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第2课时　诱导公式——公式五、六
学习 目标 1. 了解公式五和公式六的推导方法． 2. 能够准确记忆公式五和公式六，灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P191—P193，完成下列填空．
1. 诱导公式五、六(记忆：函数名改变，符号看象限)
终边关系 图示 公式
公式五 角－α与角α的终边关于直线y＝x对称 sin ＝ ， cos ＝
公式六 角＋α与角－α的终边关于直线y＝x对称，角－α与角α的终边关于x轴对称 sin ＝ ， cos ＝
2. 拓展公式
公式七：
sin ＝ ，cos ＝ ．
公式八：
sin ＝ ，cos ＝ ．
3. 所有诱导公式记忆口诀与作用
(1) 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限
(2) 诱导公式的作用
诱导公式 作用
公式一 将任意角转化为0～2π的角求值
公式二 将0～2π的角转化为0～π的角求值
公式三 将负角转化为正角求值
公式四 将～π的角转化为0～的角求值
公式五 实现正弦函数与余弦函数的互相转化
公式六
典例精讲能力初成
探究1　利用诱导公式证明恒等式
例1　(课本P192例3)证明：
(1) sin ＝－cos α；
(2) cos ＝sin α.
对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
变式　求证：
(1) ＝.
(2) ＋＝.
探究2　利用诱导公式求值与化简
例2-1　(课本P193例4)化简：.
例2-2　(课本P193例5)已知sin (53°－α)＝，且－270°<α<－90°，求sin (37°＋α)的值．
(1) 对于三角函数式的化简与求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2) 对于kπ±α和±α，运用诱导公式时，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名，即“奇变偶不变，符号看象限”．
变式1　已知f(α)＝.
(1) 化简f(α)；
(2) 若α是第三象限角，且cos ＝，求f(α).
变式2　已知角α的终边在直线y＝－2x上．
(1) 求sin α，cos α及tan α的值；
(2) 若f(x)＝，求f(α)的值．
随堂内化及时评价
1. sin 95°＋cos 175°的值为(　 　)
A. sin 5°　 B. cos 5°
C. 0　 D. 2sin 5°
2. 若sin (3π＋α)＝－，则cos 等于(　 　)
A. －　 B.
C. 　 D. －
3. 若角θ的终边经过点，则sin ＋cos (π－θ)＋tan (2π－θ)等于(　 　)
A. －　 B.
C. 　 D. －
4. 已知sin ＝，则cos 的值为(　 　)
A. －　 B.
C. 　 D. －
5. (课本P194练习3)化简：
(1) sin (α－2π)cos (2π－α)；
(2) cos2(－α)－；
(3) .
配套新练案
一、 单项选择题
1. 如果sin ＝，那么cos α＝(　 　)
A. 　 B. －
C. －　 D.
2. 设a＝cos 225°，b＝sin 120°，c＝－sin 750°，则a，b，c的大小关系为(　 　)
A. a>b>c　 B. b>c>a
C. a>c>b　 D. c>a>b
3. 已知角α是第四象限角，且sin －3cos (α－π)＝1，则tan (π－α)等于(　 　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
4. 已知sin ＝，则cos 等于(　 　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
二、 多项选择题
5. 以下各式化简结果正确的是(　 　)
A. ＝cos θ　　　　
B. ＝cos 20°－sin 20°
C. sin (－36°)＋cos 54°＝0　　　　
D. sin cos ＝sin θcos θ
6. 在△ABC中，下列关系不成立的是(　 　)
A. cos (A＋B)＝cos C
B. sin (A＋B)＝sin C
C. sin ＝sin
D. cos ＝cos
三、 填空题
7. 在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P，则sin ＝ ．
8. 已知cos ＝，则cos ＋cos2的值为 ．
四、解答题
9. 求证：＝－tan α.
10. 在单位圆中，锐角α的终边与单位圆相交于点P，将射线OP绕原点O按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B.
(1) 求的值；
(2) 记点B的横坐标为f(θ)，若f(θ－π)＝，且θ∈，求cos ＋cos 的值．
11. 已知sin α＋cos α＝－，则的值为(　 　)
A. －　 B.
C. －　 D.
12. (多选)已知角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin (π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　 　)
A. sin β＝　 B. cos (π＋β)＝
C. tan β＝　 D. cos (2π－β)＝
13. 已知sin α是方程2x2－x－1＝0的根，且α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝ .第2课时　诱导公式——公式五、六
学习 目标 1. 了解公式五和公式六的推导方法． 2. 能够准确记忆公式五和公式六，灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．
新知初探基础落实
复习：关于α＋2kπ(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的四组诱导公式
公式一：sin (α＋k·2π)＝sin α，cos (α＋k·2π)＝cos α，tan (α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.
公式二：sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α，tan (π＋α)＝tan α.
公式三：sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α，tan (－α)＝－tan α.
公式四：sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α，tan (π－α)＝－tan α.
这四组公式是“不变名的诱导公式”，它们的记忆规律是：函数名不变，符号看象限．
回顾这四组诱导公式的推导过程，都是借助单位圆以及角终边关于坐标轴的对称性得到的，那么单位圆中是否还存在其他特殊的对称关系？今天我们对诱导公式继续进行探究．
一、 生成概念
问题1：作P1关于直线y＝x的对称点P5，则以OP5为终边的角γ与角α有什么关系？角γ与角α的三角函数值之间有什么关系？
如图，以OP5为终边的角γ都是与角－α终边相同的角，即γ＝2kπ＋(k∈Z)，因此只要探究角－α与α的三角函数值之间的关系即可．
设P5(x5，y5)，由于P5是点P1关于直线y＝x的对称点，可以证明x5＝y1，y5＝x1.
根据三角函数的定义，得
sin ＝y5，cos ＝x5.
从而得
公式五
sin ＝cos α
cos ＝sin α
问题2：作P5关于y轴的对称点，又能得到什么结论？
类似地，可得
公式六
sin ＝cos α
cos ＝－sin α
利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．公式一～公式六都叫做诱导公式．
请同学阅读课本P191—P193，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 诱导公式五、六(记忆：函数名改变，符号看象限)
终边关系 图示 公式
公式五 角－α与角α的终边关于直线y＝x对称 sin ＝__cos α__， cos ＝__sin α__
公式六 角＋α与角－α的终边关于直线y＝x对称，角－α与角α的终边关于x轴对称 sin ＝__cos α__， cos ＝__－sin α__
2. 拓展公式
公式七：
sin ＝__－cos α__，cos ＝__－sin α__．
公式八：
sin ＝__－cos α__，cos ＝__sin α__．
3. 所有诱导公式记忆口诀与作用
(1) 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限
(2) 诱导公式的作用
诱导公式 作用
公式一 将任意角转化为0～2π的角求值
公式二 将0～2π的角转化为0～π的角求值
公式三 将负角转化为正角求值
公式四 将～π的角转化为0～的角求值
公式五 实现正弦函数与余弦函数的互相转化
公式六
典例精讲能力初成
探究1　利用诱导公式证明恒等式
例1　(课本P192例3)证明：
(1) sin ＝－cos α；
【解答】sin ＝sin
＝－sin ＝－cos α.
(2) cos ＝sin α.
【解答】cos ＝cos ＝－cos (＋α)＝sin α.
对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
变式　求证：
(1) ＝.
【解答】左边＝＝＝＝，右边＝，所以原等式成立，即得证．
(2) ＋＝.
【解答】左边＝＋＝＋＝
＝＝＝右边，所以原等式成立，即得证．
探究2　利用诱导公式求值与化简
例2-1　(课本P193例4)化简：.
【解答】原式＝
＝＝－＝－tan α.
例2-2　(课本P193例5)已知sin (53°－α)＝，且－270°<α<－90°，求sin (37°＋α)的值．
【解答】因为(53°－α)＋(37°＋α)＝90°，所以由诱导公式五得sin (37°＋α)＝sin [90°－(53°－α)]＝cos (53°－α).因为－270°<α<－90°，所以143°<53°－α<323°.由sin (53°－α)＝>0，得143°<53°－α<180°，所以cos (53°－α)＝－＝－＝－，所以sin(37°＋α)＝－.
(1) 对于三角函数式的化简与求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2) 对于kπ±α和±α，运用诱导公式时，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名，即“奇变偶不变，符号看象限”．
变式1　已知f(α)＝.
(1) 化简f(α)；
【解答】f(α)＝＝－cos α.
(2) 若α是第三象限角，且cos ＝，求f(α).
【解答】由cos ＝，得－sin α＝，所以sin α＝－.又因为α是第三象限角，所以cos α＝－，所以f(α)＝－cos α＝.
变式2　已知角α的终边在直线y＝－2x上．
(1) 求sin α，cos α及tan α的值；
【解答】设P(x，－2x)为直线上除去原点的任意一点，则r＝|OP|＝＝|x|，若角α的终边在第四象限，则r＝x.sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，tan α＝＝－2；若角α的终边在第二象限，则r＝－x.sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝－2.
(2) 若f(x)＝，求f(α)的值．
【解答】因为f(x)＝＝＝
cos x·tan x＝sin x，所以f(α)＝sin α＝或－.
随堂内化及时评价
1. sin 95°＋cos 175°的值为(　C　)
A. sin 5°　 B. cos 5°
C. 0　 D. 2sin 5°
2. 若sin (3π＋α)＝－，则cos 等于(　A　)
A. －　 B.
C. 　 D. －
【解析】因为sin (3π＋α)＝－sin α＝－，所以sin α＝.所以cos ＝cos ＝－sin α＝－.
3. 若角θ的终边经过点，则sin ＋cos (π－θ)＋tan (2π－θ)等于(　B　)
A. －　 B.
C. 　 D. －
【解析】易知sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝－，原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝.
4. 已知sin ＝，则cos 的值为(　D　)
A. －　 B.
C. 　 D. －
【解析】cos ＝cos ＝－sin ＝－.
5. (课本P194练习3)化简：
(1) sin (α－2π)cos (2π－α)；
【解答】原式＝·sin α·cos α＝sin 2α.
(2) cos2(－α)－；
【解答】原式＝cos 2α－＝cos 2α＋.
(3) .
【解答】原式＝＝＝＝tan α.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 如果sin ＝，那么cos α＝(　A　)
A. 　 B. －
C. －　 D.
2. 设a＝cos 225°，b＝sin 120°，c＝－sin 750°，则a，b，c的大小关系为(　B　)
A. a>b>c　 B. b>c>a
C. a>c>b　 D. c>a>b
3. 已知角α是第四象限角，且sin －3cos (α－π)＝1，则tan (π－α)等于(　A　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
【解析】由sin －3cos (α－π)＝1，得－cos α＋ 3cos α＝1，即cos α＝.因为角α是第四象限角，所以sin α＝－＝－，所以tan(π－α)＝－tan α＝－＝.
4. 已知sin ＝，则cos 等于(　B　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
【解析】因为sin ＝，所以sin ＝－，则cos ＝cos ＝sin ＝－.
二、 多项选择题
5. 以下各式化简结果正确的是(　ABC　)
A. ＝cos θ　　　　
B. ＝cos 20°－sin 20°
C. sin (－36°)＋cos 54°＝0　　　　
D. sin cos ＝sin θcos θ
6. 在△ABC中，下列关系不成立的是(　ACD　)
A. cos (A＋B)＝cos C
B. sin (A＋B)＝sin C
C. sin ＝sin
D. cos ＝cos
【解析】cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，A错误．sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，B正确．sin ＝sin ＝sin ＝cos ，C错误．cos ＝cos ＝cos ＝sin ，D错误．
三、 填空题
7. 在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P，则sin ＝____．
8. 已知cos ＝，则cos ＋cos2的值为____．
【解析】因为cos＝，所以cos ＝cos ＝－cos ＝－，cos ＝cos ＝sin ，所以cos2＝sin2＝1－cos2＝1－＝，所以cos＋cos2＝－＋＝.
四、解答题
9. 求证：＝－tan α.
【解答】左边＝＝
＝＝＝－＝－tan α＝右边，所以原等式得证．
10. 在单位圆中，锐角α的终边与单位圆相交于点P，将射线OP绕原点O按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B.
(1) 求的值；
【解答】由题意得，＋m2＝1(m>0)，解得m＝，所以sin α＝，cos α＝，所以＝＝cos α＝.
(2) 记点B的横坐标为f(θ)，若f(θ－π)＝，且θ∈，求cos ＋cos 的值．
【解答】因为α为锐角，cos α＝，所以α＝，所以f(θ)＝cos .又f(θ－π)＝
cos ＝，所以cos ＝－.又θ∈，所以θ＋∈，所以sin ＝＝，所以cos＋cos ＝cos ＋
cos ＝sin －cos ＝.
11. 已知sin α＋cos α＝－，则的值为(　A　)
A. －　 B.
C. －　 D.
【解析】因为sin α＋cos α＝－，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，所以sin α·
cos α＝－，所以＝＝＝＝＝＝－.
12. (多选)已知角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin (π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　ACD　)
A. sin β＝　 B. cos (π＋β)＝
C. tan β＝　 D. cos (2π－β)＝
【解析】因为sin (π＋α)＝－sin α＝－，所以sin α＝，cos α＝±＝±.若α＋β＝，则β＝－α.对于A，sinβ＝sin ＝cos α可能成立，角β可能与角α“广义互余”，故A符合条件；对于B，cos (π＋β)＝－cos β＝－cos ＝－sin α＝－≠，故B不符合条件；对于C，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±，即C符合条件；对于D，cos (2π－β)＝cos β＝，所以sin β＝±，故D符合条件．
13. 已知sin α是方程2x2－x－1＝0的根，且α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝__－__.
【解析】由2x2－x－1＝0，解得x＝－或1.又α是第三象限角，所以sinα<0，cos α<0，故sin α＝－，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝，所以·tan2(π－α)＝·tan2α＝－tan2α＝－.(共47张PPT)
第五章 三角函数
5.3　诱导公式
第2课时　诱导公式——公式五、六
学习 目标 1. 了解公式五和公式六的推导方法．
2. 能够准确记忆公式五和公式六，灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．
新知初探 基础落实
复习：关于α＋2kπ(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的四组诱导公式
公式一：sin (α＋k·2π)＝sin α，cos (α＋k·2π)＝cos α，tan (α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.
公式二：sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α，tan (π＋α)＝tan α.
公式三：sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α，tan (－α)＝－tan α.
公式四：sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α，tan (π－α)＝－tan α.
这四组公式是“不变名的诱导公式”，它们的记忆规律是：函数名不变，符号看象限．
回顾这四组诱导公式的推导过程，都是借助单位圆以及角终边关于坐标轴的对称性得到的，那么单位圆中是否还存在其他特殊的对称关系？今天我们对诱导公式继续进行探究．
一、 生成概念
问题1：作P1关于直线y＝x的对称点P5，则以OP5为终边的角γ与角α有什么关系？角γ与角α的三角函数值之间有什么关系？
设P5(x5，y5)，由于P5是点P1关于直线y＝x的对称点，可以证明x5＝y1，y5＝x1.
根据三角函数的定义，得
从而得
问题2：作P5关于y轴的对称点，又能得到什么结论？
请同学阅读课本P191—P193，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 诱导公式五、六(记忆：函数名改变，符号看象限)
cos α
sin α
cos α
－sin α
－cos α
－sin α
－cos α
sin α
3. 所有诱导公式记忆口诀与作用
(1) 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限
(2) 诱导公式的作用
典例精讲 能力初成
探究
　　　(课本P192例3)证明：
1
利用诱导公式证明恒等式
1
对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
变式　
　　　　求证：
探究
　　　　(课本P193例4)化简：
2
利用诱导公式求值与化简
2－1
2－2
(1) 对于三角函数式的化简与求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(1) 化简f(α)；
变式1　
　　　　已知角α的终边在直线y＝－2x上．
(1) 求sin α，cos α及tan α的值；
变式2　
已知角α的终边在直线y＝－2x上．
随堂内化 及时评价
1. sin 95°＋cos 175°的值为 (　　)
A. sin 5°　 B. cos 5°
C. 0　 D. 2sin 5°
C
A
B
D
5. (课本P194练习3)化简：
5. (课本P194练习3)化简：
5. (课本P194练习3)化简：
配套新练案
A
2. 设a＝cos 225°，b＝sin 120°，c＝－sin 750°，则a，b，c的大小关系为
(　　)
A. a>b>c　 B. b>c>a C. a>c>b　 D. c>a>b
B
A
B
ABC
ACD
A
【答案】ACD

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