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第3课时　同角三角函数的基本关系
学习 目标 1. 理解并掌握通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式． 2. 能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P182—P184，完成下列填空．
1. 平方关系
(1) 公式：sin2α＋cos2α＝ ．
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 ．
2. 商数关系
(1) 公式：＝ .
(2) 语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于 ．
3. 关系式的常用等价变形
(1) sin2α＋cos2α＝1
(2) ＝tan α
典例精讲能力初成
探究1　同角三角函数的基本关系式及简单应用
视角1　已知cos α求tan α，sin α
例1-1　已知cos α＝－，求sin α和tan α的值．
视角2　已知sin α求cos α，tan α
例1-2　(课本P183例6)已知sin α＝－，求cos α，tan α的值．
变式　已知sin α＝，且α是第二象限角，求cos α和tan α的值．
视角3　已知tan α求sin α，cos α
例1-3　已知tan α＝2，求sin α与cos α的值．
利用同角三角函数的平方关系sin2α＋cos2α＝1和商数关系＝tan α，可以实现在
sin α，cos α，tan α三个值之间“知一求二”，即知道其中一个可以求其余两个．注意：若题目中没有指出α是第几象限角，则必须由题设条件推断α可能是第几象限的角，再分情况讨论．
探究2　同角三角函数的基本关系式的变用
视角1　平方关系(sin θ±cos θ型求值)
例2-1　已知sin αcos α＝－，＜α＜，则sin α－cos α等于(　 　)
A. 　 B. －
C. －　 D.
(1) sin θ＋cos θ，sin θcos θ，sin θ－cos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”．
(2) 求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号．
变式　若sin α＋cos α＝，则sin αcos α的值为(　 　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
视角2　商数关系(弦切转化思想)
例2-2　已知tan α＝－，那么sin2α＋2sinαcos α－3cos2α的值是(　 　)
A．－3　 B. －
C. 3　 D. －
(1) 关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tanα的式子后再求值．
(2) 假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，将1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tanα的代数式．
变式　已知tan α＝3，则等于(　 　)
A. 　 B. 5
C. 　 D. 2
探究3　三角函数式的化简或证明
例3　(课本P183例7)求证：＝.
利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法：
(1) 化切为弦，减少函数名称．(2) 对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．(3) 对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．
变式　(1) 化简：sin2αtanα＋＋2sin α·cos α.
(2) 求证：＝.
随堂内化及时评价
1. 化简的结果是(　 　)
A．cos 160°　 B. ±|cos 160°|
C. ±cos 160°　 D. －cos 160°
2. 已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为(　 　)
A. 　 B. ±
C. 　 D. ±
3. 若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为(　 　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
4. (2023·全国乙卷文)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝ ．
5. (2025·广州期末)(多选)已知α∈，sin α＋cos α＝m，则(　 　)
A. 若m＝1，则cos α＝0
B. 若m＝，则cos α＝－
C. 若m＝，则sin α－cos α＝
D. m∈
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知cos α＝，且<α<2π，则tan α的值为(　 　)
A. －　 B. －
C. －　 D. －2
2. 若α为第三象限角，且sin α＝－，则cos α＝(　 　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
3. 已知sin αcos α＝－，α∈，则cos α－sin α的值为(　 　)
A. －　 B.
C. －　 D.
4. 已知tan α＝－，则3sin2α＋sinαcos α＝(　 　)
A. －　 B. 0
C. 　 D. 1
二、多项选择题
5. 下列计算或化简结果正确的有(　 　)
A. 若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝2
B. 若tan x＝，则＝1
C. 若sin α＝，则tan α＝2
D. 若α为第一象限角，则＋＝2
6. 设α∈(0，π)，已知sin α，cos α是方程3x2－x－m＝0的两根，则下列等式正确的是(　 　)
A. m＝－　　　　
B. sin α－cos α＝
C. tan α＝　　　　
D. cos2α－sin2α＝－
三、 填空题
7. 已知sin α＝，tan α＝－，则 cos α＝ ．
8. 若sin α及cos α是关于x的方程2x2－4kx－3k＝0的两个实根，则实数k的值为 ．
四、解答题
9. (1) 已知sin α＝，且α是第二象限角，求cos α和tan α的值．
(2) 若tan α＝－，求sin α的值．
10. 从①＝；②4sin2A＝4cosA＋1；③sin A cos A tan A＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．
已知角A为锐角，________．
(1) 求角A的大小；
(2) 求sin (2π＋A)cos A的值．
11. 三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中直角三角形中较小的锐角α满足sin α＋cos α＝，则小正方形与大正方形的面积之比是(　 　)
　(第11题)
A. 　 B.
C. 　 D.
12. (2023·全国甲卷理)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cos β＝0”的(　 　)
A. 充分不必要条件　　　　
B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　
D. 既不充分又不必要条件
13. (多选)＋＋的值可能为(　 　)
A．－3　 B. －1
C. 1　 D. 3
14. 若sin α＝，cos α＝，则tan α＝ ．第3课时　同角三角函数的基本关系
学习 目标 1. 理解并掌握通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式． 2. 能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
新知初探基础落实
问题1：请同学们回忆一下直角三角形中一个锐角的正弦值和余弦值以及正切值怎么表示？它们之间有什么样的关系呢？
在初中我们已经知道，对于同一个锐角α，存在关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝
tan α.
一、 生成概念
思考：对于单位圆内任意一个角α，是否依然有这样的关系式？
问题2：怎样推广到任意角？怎么证明这两个式子？
sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R)，
＝tan α.
如图，以正弦线MP，余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形，且OP＝1.
由勾股定理得MP2＋OM2＝1，因此x2＋y2＝1，即sin 2α＋cos 2α＝1.
显然，当α的终边与坐标轴重合的时候，这个公式也是成立的．
根据三角函数的定义，当a≠kπ＋(k∈Z)时，有＝tan α.
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
(1) “同角”的理解
“同角”的概念包含两层意思：①角是相同的；②与角的表达形式无关．
如：sin 23α＋cos 23α＝1，＝tan .
(2) 上述关系都必须在定义域允许的范围内成立．
(3) 公式的变形及逆用．
请同学阅读课本P182—P184，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 平方关系
(1) 公式：sin2α＋cos2α＝__1__．
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于__1__．
2. 商数关系
(1) 公式：＝__tan α__.
(2) 语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于__角α的正切__．
3. 关系式的常用等价变形
(1) sin2α＋cos2α＝1
(2) ＝tan α
典例精讲能力初成
探究1　同角三角函数的基本关系式及简单应用
视角1　已知cos α求tan α，sin α
例1-1　已知cos α＝－，求sin α和tan α的值．
【解答】sin2α＝1－cos2α＝1－＝，因为cosα＝－<0，所以α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时，sin α＝，tan α＝＝－；当α是第三象限角时，sin α＝－，tan α＝＝.
视角2　已知sin α求cos α，tan α
例1-2　(课本P183例6)已知sin α＝－，求cos α，tan α的值．
【解答】因为sin α<0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－2＝.如果α是第三象限角，那么cosα<0，于是cos α＝－＝－，从而tan α＝＝×＝.如果α是第四象限角，那么cos α＝，tan α＝－.
变式　已知sin α＝，且α是第二象限角，求cos α和tan α的值．
【解答】cos2α＝1－sin2α＝1－＝，又α是第二象限角，所以cosα<0，cos α＝－，tan α＝＝－.
视角3　已知tan α求sin α，cos α
例1-3　已知tan α＝2，求sin α与cos α的值．
【解答】因为tan α＝2>0，所以α是第一或第三象限角．因为tan α＝2，所以＝2，即sin α＝2cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝.当α为第一象限角时，cosα＝，sin α＝2cos α＝；当α为第三象限角时，cos α＝－，sin α＝2cos α＝－.
利用同角三角函数的平方关系sin2α＋cos2α＝1和商数关系＝tan α，可以实现在
sin α，cos α，tan α三个值之间“知一求二”，即知道其中一个可以求其余两个．注意：若题目中没有指出α是第几象限角，则必须由题设条件推断α可能是第几象限的角，再分情况讨论．
探究2　同角三角函数的基本关系式的变用
视角1　平方关系(sin θ±cos θ型求值)
例2-1　已知sin αcos α＝－，＜α＜，则sin α－cos α等于(　A　)
A. 　 B. －
C. －　 D.
【解析】由于sin αcos α＝－，＜α＜，所以sin α＞0，cos α＜0，故sin α－cos α＞0，所以sin α－cos α＝＝＝＝.
(1) sin θ＋cos θ，sin θcos θ，sin θ－cos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”．
(2) 求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号．
变式　若sin α＋cos α＝，则sin αcos α的值为(　D　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
【解析】由题意sin α＋cos α＝，两边同时平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝， 所以sin αcos α＝－.
视角2　商数关系(弦切转化思想)
例2-2　已知tan α＝－，那么sin2α＋2sinαcos α－3cos2α的值是(　A　)
A．－3　 B. －
C. 3　 D. －
【解析】原式＝＝，将tanα＝－代入上式，得原式＝－3.
(1) 关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tanα的式子后再求值．
(2) 假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，将1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tanα的代数式．
变式　已知tan α＝3，则等于(　D　)
A. 　 B. 5
C. 　 D. 2
【解析】因为tan α＝3，所以＝＝＝2.
探究3　三角函数式的化简或证明
例3　(课本P183例7)求证：＝.
【解答】方法一：由cos x≠0，知sin x≠－1，所以1＋sin x≠0，于是左边＝＝＝＝＝右边．所以原式成立．
方法二：因为(1－sin x)(1＋sin x)＝1－sin2x＝cos2x＝cosx cos x，且1－sin x≠0，cos x≠0，所以＝.
利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法：
(1) 化切为弦，减少函数名称．(2) 对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．(3) 对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．
变式　(1) 化简：sin2αtanα＋＋2sin α·cos α.
【解答】原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α＝＝
＝.
(2) 求证：＝.
【解答】因为右边＝＝＝＝＝＝左边，所以原等式成立．
随堂内化及时评价
1. 化简的结果是(　D　)
A．cos 160°　 B. ±|cos 160°|
C. ±cos 160°　 D. －cos 160°
2. 已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为(　A　)
A. 　 B. ±
C. 　 D. ±
【解析】由已知得(cos α－sin α)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝1－2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝.
3. 若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为(　D　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
【解析】因为sin α＝－，且α为第四象限角，所以cos α＝，所以tan α＝＝－.
4. (2023·全国乙卷文)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝__－__．
【解析】因为θ∈，则sin θ>0，cos θ>0，又因为tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝或sin θ＝－(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－.
5. (2025·广州期末)(多选)已知α∈，sin α＋cos α＝m，则(　ABC　)
A. 若m＝1，则cos α＝0
B. 若m＝，则cos α＝－
C. 若m＝，则sin α－cos α＝
D. m∈
【解析】因为sin α＋cos α＝m，两边平方整理可得sin αcos α＝，且α∈(0，π)，则sin α>0.对于A，若m＝1，则sin αcos α＝0，所以cos α＝0，故A正确；对于B，若m＝，则sin α＋cos α＝，sin αcos α＝－，可知sin α，cos α为方程x2－x－＝0的根，又因为x2－x－＝0的根为，－，所以sin α＝，cos α＝－，故B正确；对于C，若m＝，则sin αcos α＝－，可得2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，且sin α>0，cos α<0，可知sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝，故C正确；对于D，例如α＝，则m＝sin α＋cos α＝，故D错误．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知cos α＝，且<α<2π，则tan α的值为(　D　)
A. －　 B. －
C. －　 D. －2
2. 若α为第三象限角，且sin α＝－，则cos α＝(　D　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
3. 已知sin αcos α＝－，α∈，则cos α－sin α的值为(　D　)
A. －　 B.
C. －　 D.
4. 已知tan α＝－，则3sin2α＋sinαcos α＝(　B　)
A. －　 B. 0
C. 　 D. 1
【解析】因为tan α＝－，所以3sin2α＋sinα·cos α＝＝＝＝0.
二、多项选择题
5. 下列计算或化简结果正确的有(　AD　)
A. 若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝2
B. 若tan x＝，则＝1
C. 若sin α＝，则tan α＝2
D. 若α为第一象限角，则＋＝2
6. 设α∈(0，π)，已知sin α，cos α是方程3x2－x－m＝0的两根，则下列等式正确的是(　BD　)
A. m＝－　　　　
B. sin α－cos α＝
C. tan α＝　　　　
D. cos2α－sin2α＝－
【解析】因为sinα，cos α是方程3x2－x－m＝0的两根，则有由(sin α＋cos α)2＝sin2α＋2sinα·cos α＋cos2α，得＝1－，解得m＝，A错误；因为α∈(0，π)，所以sinα>0，由sin αcos α＝－＝－<0，得cos α<0，(sin α－cos α)2＝sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝1＋＝，由sinα－cos α>0，所以sin α－cos α＝，B正确；由得tan α＝＝－，C错误；cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α)(cos α－sin α)＝×＝－，D正确．
三、 填空题
7. 已知sin α＝，tan α＝－，则 cos α＝__－__．
【解析】由sin α＝＞0，tan α＝－＜0，可知α是第二象限角，所以cos α＝－＝－.
8. 若sin α及cos α是关于x的方程2x2－4kx－3k＝0的两个实根，则实数k的值为____．
【解析】因为sin α及cos α是关于x的方程2x2－4kx－3k＝0的两个实根，所以sin α＋cos α＝2k，sin αcos α＝－.因为(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcos α且sin2α＋cos2α＝1，所以4k2＝1＋2×，即4k2＋3k－1＝0，解得k＝－1或k＝.因为方程2x2－4kx－3k＝0有两个实根，所以Δ＝16k2－8(－3k)≥0，解得k≤－或k≥0，所以k＝.
四、解答题
9. (1) 已知sin α＝，且α是第二象限角，求cos α和tan α的值．
【解答】因为sin α＝，且α是第二象限角，所以cos α＝－＝－＝－，所以tan α＝＝＝－.
(2) 若tan α＝－，求sin α的值．
【解答】因为tan α＝－<0，所以α是第二、四象限角．由可得sin2α＝.当α是第二象限角时，sinα＝；当α是第四象限角时，sin α＝－.
10. 从①＝；②4sin2A＝4cosA＋1；③sin A cos A tan A＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．
已知角A为锐角，________．
(1) 求角A的大小；
(2) 求sin (2π＋A)cos A的值．
【解答】若选①：
(1) 由＝，得sin A＝cos A，因为A为锐角，所以A＝.
(2) sin (2π＋A)cos A＝sin A cos A＝.
若选②：
(1) 由4sin2A＝4cosA＋1，故4cos2A＋4cosA－3＝0，故cos A＝或cos A＝－(舍去).因为A为锐角，故A＝.
(2) sin (2π＋A)cos A＝sin A cos A＝.
若选③：
(1) 由sin A cos A tan A＝，得sin2A＝.
因为A为锐角，所以sinA＝，故A＝.
(2) sin (2π＋A)cos A＝sin A cos A＝.
11. 三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中直角三角形中较小的锐角α满足sin α＋cos α＝，则小正方形与大正方形的面积之比是(　A　)
　(第11题)
A. 　 B.
C. 　 D.
【解析】由题意得所以sin α＝，cos α＝.设直角三角形较短的直角边为3a，较长的直角边为4a，斜边长为5a，则小正方形的边长为4a－3a＝a，所以小正方形与大正方形的面积之比是＝.
12. (2023·全国甲卷理)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cos β＝0”的(　B　)
A. 充分不必要条件　　　　
B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　
D. 既不充分又不必要条件
【解析】当α＝，β＝0时，有sin2α＋sin2β＝1，但sinα＋cos β≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cos β＝0，充分性不成立；当sin α＋cos β＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cos β＝0能推出sin2α＋sin2β＝1，必要性成立．综上，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cos β＝0”成立的必要不充分条件．
13. (多选)＋＋的值可能为(　BD　)
A．－3　 B. －1
C. 1　 D. 3
【解析】因为＋＋＝＋＋，所以x≠kπ且x≠kπ＋(k∈Z)，若x在第一象限，则sin x>0，tan x>0，cos x>0，故原式＝1＋1＋1＝3；若x在第二象限，则sin x>0，tan x<0，cos x<0，故原式＝－1＋1－1＝－1；若x在第三象限，则sin x<0，tan x>0，cos x<0，故原式＝1－1－1＝－1；若x在第四象限，则sin x<0，tan x<0，cos x>0，故原式＝－1－1＋1＝－1.
14. 若sin α＝，cos α＝，则tan α＝__0或__．
【解析】由已知可得sin2α＋cos2α＝1，所以＋＝＝1，整理可得m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3.当m＝－1时，sinα＝0，cos α＝－1，tan α＝＝0；当m＝3时，sin α＝，cos α＝，tan α＝＝.综上所述，tan α＝0或tan α＝.(共52张PPT)
第五章 三角函数
5.2　三角函数的概念
第3课时　同角三角函数的基本关系
学习 目标 1. 理解并掌握通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．
2. 能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
新知初探 基础落实
问题1：请同学们回忆一下直角三角形中一个锐角的正弦值和余弦值以及正切值怎么表示？它们之间有什么样的关系呢？
一、 生成概念
思考：对于单位圆内任意一个角α，是否依然有这样的关系式？
问题2：怎样推广到任意角？怎么证明这两个式子？
如图，以正弦线MP，余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形，且OP＝1.
由勾股定理得MP2＋OM2＝1，因此x2＋y2＝1，即sin 2α＋cos 2α＝1.
显然，当α的终边与坐标轴重合的时候，这个公式也是成立的．
(1) “同角”的理解
“同角”的概念包含两层意思：①角是相同的；②与角的表达形式无关．
(2) 上述关系都必须在定义域允许的范围内成立．
(3) 公式的变形及逆用．
请同学阅读课本P182—P184，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 平方关系
(1) 公式：sin2α＋cos2α＝____．
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于____．
1
1
tan α
角α的正切
3. 关系式的常用等价变形
典例精讲 能力初成
探究
视角1　已知cos α求tan α，sin α
1
同角三角函数的基本关系式及简单应用
1－1
视角2　已知sin α求cos α，tan α
1－2
变式　
视角3　已知tan α求sin α，cos α
　　　　　已知tan α＝2，求sin α与cos α的值．
1－3
探究
视角1　平方关系(sin θ±cos θ型求值)
2
2－1
同角三角函数的基本关系式的变用
A
(1) sin θ＋cos θ，sin θcos θ，sin θ－cos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”．
(2) 求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号．
变式　
D
视角2　商数关系(弦切转化思想)
2－2
A
(1) 关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tanα的式子后再求值．
(2) 假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，将1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tanα的代数式．
变式　
D
探究
3
三角函数式的化简或证明
3
利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法：
(1) 化切为弦，减少函数名称．(2) 对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．(3) 对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．
变式　
随堂内化 及时评价
D
A
D
【答案】ABC
配套新练案
D
D
D
B
AD
【答案】BD
8. 若sin α及cos α是关于x的方程2x2－4kx－3k＝0的两个实根，则实数k的值为_____．
已知角A为锐角，________．
(1) 求角A的大小；
(2) 求sin (2π＋A)cos A的值．
【答案】A
12. (2023·全国甲卷理)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cos β＝0”的 (　　)
A. 充分不必要条件　　　　 B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　 D. 既不充分又不必要条件
B
BD

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