球的概率为：，
故答案为：．
14．
本题主要考查了用列表法或画树状图求概率，画出树状图，得出一共有种等可能的情况，其中摸出的两个小球恰好都是红球的情况有种，然后根据概率公式计算概率即可．
解：画树状图如下：
由树状图可知：一共有种等可能的情况，其中摸出的两个小球恰好都是红球的情况有种，
∴摸出的两个小球恰好都是红球的概率为．
故答案为：．
15．或或或．
本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
利用待定系数法求出函数解析式，再根据三角形面积求出P点的纵坐标，进而由函数解析式求出横坐标．
解：依题意得：
，解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵，，
∴，
令得，解得，；
令得，解得，．
所以P坐标为或或或．
16．>
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
根据二次函数的性质得到当时随的增大而减小，则可比较与的大小．
解：∵抛物线的对称轴为，
又∵，
∴当时随的增大而减小，
∵，故，
∴，
故答案为：>．
17．(1)抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y有最大值2，无最小值
(2)当时，y随x的增大而减小
本题考查了二次函数的性质，根据顶点式可得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；根据，在对称轴右侧，y随x的增大而减少可得答案．
（1）解：在函数中，，
所以抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
当时，y有最大值2，无最小值．
（2）当时，y随x的增大而减小．
18．(1)点的纵坐标为，点的横坐标为，，
(2)图见解析
本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键．
（1）根据点在函数的图像上，可得点的坐标，再根据点的纵坐标为和点、分别关于轴对称即可得解；
（2）根据二次函数的对称性进行画图即可．
（1）解：点在函数的图像上，
当时，，
，
点的纵坐标为，
点、关于轴对称，
,
点在函数的图像上，点、关于轴对称，
当时，，
解得，
、，
点的横坐标为；
（2）解：∵和关于x轴对称，
∴画图如下所示
19．(1)
(2)口袋中黑色的球只，白色的球有只
(3)两次都摸到白球的概率为
本题考查了频率估计概率，画树状图或列表法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据表中的数据，估计出摸到白球的频率；
（）通过摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率，然后通过口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球；
（）画出树状图，一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果，然后利用概率公式即可求解．
（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近，
故答案为：；
（2）解：∵当很大时，摸到白球的频率将会接近，
∴摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是，
∴口袋中有白球（只），黑球（只），
答：口袋中黑色的球只，白色的球有只；
（3）解：画树状图如图，
一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果，
∴两次都摸到白球的概率为．
20．(1)
(2)
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中转盘甲指针指向负数的结果有2种，利用概率公式可得答案；
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及记录的两数字之和为正数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中转盘甲指针指向负数的结果有2种，
∴转盘甲指针指向负数的概率是，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
8
4
5 4 13
7 1 6 15
由表可得共有9种等可能的结果，其中记录的两个数字之和为正数的结果有6种，
∴．
21．(1)
(2)第5天的销售利润为18000元
(3)不能，理由见解析
本题考查二次函数、一次函数的应用．
（1）根据表中数据可知y是x的一次函数，然后用待定系数法求函数解析式；
（2）设总利润为w元，根据总利润每个纪念品的利润销售量列出函数解析式，再根据题意列方程，解方程即可；
（3）根据函数的性质求最值即可得出结论．
（1）解：由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为，
把和代入可得：，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）设总利润为w元，
则，
当时，则，
解得：，
∴第5天的销售利润为18000元，
答：第5天的销售利润为18000元；
（3）不能，理由如下：
由（2）可得，
∵，，
∴当时，w最大，最大值，
∵，
∴最大利润不能超过18000元．
22．(1)
(2)
本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，三角形的面积，勾股定理及其逆定理．解题的关键是求出平移之后的解析式．
（1）用待定系数法直接求解即可；
（2）根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”得出当抛物线向左平移个单位时，，再把代入，求解即可．
（1）解：把点，代入抛物线，得
解得：，
．
（2）解：，
当抛物线向左平移个单位时，，
把代入得
，
解得：（舍），，
．
23．(1)
(2)①当时，该店每天利润的最大值元；②
本题考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式，二次函数性质是解题关键．
（1）利用待定系数法代入与的对应值得，解方程组即可；
（2）①求出该店每天的利润函数配方得即可；
②该店每天的捐款后利润为，整理得，由，函数图像的开口方向向下，由该店若想在第天获得最大利润，满足不等式组，整理得，解不等式组即可．
（1）解：∵已知是的一次函数，
∴设代入与的对应值得，
解得，
∴与的函数关系式为；
（2）解：①该店每天的利润为
当时，该店每天利润的最大值元；
②该店每天的利润为
，
∵，函数图像的开口方向向下，
∵该店若想在第天获得最大利润，
满足不等式组，整理得解得，
解得．
24．(1)
(2)
(3)、、
（1）求抛物线解析式：设交点式，代入直线与y轴交点坐标求系数．
（2）求Q点坐标：利用抛物线对称性，结合“两点之间线段最短”，求直线与对称轴交点．
（3）求t的值：分三个区间判断抛物线高低点，代入列方程，验证解的有效性．
（1）设抛物线的解析式为．
由直线，
令，得，
．
将代入，得，
解得．
因此，抛物线的解析式为．
（2）抛物线的对称轴为直线．
∵A、B关于对称轴对称，
，则．
根据“两点之间线段最短”得，当C、Q、B共线时，最小，即的周长最小．
设直线的解析式为，
将、代入，得，
解得，即直线的解析式为．
将代入，
得，所以Q的坐标为．
（3）抛物线的解析式为，对称轴为，顶点为．
将代入抛物线解析式，得，即．
分三种情况讨论：
情况一：
此时图像P的最高点为，则，
最低点为，则．
由，得，
即，
解得．
因为，所以（，舍去）．
情况二：
此时图像P的最高点为顶点，则，
最低点为，则．
由，得，
解得（符合）．
情况三：
此时图像P的最高点为顶点，则，
最低点为，则．
由，得，
解得（符合）或（舍去）．
综上所述，t的值为、、．
考查知识点：二次函数解析式求法、二次函数对称性与最值、一次函数解析式确定、分段讨论．思想方法：待定系数法、数形结合、分类讨论．熟练掌握二次函数的交点式与顶点式转化；准确判断不同区间内抛物线图像的最高点和最低点；严格按照取值范围验证解的有效性为解题关键．易错点为坐标代入错误、区间划分失误、未验证解的合理性．(共6张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上册第二次月考卷03
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 二次函数的识别
2 0.85 判断事件发生的可能性的大小
3 0.75 一次函数、二次函数图象综合判断
4 0.75 y=a（x-h） +k的图象和性质
5 0.65 列举法求概率
6 0.65 由频率估计概率；根据概率公式计算概率
7 0.65 构成三角形的条件；已知概率求数量
8 0.64 面积问题(二次函数综合)
9 0.64 图形问题(实际问题与二次函数)
10 0.4 概率的其他应用
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 y=a（x-h） 的图象和性质
12 0.75 已知概率求数量；概率的其他应用
13 0.75 由频率估计概率；根据概率公式计算概率
14 0.65 列表法或树状图法求概率
15 0.64 待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)
16 0.64 y=a（x-h） +k的图象和性质
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 y=a（x-h） +k的图象和性质
18 0.85 坐标与图形变化——轴对称；y=ax 的图象和性质
19 0.75 列表法或树状图法求概率；由频率估计概率；用频率估计概率的综合应用
20 0.75 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率
21 0.65 求一次函数解析式；销售问题(实际问题与二次函数)；y=ax +bx+c的最值
22 0.64 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移
23 0.4 求一次函数解析式；y=ax +bx+c的最值
24 0.4 y=ax +bx+c的最值；其他问题(二次函数综合)；利用二次函数对称性求最短路径；待定系数法求二次函数解析式

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