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2025—2026学年九年级数学上学期期中模拟卷
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-4章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知四条线段的长m，n，a，b，满足，则下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，H是平行四边形ABCD的边AD上一点，且，BH与AC相交于点K，那么AK：KC等于（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
5．如图，是直径，是的弦，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的直径垂直于弦，垂足为．若，，则圆半径长是（ ）
A．2 B． C． D．
7．小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　）
抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610
钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61
A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次
B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地”
C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性
D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8
8．小明和小华两人在玩“石头剪刀布”的游戏，规定：“石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头，手势相同算小华赢”，比如：“小明出石头，小华出剪刀，则小明赢；小明出布，小华出石头，则小明赢…”，则小华赢的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直角梯形的边在轴上，O为坐标原点，垂直于轴，，．若动点、同时从点O出发，点沿折线运动，到达点时停止；点沿运动，到达点时停止，它们运动的速度都是每秒个单位长度．设运动秒时，的面积为（平方单位），则关于的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在正方形中，点P是上一动点（不与A、B重合），对角线相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E、F，交于点M、N．下列结论：①；②；③；④；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（ ）
①③④⑤ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一个不透明的袋子中有形状相等，颜色不同的红，白两种球，已知红球有5个，随机摸一个球是白球的概率是，则袋子里有白球 个．
12．根据一元二次方程的根的情况，可以判断二次函数的 与 的公共点的个数．
13．如图，直线，如果，，那么线段的长是 ．
14．如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ．

15．如图，内接于，连接，且平分，D是上一点，连接，．若，则的度数为 ．
16．如图，菱形的边长为，点，分别是边，对角线上的动点，且满足，若点是的中点，则线段的最小值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．一个不透明的袋子里装有2个白球，1个黑球，这些球除颜色不同外，其余都相同．
(1)从中任意摸出1个球是白球的概率；
(2)现从袋子中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个小球，记下颜色，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求摸到的两个球中恰好有一个球是黑球的概率．
18．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求的面积；
(3)点P在y轴上，且，请求出点P的坐标．
19．小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米．
(1)求旗杆的高度；
(2)小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长．
20．大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K．
(1)求证：是小圆O的切线．
(2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示）
21．如图，在圆内接四边形中，、是对角线，，，在的延长线上取点E，使，在的延长线上取点F，连接，使．
(1)若，是圆的直径，求的度数；
(2)求证：．
22．4张相同的卡片上分别写有数字，，，，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片的数字记录下来．
(1)第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ；
(2)小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字作为横坐标，第二次记录下来的数字作为纵坐标，若所得坐标位于坐标轴上时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表的方法说明理由）
23．如图，抛物线与轴交，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为2．
(1)求抛物线的解析式和点的坐标；
(2)是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值和此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当线段取得最大值时，请直接写出四边形的面积．
24．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．2025—2026学年九年级数学上学期期中模拟卷
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-4章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C D C A D C C
1．B
本题考查了求抛物线与轴的交点坐标．
令，代入解析式计算对应的值即可.
当时，，
即抛物线与轴的交点坐标为，
故选：B．
2．A
本题考查比例的性质，根据比例的性质得，，即可求解．
解：∵，
，，
故选：A．
3．B
本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键．
由图知抛物线与x轴交于点，代入，求出m的值，再解方程即可．
解：由图知，抛物线与x轴交于点，
将代入，得，
∴，
∴原方程为，
解得：；
故选：B．
4．C
根据AH=DH求出AH：AD即AH：BC的值是1：3，再根据相似三角形对应边成比例求出AK：KC的值．
解：∵AH=DH，
∴AH：AD=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，ADBC，
∴AH：BC=
∴△AHK∽△CBK，
∴
故选：C．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，比例式的变形是解题的关键．
5．D
本题考查圆周角定理，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．
先根据直径所对的圆周角是直角得到,进而利用三角形的内角和定理求得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可求解．
解：连接，
∵是直径，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
6．C
本题考查了直角三角形的性质，垂径定理等知识点，连接，设半径为，根据垂径定理得出，根据含度角的直角三角形的性质得出，勾股定理求得，进而根据，即可求解．
解：如图，连接，设半径为
∵的直径垂直于弦，
∴
∵，，
∴
∴
∵，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
故选：C．
7．A
本题主要考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
利用频率估计概率逐项判断即可解答．
解：A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次，正确，符合题意；
B．若抛掷图钉100次，则可能有64次“钉尖不着地”，错误，不符合题意；
C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”可能性不相等，错误，不符合题意；
D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，次数较少，不能用来估计“钉尖不着地”概率，错误，不符合题意；
故选：A．
8．D
本题主要考查了运用列表法求概率，根据题意正确列表成为解题的关键．
先根据题意画出图表确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可．
解：根据题意列表如下：
石头 剪刀 布
石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布）
剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布）
布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布）
共有9种等可能结果，其中小华赢的结果有6种，
∴小华赢的概率为．
故选：D．
9．C
本题考查了二次函数的动点问题、一次函数的应用、勾股定理，由题意可得，，，再分三种情况：当时，；当点运动到点时，点运动到点时，此时点停止运动，点在上运动，的面积不变；当点运动到点，点在上运动时；分别求解即可，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．
解：∵，，
∴，，，
∵动点、同时从点O出发，点沿折线运动，到达点时停止；点沿运动，到达点时停止，它们运动的速度都是每秒个单位长度．设运动秒时，
∴当时，，
如图，作于，于点，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，此时为二次函数；
当点运动到点时，点运动到点时，此时点停止运动，点在上运动，的面积不变，始终为；
当点运动到点，点在上运动时，如图：
此时，，
∴，此时为一次函数；
故选：C．
10．C
由正方形的性质知平分，平分，结合，可得 ， 可判断①②，证明为矩形可判断③，由的形状可判断④不成立，连接，证明，可得点是的外接圆的圆心，可得M、O、N共线．
解：∵四边形是正方形
∴．
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，故①正确；
∴，
同理，．
∵正方形中，
又∵，
∴，且中
∴四边形是矩形．
∴，
∴，
又∵，
∴，故②正确；
∵四边形是矩形，
∴，
在直角中，，
∴，故③正确．
∵是等腰直角三角形，而不一定是等腰直角三角形，故④错误；
连接，
∵垂直平分线段垂直平分线段，
∴，
∴，
∴点是的外接圆的圆心，
∵，
∴为直径，
∴在上，
∴点O在M、N两点的连线上，故⑤正确；
综上所述： ①②③⑤正确．
故答案为：C．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质、勾股定理，圆周角定理的应用等知识，掌握相关性质、定理是关键．
11．
本题考查了概率公式；设袋子里有白球个，根据概率公式列出比例式，求得的值，即可计算出白球的数量．
解：设袋子里有白球个，根据题意得
∴
解得：，
故答案为：．
12． 图象 轴
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数图象与轴交点的情况与一元二次方程的解的关系即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
解：根据一元二次方程的根的情况，可以判断二次函数的图象与轴的公共点的个数，
故答案为：图象，轴．
13．3
连接交于点G，证明，解答即可．
本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定，熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定是解题的关键．
解：连接交于点G，
∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴即，
∵，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：3．
14．/18度
本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据正多边形和圆的性质求出中心角的度数，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可，掌握正多边形中心角的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
解：如图，连接、，

∵五边形是的内接正五边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．
本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握圆周角定理是解题的关键．
如图：连接，根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，再根据圆周角定理解答即可．
解：如图，连接，由圆周角定理得：，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16．
本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及垂线段最短等知识．解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，将求线段的最小值转化为求的最小值，再利用三角形面积公式求出的最小值，进而得到的最小值．
解题思路：辅助线作法见详解．利用中位线定理得到，根据菱形的性质证得，再利用平行线性质可证，得到，利用含角直角三角形的性质及勾股定理可求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用面积相等法求得高的长度，等于其一半，即为的最小值．
如图，延长至点H，使，连接．延长与交于点M，因G为的中点，故．
∵且菱形对角线平分，
∴，
由，得；由得，
∴，则，又，
∴，则，
由得，；由得，
∴，则，即，
∴．
自点M作延长线的垂线，垂足为点N，则，
∴，，则，
在直角三角形中，，
当时，因，所以最短时，也相应最短，
∵，
∴，
∴线段的最小值为，
故答案为：．
17．(1)
(2)
本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键．
（1）用白球的个数除以球的总数即可得到答案；
（2）先列表得到所有的结果数，再找到摸到的两个球中有一个球是黑球的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
（1）解：∵一共有3个球，其中白球有2个，且每个球被摸出的概率相同，
∴从中任意摸出1个球是白球的概率为；
（2）解：设两个白球分别用A、B表示，黑球用C表示，列表如下：
第一次第二次
由表格可知，一共有9种等可能性的结果，其中摸到的两个球中恰好有一个球是黑球的结果有4种，
∴摸到的两个球中恰好有一个球是黑球的概率为．
18．(1)，；
(2)6
(3)或．
本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点坐标，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）联立一次函数和反比例函数，即可求出A，B两点的坐标；
（2）先求出点C、点D的坐标，再求出，，，即可求出的面积；
（3）设，根据，得到，求出的值，即可得到点P的坐标．
（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，
联立，整理得
解得：，，
当时，；当时，，
，；
（2）解：令，则；令，则，解得：，
，，
，
，，，
；
（3）解：点P在y轴上，
设，
，
，
，
解得：，
点P的坐标为或．
19．(1)旗杆的高度为6米；
(2)小水坑F到小明的距离的长为米．
本题考查了相似三角形的应用．
（1）证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）证明，利用相似三角形的性质求解即可．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
答：旗杆的高度为6米；
（2）解：由题意得，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
答：小水坑F到小明的距离的长为米．
20．(1)见解析
(2)
（1）连接，设交于H，可证明垂直平分，则，再由切线的性质得到，进而可证明，得到，据此可证明结论；
（2）证明是等边三角形，则可求出的长，进而求出的长，求出，则可求出，最后根据即可求出答案．
（1）证明：如图所示，连接，设交于H，
∵正六边形为大圆O的内接正六边形，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∵小圆O与相切于点K，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点H在小圆O上，
又∵，
∴是小圆O的切线；
（2）解：∵正六边形为大圆O的内接正六边形，
∴，
∴是等边三角形，
∵小圆O与相切于点K，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
本题主要考查了正多边形与圆综合，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键．
21．(1)
(2)见详解
本题主要运用圆周角定理、圆内接四边形的性质以及平行线的判定方法来求解．
（1）利用直径所对的圆周角是直角得出，利用直角三角形两锐角互余得出，最后根据同弧所对的圆周角相等即可得出答案．
（2）延长至点M，通过圆内接四边形的性质得到，再结合，等量代换可得出，进而利用平行线的判定方法证明两直线平行．
（1）解：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：如图，延长至点M，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
又，
∴，
∴．
22．(1)
(2)公平，理由见解析
本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）利用概率公式求解即可；
（2）利用列表法列举出所有可能结果，再利用概率公式得出甲、乙获胜的概率，即可得出答案．
（1）解：∵4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3，
∴第一次抽取的卡片上数字是负数的结果有1种
∴第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为，
故答案为：；
（2）解：小敏设计的游戏规则公平，理由如下：
列表如下：
0 1 3
0
1
3
由表可知，共有12种等可能结果，其中结果所得坐标位于坐标轴上的有6种结果，
甲获胜的概率乙获胜的概率，
小敏设计的游戏规则公平．
23．(1)；
(2)；；
(3)
（1）由题意得抛物线的解析式为：；即可求解　；
（2）求出直线的解析式为：；由题意得，，推出；
（3）根据即可求解．
（1）解：∵抛物线与轴交，，
∴抛物线的解析式为；
当时，；
∴；
（2）解：设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：；
由题意得：，，
∴；
∵，
∴当时，；
此时，，即；
（3）解：
．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与线段和面积的综合问题，掌握二次函数的相关性质是解题关键．
24．(1)
(2)存在，点F的坐标为或或或
（1）由抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，可得，用待定系数法即可求解；
（2）分两种情形讨论：①当为对角线时，②当为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可．
（1）解：抛物线的对称轴是直线，
与x轴交于点A，，
∴点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式；
（2）设，
∵，，
∴，
①以为对角线时，如图，
，
∴，
解得：，或，
∴点或，
∵，，
∴，或，
，或，
∴点F的坐标为或；
②以为边时，如图，
当时，
∴，
解得，
∴，
当时，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，或，，
∴，或，，
∴点F的坐标为或．
综上所述：存在，点F的坐标为或或或．
本题是二次函数综合题，本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，属于中考压轴题．(共6张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上学期期中模拟卷
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 求抛物线与y轴的交点坐标
2 0.85 比例的性质
3 0.75 因式分解法解一元二次方程；根据二次函数图象确定相应方程根的情况
4 0.75 利用平行四边形的性质证明；相似三角形的判定与性质综合
5 0.65 同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角
6 0.65 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值；含30度角的直角三角形
7 0.65 概率的意义理解；由频率估计概率；判断事件发生的可能性的大小
8 0.64 列表法或树状图法求概率
9 0.64 其他问题(二次函数综合)；一次函数与几何综合；用勾股定理解三角形
10 0.4 根据正方形的性质证明；圆周角定理；用勾股定理解三角形；相似三角形的判定综合
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 已知概率求数量
12 0.75 抛物线与x轴的交点问题
13 0.65 由平行截线求相关线段的长或比值
14 0.65 正多边形和圆的综合；三角形内角和定理的应用；等边对等角
15 0.64 圆周角定理；三角形内角和定理的应用；等边对等角
16 0.4 利用菱形的性质证明；相似三角形的判定综合；含30度角的直角三角形；与三角形中位线有关的求解问题
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率
18 0.75 一次函数与反比例函数的交点问题；一次函数与几何综合；反比例函数与几何综合；坐标与图形综合
19 0.75 相似三角形实际应用
20 0.65 正多边形和圆的综合；全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
21 0.65 半圆（直径）所对的圆周角是直角；已知圆内接四边形求角度；同弧或等弧所对的圆周角相等
22 0.64 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率；游戏的公平性
23 0.64 待定系数法求二次函数解析式；线段周长问题(二次函数综合)；面积问题(二次函数综合)
24 0.15 待定系数法求二次函数解析式；y=ax +bx+c的图象与性质；求抛物线与x轴的交点坐标；用勾股定理解三角形

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