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5.2　三角函数的概念
第1课时　三角函数的概念
学习 目标 1. 通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数． 2. 会用角的终边上点的坐标求三个三角函数值．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P177—P179，完成下列填空．
如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R，它的终边与 相交于点P(x，y).
(1) 正弦：把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作 ，即y＝ ；
(2) 余弦：把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作 ，即x＝ ；
(3) 正切：以单位圆上点P的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数叫做α的正切，记作 ，即＝ (x≠0).
典例精讲能力初成
探究1　由单位圆求三角函数值
例1　(课本P178例1)求的正弦、余弦和正切值．
由单位圆求三角函数值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．
变式　(1) 已知点P为圆x2＋y2＝1与x轴正半轴的交点，将点P沿圆周逆时针旋转至点P′，当转过的弧长为时，点P′的坐标为(　 　)
A. 　 B. 　　　　
C. 　 D.
(2) 已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与以原点为圆心，半径为1的圆相交于点A，则tan α等于(　 　)
A. 　 B.
C. －　 D. －
探究2　由终边或终边上点求三角函数值
例2　(课本P179例2)如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r.求证：sin α＝，cos α＝，tan α＝.
(例2)
设α为一个任意角，在α的终边上任取一点P(异于原点)，其坐标为(x，y)，且OP＝r＝(r>0)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0).
注意：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)在所在终边上的位置无关，而由角α的终边位置决定．
变式　(1) 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋
tan α的值．
(2) 已知角α的终边过点P(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α的值为(　 　)
A. 　 B.
C. －　 D. －
(3) 已知角α的终边上一点P的坐标是(5m，12m)，其中m≠0，求sin α，cos α，tan α的值．
探究3　由三角函数值求终边上的点或参数
例3　已知角α的终边上有一点P(m，)，且cos α＝，则实数m的值为 ．
变式　已知P(4，－3m)为角α终边上一点，且sin α＝，则m＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ．
随堂内化及时评价
1. 已知角α的终边经过点P，则sin α等于(　 　)
A. 　 B.
C. 　 D. ±
2. 已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos α＝－，则m等于(　 　)
A. －　 B.
C. －4　 D. 4
3. 若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝，则tan α等于(　 　)
A. －　 B.
C. 　 D. －
4. 已知角α的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos α＝－，则实数a＝ ．
5. (课本P179练习1)利用三角函数定义，求0，，π，的三个三角函数值．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(－，1)，则sin α＝(　 　)
A. －　 B.
C. －　 D.
2. 若点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(　 　)
A. 　 B.
C. 　 D.
3. 已知角α，β的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边关于y轴对称，若角α的终边上有一点，则tan β的值为(　 　)
A. －　 B.
C. －　 D.
4. 若角α的终边在直线y＝－2x上，则cos α等于(　 　)
A. ±　 B. ±
C. ±　 D. ±
二、 多项选择题
5. 若角θ的终边经过点P(－1，m)(m≠0)，且sin θ＝m，则m的取值可以为(　 　)
A. 2　 B. －2
C. －1　 D. 1
6. 若角α的终边经过点P(3m，－4m)，则sin α＋cos α＝( 　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
三、 填空题
7. 已知α∈(0，2π)，且α的终边上一点的坐标为，则α＝ ．
8. 在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3，4)，则＝ ．
四、 解答题
9. 张明做作业时，遇到了这样的一道题：“已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，问：能否求出sin θ，cos θ的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由．”他对此题百思不得其解．同学们，你们能帮张明求解吗？
10. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合．
(1) 若角α是第一象限角，终边经过点P(m，m＋1)，且cos α＝，求m及tan α的值；
(2) 若点P(m，－2m)(m≠0)是角α的终边上一点，求sin α，cos α，tan α的值．
11. 已知点P(m，－)(m≠0)在角α的终边上，且cos α＝m，则sin α＝(　 　)
A. －　 B. －
C. 　 D.
12. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P，Q从点A(1，0)出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转 rad，点Q按顺时针方向每秒钟转 rad，则P，Q两点在第1 804次相遇时，点P的坐标是 ．
(第12题)
13. 苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟. 水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4 m的水轮，它转一圈需要30 min.如图，当点P从枢轮最高处随枢轮开始转动时，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19 m处. 此时打开退水壶出水口，壶内水位以0.017 m/min的速度下降. 将枢轮转动视为匀速圆周运动，则点P至少经过 min进入水中．(结果取整数)
　
(第13题)5.2　三角函数的概念
第1课时　三角函数的概念
学习 目标 1. 通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数． 2. 会用角的终边上点的坐标求三个三角函数值．
新知初探基础落实
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性．例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化．其中匀速圆周运动是生活中周期现象的代表．
例如，如下一幅月相图，月亮在运动的过程中，它的位置变化可以用什么来刻画？假设月亮绕地球旋转的轨迹是个圆，地球在圆心O处，月亮的位置记为P，它到地球的距离为单位1，则点P以A为起点做逆时针方向旋转，能否建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况？
　　
一、 生成概念
5.1节学习弧度制时，把圆弧放在单位圆中，为了研究问题的方便，可借鉴这种研究方法，把问题进行简化，将点P的运动归结到单位圆上点的运动规律．
明确研究任务：单位圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况．
问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为可以按怎样的路径研究上述问题？
以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P在单位圆上做匀速圆周运动，坐标为(x，y).射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.
【追问1】 点P(x，y)在单位圆上运动的过程中有几个变量？
共四个变量：α，l(AP弧长)，x，y.
【追问2】 这几个变量是否具有对应关系？
弧长l与α、横坐标x与α、纵坐标y与α具有对应关系．
问题2：在这个运动过程中， 影响点P位置变化的因素是旋转角α，点P位置的变化由横坐标x和纵坐标y的变化来体现，试根据旋转角α的大小来求点P的坐标．当α＝ 时，点P的坐标是什么？当α＝或α＝时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？
当α＝时，点P的坐标是；当α＝或α＝时，点P的坐标分别是(0，1)和.它们都是唯一确定的．
【追问】 当α为任意角时，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标能唯一确定吗？
设角α是个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y).
(1) 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；
(2) 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α；
(3) 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α.＝tan α(x≠0)是
以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数．
请同学阅读课本P177—P179，完成下列填空．
二、 概念表述
如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R，它的终边与__单位圆__相交于点P(x，y).
(1) 正弦：把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作__sin α__，即y＝__sin α__；
(2) 余弦：把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作__cos α__，即x＝__cos α__；
(3) 正切：以单位圆上点P的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数叫做α的正切，记作__tan α__，即＝__tan α__(x≠0).
典例精讲能力初成
探究1　由单位圆求三角函数值
例1　(课本P178例1)求的正弦、余弦和正切值．
【解答】在直角坐标系中，作∠AOB＝(如图)，易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为，所以sin ＝－，cos ＝，tan ＝－.
(例1答)
由单位圆求三角函数值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．
变式　(1) 已知点P为圆x2＋y2＝1与x轴正半轴的交点，将点P沿圆周逆时针旋转至点P′，当转过的弧长为时，点P′的坐标为(　B　)
A. 　 B. 　　　　
C. 　 D.
【解析】设旋转角为θ rad，则θ·1＝，得θ＝，从而可得P′.
(2) 已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与以原点为圆心，半径为1的圆相交于点A，则tan α等于(　B　)
A. 　 B.
C. －　 D. －
【解析】角α的终边与单位圆的交点为A，所以x＝－，y＝－，所以tan α＝＝＝.
探究2　由终边或终边上点求三角函数值
例2　(课本P179例2)如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r.求证：sin α＝，cos α＝，tan α＝.
(例2)
【解答】如图，设角α的终边与单位圆交于点P0(x0，y0).分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，则P0M0＝|y0|，PM＝|y|，OM0＝|x0|，OM＝|x|，△OMP∽△OM0P0.于是＝，即|y0|＝.因为y0与y同号，所以y0＝，即sin α＝.同理可得cos α＝，
tan α＝.
(例2答)
设α为一个任意角，在α的终边上任取一点P(异于原点)，其坐标为(x，y)，且OP＝r＝(r>0)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0).
注意：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)在所在终边上的位置无关，而由角α的终边位置决定．
变式　(1) 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋
tan α的值．
【解答】当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，所以点P到原点的距离r＝OP＝5，所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－，所以sin α－3cos α＋tan α＝－－－＝－；当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4，3)，所以点P′到坐标原点的距离r＝OP′＝5，所以sin α＝＝，cos α＝＝－，
tan α＝＝＝－，所以sin α－3cos α＋tan α＝－3×－＝＋－＝.
(2) 已知角α的终边过点P(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α的值为(　A　)
A. 　 B.
C. －　 D. －
【解析】由题意得，点(3a，－4a)(a<0)到原点的距离r＝＝－5a，所以根据三角函数的定义可知sin α＝＝，cos α＝＝－，所以sin α＋cos α＝.
(3) 已知角α的终边上一点P的坐标是(5m，12m)，其中m≠0，求sin α，cos α，tan α的值．
【解答】令x＝5m，y＝12m，则r＝＝＝13|m|.①当m>0时，r＝13m，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝，tan α＝＝；②当m<0时，r＝－13m，
sin α＝＝－＝－，cos α＝＝－＝－，tan α＝＝.
探究3　由三角函数值求终边上的点或参数
例3　已知角α的终边上有一点P(m，)，且cos α＝，则实数m的值为__0或±__．
【解析】因为角α的终边上有一点P(m，)，所以cos α＝＝，解得m＝0或±.
变式　已知P(4，－3m)为角α终边上一点，且sin α＝，则m＝__－1__，cos α＝____，tan α＝____．
【解析】根据三角函数定义可得，sin α＝＝＝>0，解得m＝－1，所以cos α＝＝，tan α＝＝.
随堂内化及时评价
1. 已知角α的终边经过点P，则sin α等于(　A　)
A. 　 B.
C. 　 D. ±
【解析】由于r＝OP＝1，y＝，所以由三角函数的定义可得sin α＝＝.
2. 已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos α＝－，则m等于(　C　)
A. －　 B.
C. －4　 D. 4
【解析】cos α＝＝－，解得m＝－4.
3. 若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝，则tan α等于(　D　)
A. －　 B.
C. 　 D. －
【解析】因为cos α＝＝，所以＝5，所以y2＝16.又y<0，则y＝－4，所以tan α＝－.
4. 已知角α的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos α＝－，则实数a＝__－2__．
【解析】由题意，根据余弦函数的定义，可得＝－，整理得11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝.又因为cos α<0，所以2a＋1<0，即a<－，所以a＝
－2.
5. (课本P179练习1)利用三角函数定义，求0，，π，的三个三角函数值．
【解答】因为0的终边与单位圆的交点是(1，0)，所以sin 0＝0，cos 0＝1，tan 0＝0；因为的终边与单位圆的交点是，所以sin ＝1，cos ＝0，tan 不存在；因为π的终边与单位圆的交点是(－1，0)，所以sin π＝0，cos π＝－1，tan π＝0；因为的终边与单位圆的交点是(0，－1)，所以sin ＝－1，cos ＝0，tan 不存在．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(－，1)，则sin α＝(　B　)
A. －　 B.
C. －　 D.
2. 若点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(　C　)
A. 　 B.
C. 　 D.
3. 已知角α，β的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边关于y轴对称，若角α的终边上有一点，则tan β的值为(　D　)
A. －　 B.
C. －　 D.
【解析】因为角α的终边上有一点，且角α，β的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边关于y轴对称，故角β终边过点，故tan β＝＝.
4. 若角α的终边在直线y＝－2x上，则cos α等于(　B　)
A. ±　 B. ±
C. ±　 D. ±
【解析】在角α的终边上取一点P(－1，2)，所以cos α＝＝－；或角α的终边上取一点P′(1，－2)，所以cos α＝＝.综上，cos α＝±.
二、 多项选择题
5. 若角θ的终边经过点P(－1，m)(m≠0)，且sin θ＝m，则m的取值可以为(　CD　)
A. 2　 B. －2
C. －1　 D. 1
【解析】由题意得，sin θ＝＝m，因为m≠0，所以m＝±1.
6. 若角α的终边经过点P(3m，－4m)，则sin α＋cos α＝(　CD　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
【解析】当m<0时，r＝|OP|＝＝5|m|＝－5m，O为坐标原点，则sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，故sin α＋cos α＝－＝.当m>0时，r＝|OP|＝＝5|m|＝5m，O为坐标原点，则sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，故sin α＋cos α＝－＋＝－.
三、 填空题
7. 已知α∈(0，2π)，且α的终边上一点的坐标为，则α＝____．
8. 在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3，4)，则＝__－10__．
【解析】因为角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，且角α的终边经过点P(3，4)，所以sin α＝＝，cos α＝＝，所以＝＝
－10.
四、 解答题
9. 张明做作业时，遇到了这样的一道题：“已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，问：能否求出sin θ，cos θ的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由．”他对此题百思不得其解．同学们，你们能帮张明求解吗？
【解答】由题意，得r＝|OP|＝，则cos θ＝＝ .因为cos θ＝x，所以＝x.因为x≠0，所以x＝1或x＝－1.当x＝1时，点P的坐标为(1，3)，角θ为第一象限角，此时sin θ＝＝，cos θ＝；当x＝－1时，点P的坐标为(－1，3)，角θ为第二象限角，此时sin θ＝，cos θ＝－.
10. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合．
(1) 若角α是第一象限角，终边经过点P(m，m＋1)，且cos α＝，求m及tan α的值；
【解答】依题意cos α＝＝，整理得7m2－18m－9＝0，解得m＝3或－.又α为第一象限角，则m>0，故m＝3，所以tan α＝＝.
(2) 若点P(m，－2m)(m≠0)是角α的终边上一点，求sin α，cos α，tan α的值．
【解答】因为点P(m，－2m)(m≠0)是角α的终边上一点，所以r＝|OP|＝＝|m|，于是得tan α＝＝－2，cos α＝，sin α＝.当m>0时，cos α＝，sin α＝－；当m<0时，cos α＝－，sin α＝.
11. 已知点P(m，－)(m≠0)在角α的终边上，且cos α＝m，则sin α＝(　A　)
A. －　 B. －
C. 　 D.
【解析】因为点P(m，－)(m≠0)在角α的终边上，且cos α＝m，即cos α＝＝m，解得m2＝5，所以sin α＝＝＝－.
12. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P，Q从点A(1，0)出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转 rad，点Q按顺时针方向每秒钟转 rad，则P，Q两点在第1 804次相遇时，点P的坐标是____．
(第12题)
【解析】相遇时间为t＝1 804×2π÷＝3 608(s)，故点P转过的角度为×
3 608＝300π＋，所以对应的点P坐标为，即.
13. 苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟. 水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4 m的水轮，它转一圈需要30 min.如图，当点P从枢轮最高处随枢轮开始转动时，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19 m处. 此时打开退水壶出水口，壶内水位以0.017 m/min的速度下降. 将枢轮转动视为匀速圆周运动，则点P至少经过__13__min进入水中．(结果取整数)
　
(第13题)
【解析】设至少经过x min，点P进入水中．如图，点P′为刚好进入水中的位置，由条件可知OP′＝1.7，OA＝1.19，点P转过的角度为x＝，所以∠P′OB＝π－.如图，因为OA＋AB＝OB，所以1.19＋0.017x＝1.7cos ，所以70＋x＝100cos (*).根据所给数据可知，当x＝12时，(*)的左边＝82，右边＝81.此时左边＞右边，说明点P还未进入水中；当x＝13时，(*)式的左边＝83，右边＝91，此时左边＜右边，说明点P已经进入水中；当x＝14时，(*)式的左边＝84，右边＝98，此时左边<右边，说明点P已经进入水中，由上可知，x的取值介于12和13之间，又因为x的结果取整数，所以x＝13.
(第13题答)(共45张PPT)
第五章 三角函数
5.2　三角函数的概念
第1课时　三角函数的概念
学习 目标 1. 通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数．
2. 会用角的终边上点的坐标求三个三角函数值．
新知初探 基础落实
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性．例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化．其中匀速圆周运动是生活中周期现象的代表．
例如，如下一幅月相图，月亮在运动的过程中，它的位置变化可以用什么来刻画？假设月亮绕地球旋转的轨迹是个圆，地球
在圆心O处，月亮的位置记为P，它到地球
的距离为单位1，则点P以A为起点做逆时
针方向旋转，能否建立一个函数模型，刻
画点P的位置变化情况？
一、 生成概念
5.1节学习弧度制时，把圆弧放在单位圆中，为了研究问题的方便，可借鉴这种研究方法，把问题进行简化，将点P的运动归结到单位圆上点的运动规律．

明确研究任务：单位圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况．
问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为可以按怎样的路径研究上述问题？
以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P在单位圆上做匀速圆周运动，坐标为(x，y).射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.
【追问1】 点P(x，y)在单位圆上运动的过程中有几个变量？
共四个变量：α，l(AP弧长)，x，y.
【追问2】 这几个变量是否具有对应关系？
弧长l与α、横坐标x与α、纵坐标y与α具有对应关系．
【追问】 当α为任意角时，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标能唯一确定吗？
设角α是个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y).
(1) 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；
(2) 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α；
请同学阅读课本P177—P179，完成下列填空．
二、 概念表述
如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R，它的
终边与_________相交于点P(x，y).
(1) 正弦：把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作________，
即y＝________；
(2) 余弦：把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作________，即x＝________；
单位圆
sin α
sin α
cos α
cos α
tan α
tan α
典例精讲 能力初成
探究
1
由单位圆求三角函数值
1
由单位圆求三角函数值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．
变式　
B
B
探究
2
由终边或终边上点求三角函数值
2
变式　
　　　　(1) 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
(2) 已知角α的终边过点P(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α的值为 (　　)
A
(3) 已知角α的终边上一点P的坐标是(5m，12m)，其中m≠0，求sin α，cos α，tan α的值．
探究
3
由三角函数值求终边上的点或参数
3
变式　
－1
随堂内化 及时评价
A
C
D
－2
配套新练案
B
C
D
B
CD
CD
－10
10. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合．
(2) 若点P(m，－2m)(m≠0)是角α的终边上一点，求sin α，cos α，tan α的值．
10. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合．
A
13. 苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟. 水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4 m的水轮，它转一圈
需要30 min.如图，当点P从枢轮最高处随
枢轮开始转动时，退水壶内水面位于枢轮
中心下方1.19 m处. 此时打开退水壶出水口，
壶内水位以0.017 m/min的速度下降. 将枢轮
转动视为匀速圆周运动，则点P至少经过_____min进入水中．(结果取整数)
【答案】13

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