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5.4　三角函数的图象与性质
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象
学习 目标 1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线． 2. 理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P196—P200，完成下列填空．
1. 正(余)弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象画法 五点法 五点法
关键五点 (0，0)， ， (π，0)， ， (2π，0) (0，1)，， ， ，(2π，1)
正(余)弦曲线 正(余)弦函数的图象叫做
2. 用“五点法”作正(余)弦函数的简图步骤
(1) 确定五个关键点：最高点、最低点、与x轴的三个交点(三个平衡点)；
(2) 列表：将五个关键点列成表格形式；
(3) 描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点；
(4) 连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征；
(5) 平移：将所作的[0，2π]上的曲线向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度)，得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线．
典例精讲能力初成
探究1　用“五点法”作简图
例1　(课本P199例1)画出下列函数的简图：
(1) y＝1＋sin x，x∈[0，2π]；
(2) y＝－cos x，x∈[0，2π].
描点法画正弦、余弦函数图象的关键：
(1) 列表时，自变量x的数值要适当选取；(2) 在函数定义域内取值；(3) 按由小到大的顺序取值；(4) 取的个数应分布均匀；(5) 应注意图形中的特殊点(如：端点、交点、顶点)；(6) 尽量取特殊角．
变式　用“五点法”作下列函数的大致图象：
(1) y＝sin x－2，x∈[－π，π]；
(2) y＝1－2sin x，x∈[0，2π].
探究2　用图象变换作函数图象
例2　作函数y＝的图象．
对于某些函数的图象，可通过图象变换(平移变换、对称变换等)作图．如y＝|sin x|，y＝sin |x|等．把y＝sin x的图象在x轴上方的保留，在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，就可得y＝|sin x|的图象．把y＝sin x的图象在y轴右侧的保留，去掉y轴左侧的图象，再把y轴右侧的图象沿y轴翻折到y轴左侧，就可得y＝sin |x|的图象．
变式　函数y＝的一个单调递增区间是(　 　)
A. 　 B.
C. 　 D.
探究3　正(余)弦函数的图象的应用
视角1　利用图象解三角不等式
例3-1　在[0，2π]内，不等式sin x<－的解集是 ．
利用三角函数图象解三角不等式的方法：
(1) 作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
(2) 写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
(3) 写出不等式的解集．
变式　不等式2cos x＋≥0在[－π，π]上的解集为 ．
视角2　利用图象研究函数零点
例3-2　函数f(x)＝3sin x－x的零点个数为 ．
变式　(多选)函数y＝sin x－1，x∈[0，2π]与y＝a有一个交点，则a的值可以为(　 　)
A. －1　 B. 0
C. 1　 D. －2
随堂内化及时评价
1. 用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是(　 　)
A. 0，，π，，2π　 B. 0，，，，π
C. 0，π，2π，3π，4π　 D. 0，，，，
2. 下列函数图象相同的是(　 　)
A. y＝sin x与y＝sin (π＋x)
B. y＝sin 与y＝sin
C. y＝sin x与y＝sin (－x)
D. y＝sin (2π＋x)与y＝sin x
3. 函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点的个数为(　 　)
A. 0　 B. 1 C. 2　 D. 3
4. 函数y＝sin |x|的图象是(　 　)
A B
C D
5. (多选)函数y＝3＋sin x，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点可能有(　 　)
A. 0个　 B. 1个
C. 2个　 D. 3个
配套新练案
一、 单项选择题
1. 用“五点法”作y＝cos x的图象，首先描出的五个点的横坐标是(　 　)
A. 0，，π，，2π　 B. 0，，，，π
C. 0，π，2π，3π，4π　 D. 0，，，，
2. 不等式sin x<－，x∈[0，2π]的解集是(　 　)
A. 　 B.
C. 　 D.
3. 函数y＝sin (－x)，x∈[－π，π]的图象是(　 　)
A B
C D
将余弦函数y＝cos x的图象向右至少平移m(m＞0)个单位长度，可以得到函数y＝
－sin x的图象，则m＝(　 　)
A. 　 B. π
C. 　 D.
二、 多项选择题
5. 以下对正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是(　 　)
A. 在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同
B. 介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C. 关于x轴对称
D. 与y轴仅有一个交点
6. 若函数y＝sin x－1，x∈[0，2π]的图象与直线y＝a只有一个交点，则a的值可能为(　 　)
A. －1　 B. 0
C. 1　 D. －2
三、 填空题
7. 函数y＝1＋cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝的交点有 个．
8. 若方程sin x＝在x∈上有两个实数解，则实数a的取值范围是 ．
四、 解答题
9. (课本P200练习2)用五点法分别画出下列函数在[－π，π]上的图象：
(1) y＝－sin x；
(2) y＝2－cos x.
10. 作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1) 观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：①sin x>0，②sin x<0.
(2) 直线y＝与y＝－sin x的图象有几个交点？
11. 关于函数f(x)＝1＋cos x，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况，下列说法正确的是(　 　)
A. 当t<0或t≥2时，有0个交点
B. 当t＝0或C. 当0D. 当012. (2025·潮州期末)方程|sin x|－lg x＝0的根的个数是(　 　)
A. 5　 B. 4
C. 3　 D. 2
13. (多选)已知f(x)＝则下列说法正确的是(　 　)
A. f(x)的值域是[0，1]
B. f(x)的图象关于y轴对称
C. f(x)在区间上单调递增
D. f(x)在[0，2π]上有2个零点
14. 若函数y＝f(x)图象上存在不同的两点A，B关于y轴对称，则称点对[A，B]是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”(注：点对[A，B]与点对[B，A]可看作同一对“和谐点对”)．已知函数f(x)＝则此函数的“和谐点对”有(　 　)
A. 0对　 B. 1对
C. 2对　 D. 3对5.4　三角函数的图象与性质
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象
学习 目标 1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线． 2. 理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．
新知初探基础落实
复习：三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来我们应该研究什么问题？
定义——图象——性质．
绘制函数图象的基本步骤有哪些？
列表——描点——连线．
一、 生成概念
问题1：如何利用描点法作出正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？
利用列表、描点、连线的方法尝试画图，但在描点时会遇到一定的困难，在正弦函数中，无论是角还是函数值，都含有大量无理数，作图过程中误差较大．
问题2：在直角坐标系中如何作点？
根据定义分析确定，sin 对应的几何量．
问题3：在直角坐标系中如何作点(x0，sin x0)
方法一：如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0).
方法二：如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，圆O与x轴正半轴的交点为A(1，0).在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0＝sin x0.由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x0，sin x0).
问题4：在直角坐标系中如何作出函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？
把x轴上从0到2π这一段分成12等份，使x0的值分别为0，，，，…，2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T(x0，sin x0)的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点．
事实上，利用信息技术，可使x0在区间[0，2π]上取到足够多的值而画出足够多的点T(x0，sin x0)，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得比较精确的函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象．
问题5：探索函数y＝sin x，x∈R的图象．
探究：根据y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，请你结合已学知识尝试画出y＝sin x，x∈R的图象．
由诱导公式一可知，函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与y＝
sin x，x∈[0，2π]的图象完全一致，因此将y＝sin x，x∈[0，2π]的图象不断向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．
思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
观察可得，在y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，有以下五个点决定正弦函数的图象：
(0，0)，，，，(2π，0).
五个关键点即为最高点、最低点和与x轴的3个交点，从而引出正弦函数作图方法——“五点法”．
问题6: 探索函数y＝cos x，x∈R的图象．
探究：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
对于函数y＝cos x，由诱导公式cos x＝sin 得，y＝cos x＝sin ，x∈R.而函数y＝sin ，x∈R的图象可以通过正弦函数y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度得到．所以余弦函数的图象可以通过正弦函数的图象向左平移个单位长度得到．
思考：类比五点法绘制正弦函数图象，在确定余弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
观察可得，在y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，有以下五个点决定余弦函数的图象：
(0，1)，，，，(2π，1).
请同学阅读课本P196—P200，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 正(余)弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象画法 五点法 五点法
关键五点 (0，0)，____，(π，0)，____，(2π，0) (0，1)，，__(π，－1)__，____，(2π，1)
正(余)弦曲线 正(余)弦函数的图象叫做__正(余)弦曲线__
2. 用“五点法”作正(余)弦函数的简图步骤
(1) 确定五个关键点：最高点、最低点、与x轴的三个交点(三个平衡点)；
(2) 列表：将五个关键点列成表格形式；
(3) 描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点；
(4) 连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征；
(5) 平移：将所作的[0，2π]上的曲线向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度)，得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线．
典例精讲能力初成
探究1　用“五点法”作简图
例1　(课本P199例1)画出下列函数的简图：
(1) y＝1＋sin x，x∈[0，2π]；
【解答】按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1＋sin x 1 2 1 0 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．
(例1(1)答)
(2) y＝－cos x，x∈[0，2π].
【解答】按五个关键点列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－cos x －1 0 1 0 －1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．
(例1(2)答)
描点法画正弦、余弦函数图象的关键：
(1) 列表时，自变量x的数值要适当选取；(2) 在函数定义域内取值；(3) 按由小到大的顺序取值；(4) 取的个数应分布均匀；(5) 应注意图形中的特殊点(如：端点、交点、顶点)；(6) 尽量取特殊角．
变式　用“五点法”作下列函数的大致图象：
(1) y＝sin x－2，x∈[－π，π]；
【解答】列表：
x －π － 0 π
sin x 0 －1 0 1 0
sin x－2 －2 －3 －2 －1 －2
描点，画出图象如图所示．
(变式(1)答)
(2) y＝1－2sin x，x∈[0，2π].
【解答】列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－2sin x 1 －1 1 3 1
描点，画出图象如图所示．
(变式(2)答)
探究2　用图象变换作函数图象
例2　作函数y＝的图象．
【解答】y＝＝|sinx|，即y＝(k∈Z)，
作出其图象如图所示．
(例2答)
对于某些函数的图象，可通过图象变换(平移变换、对称变换等)作图．如y＝|sin x|，y＝sin |x|等．把y＝sin x的图象在x轴上方的保留，在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，就可得y＝|sin x|的图象．把y＝sin x的图象在y轴右侧的保留，去掉y轴左侧的图象，再把y轴右侧的图象沿y轴翻折到y轴左侧，就可得y＝sin |x|的图象．
变式　函数y＝的一个单调递增区间是(　D　)
A. 　 B.
C. 　 D.
【解析】根据题意，作出函数y＝的图象如图．由图知，函数y＝|cos x|在区间和上单调递增；在区间和上单调递减．所以选项A，B，C错误，选项D正确．
(变式答)
探究3　正(余)弦函数的图象的应用
视角1　利用图象解三角不等式
例3-1　在[0，2π]内，不等式sin x<－的解集是____．
【解析】画出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象如图．因为sin ＝，所以sin ＝－，sin ＝－，即在[0，2π]内，方程sin x＝－的解为x＝或x＝.结合图象可知在[0，2π]内，不等式sin x<－的解集是.
(例3-1答)
利用三角函数图象解三角不等式的方法：
(1) 作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
(2) 写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
(3) 写出不等式的解集．
变式　不等式2cos x＋≥0在[－π，π]上的解集为__[－，]__．
【解析】因为2cos x＋≥0，所以cos x≥－，注意到x∈[－π，π]，结合余弦函数图象解得x∈[－，].
(变式答)
视角2　利用图象研究函数零点
例3-2　函数f(x)＝3sin x－x的零点个数为__3__．
【解析】由f(x)＝0，得sin x＝，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝sin x，y＝图象的交点个数，在同一平面直角坐标系中画出两函数图象如图所示，则交点有3个，即f(x)有3个零点．
(例3-2答)
变式　(多选)函数y＝sin x－1，x∈[0，2π]与y＝a有一个交点，则a的值可以为(　BD　)
A. －1　 B. 0
C. 1　 D. －2
【解析】画出y＝sin x－1，x∈[0，2π]的图象，如图．直线y＝0和y＝－2与y＝sin x－1，x∈[0，2π]的图象只有一个交点，故a＝0或a＝－2.
(变式答)
随堂内化及时评价
1. 用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是(　B　)
A. 0，，π，，2π　 B. 0，，，，π
C. 0，π，2π，3π，4π　 D. 0，，，，
2. 下列函数图象相同的是(　D　)
A. y＝sin x与y＝sin (π＋x)
B. y＝sin 与y＝sin
C. y＝sin x与y＝sin (－x)
D. y＝sin (2π＋x)与y＝sin x
3. 函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点的个数为(　C　)
A. 0　 B. 1
C. 2　 D. 3
【解析】如图，在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，再画直线y＝－，由图可知交点的个数为2.
(第3题答)
4. 函数y＝sin |x|的图象是(　B　)
A B
C D
【解析】y＝sin |x|＝作出y＝sin |x|的简图知选B.
5. (多选)函数y＝3＋sin x，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点可能有(　ABC　)
A. 0个　 B. 1个
C. 2个　 D. 3个
【解析】在同一直角坐标系中，作出y＝3＋sin x，x∈与y＝t的图象，由图象可知，函数y＝3＋sin x，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点个数可能为0，1，2.
(第5题答)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 用“五点法”作y＝cos x的图象，首先描出的五个点的横坐标是(　A　)
A. 0，，π，，2π　 B. 0，，，，π
C. 0，π，2π，3π，4π　 D. 0，，，，
2. 不等式sin x<－，x∈[0，2π]的解集是(　A　)
A. 　 B.
C. 　 D.
3. 函数y＝sin (－x)，x∈[－π，π]的图象是(　D　)
A B
C D
【解析】因为y＝sin (－x)与y＝sin x的图象关于x轴对称，只有D符合题意．
将余弦函数y＝cos x的图象向右至少平移m(m＞0)个单位长度，可以得到函数y＝
－sin x的图象，则m＝(　C　)
A. 　 B. π
C. 　 D.
【解析】根据诱导公式得，y＝－sin x＝cos ＝cos ，故欲得到y＝－sin x的图象，需将y＝cos x的图象向右至少平移个单位长度．
二、 多项选择题
5. 以下对正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是(　ABD　)
A. 在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同
B. 介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C. 关于x轴对称
D. 与y轴仅有一个交点
6. 若函数y＝sin x－1，x∈[0，2π]的图象与直线y＝a只有一个交点，则a的值可能为(　BD　)
A. －1　 B. 0
C. 1　 D. －2
【解析】画出y＝sin x－1，x∈[0，2π]的图象如图所示，由图可知直线y＝0和y＝－2与y＝sin x－1，x∈[0，2π]的图象只有一个交点，故a＝0或a＝－2.
(第6题答)
三、 填空题
7. 函数y＝1＋cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝的交点有__2__个．
【解析】令1＋cos x＝，即cos x＝，因为x∈[0，2π]，所以x＝或，所以函数y＝1＋cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝有2个交点．
8. 若方程sin x＝在x∈上有两个实数解，则实数a的取值范围是__(－1，1－]__．
【解析】设h(x)＝sin x，x∈，y＝.作出h(x)＝sin x，x∈的图象如图所示．由图可知，当≤<1，即－1(第8题答)
四、 解答题
9. (课本P200练习2)用五点法分别画出下列函数在[－π，π]上的图象：
(1) y＝－sin x；
(2) y＝2－cos x.
【解答】列表如下：
x －π － 0 π
y＝－sin x 0 1 0 －1 0
y＝2－cos x 3 2 1 2 3
(第9题答)
10. 作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1) 观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：①sin x>0，②sin x<0.
【解答】利用五点法作图，如图所示．
(第10题答)
根据图象，可知图象在x轴上方时，－sin x＞0，在x轴下方时，－sin x<0，所以当x∈
(－π，0)时，－sin x＞0，sin x<0；当x∈(0，π)时，－sin x<0，sin x＞0.
(2) 直线y＝与y＝－sin x的图象有几个交点？
【解答】画出直线y＝，由图象可知有2个交点．
11. 关于函数f(x)＝1＋cos x，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况，下列说法正确的是(　B　)
A. 当t<0或t≥2时，有0个交点
B. 当t＝0或C. 当0D. 当0【解析】在同一平面直角坐标系内作出f(x)＝1＋cos x，x∈(，2π)的图象与直线y＝t的图象如图所示．根据图象，可知当t＝2时，有1个交点，故A错误；当t＝0或(第11题答)
12. (2025·潮州期末)方程|sin x|－lg x＝0的根的个数是(　A　)
A. 5　 B. 4
C. 3　 D. 2
【解析】画出f(x)＝|sin x|和y＝lg x的函数图象，因为|sin x|≤1，lg 10＝1，结合图象可得函数f(x)＝|sin x|与函数y＝lg x的图象的交点个数是5.
(第12题答)
13. (多选)已知f(x)＝则下列说法正确的是(　AD　)
A. f(x)的值域是[0，1]
B. f(x)的图象关于y轴对称
C. f(x)在区间上单调递增
D. f(x)在[0，2π]上有2个零点
【解析】f(x)＝作出函数f(x)的大致图象如图所示，结合选项知A，D正确．
(第13题答)
14. 若函数y＝f(x)图象上存在不同的两点A，B关于y轴对称，则称点对[A，B]是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”(注：点对[A，B]与点对[B，A]可看作同一对“和谐点对”)．已知函数f(x)＝则此函数的“和谐点对”有(　C　)
A. 0对　 B. 1对
C. 2对　 D. 3对
【解析】函数y＝ex(x＜0)关于y轴对称的函数解析式为y＝e－x(x≥0)，结合“和谐点对”的定义可知原问题等价于：求函数y＝e－x(x≥0)与函数y＝2sin x(0≤x≤2π)图象交点的个数，作出两函数在[0，2π]上的图象如图所示，可得交点的个数为2，即此函数的“和谐点对”有2对．
(第14题答)(共56张PPT)
第五章 三角函数
5.4　三角函数的图象与性质
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象
学习 目标 1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线．
2. 理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．
新知初探 基础落实
复习：三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来我们应该研究什么问题？
定义——图象——性质．
绘制函数图象的基本步骤有哪些？
列表——描点——连线．
一、 生成概念
问题1：如何利用描点法作出正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？
利用列表、描点、连线的方法尝试画图，但在描点时会遇到一定的困难，在正弦函数中，无论是角还是函数值，都含有大量无理数，作图过程中误差较大．
问题3：在直角坐标系中如何作点(x0，sin x0)
方法一：如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0).
方法二：如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，圆O与x轴正半轴的交点为A(1，0).在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0＝sin x0.由此，
以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，
即得到函数图象上的点T(x0，sin x0).
问题4：在直角坐标系中如何作出函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？
事实上，利用信息技术，可使x0在区间[0，2π]上取到足够多的值而画出足够多的点T(x0，sin x0)，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得比较精确的函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象．
问题5：探索函数y＝sin x，x∈R的图象．
探究：根据y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，请你结合已学知识尝试画出y＝sin x，x∈R的图象．
由诱导公式一可知，函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与y＝
sin x，x∈[0，2π]的图象完全一致，因此将y＝sin x，x∈[0，2π]的图象不断向左、
右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．
思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
五个关键点即为最高点、最低点和与x轴的3个交点，从而引出正弦函数作图方
法——“五点法”．
问题6: 探索函数y＝cos x，x∈R的图象．
探究：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
思考：类比五点法绘制正弦函数图象，在确定余弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
请同学阅读课本P196—P200，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 正(余)弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
(π，－1)
正(余)弦曲线
2. 用“五点法”作正(余)弦函数的简图步骤
(1) 确定五个关键点：最高点、最低点、与x轴的三个交点(三个平衡点)；
(2) 列表：将五个关键点列成表格形式；
(3) 描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点；
(4) 连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征；
(5) 平移：将所作的[0，2π]上的曲线向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度)，得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线．
典例精讲 能力初成
探究
　　　(课本P199例1)画出下列函数的简图：
(1) y＝1＋sin x，x∈[0，2π]；
1
用“五点法”作简图
1
【解答】按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．
(课本P199例1)画出下列函数的简图：
(2) y＝－cos x，x∈[0，2π].
【解答】按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．
描点法画正弦、余弦函数图象的关键：
(1) 列表时，自变量x的数值要适当选取；(2) 在函数定义域内取值；(3) 按由小到大的顺序取值；(4) 取的个数应分布均匀；(5) 应注意图形中的特殊点(如：端点、交点、顶点)；(6) 尽量取特殊角．
【解答】列表：
变式　
　　　用“五点法”作下列函数的大致图象：
(1) y＝sin x－2，x∈[－π，π]；
描点，画出图象如图所示．
【解答】列表：
用“五点法”作下列函数的大致图象：
(2) y＝1－2sin x，x∈[0，2π].
描点，画出图象如图所示．
探究
2
用图象变换作函数图象
2
对于某些函数的图象，可通过图象变换(平移变换、对称变换等)作图．如y＝
|sin x|，y＝sin |x|等．把y＝sin x的图象在x轴上方的保留，在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，就可得y＝|sin x|的图象．把y＝sin x的图象在y轴右侧的保留，去掉y轴左侧的图象，再把y轴右侧的图象沿y轴翻折到y轴左侧，就可得y＝sin |x|的图象．
变式　
D
探究
视角1　利用图象解三角不等式
3
正(余)弦函数的图象的应用
3－1
利用三角函数图象解三角不等式的方法：
(1) 作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
(2) 写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
(3) 写出不等式的解集．
变式　
视角2　利用图象研究函数零点
3－2
　　　　　函数f(x)＝3sin x－x的零点个数为____．
3
【解析】画出y＝sin x－1，x∈[0，2π]的图象，如图．直线y＝0和y＝－2与y＝sin x－1，x∈[0，2π]的图象只有一个交点，故a＝0或a＝－2.
变式　
　　　(多选)函数y＝sin x－1，x∈[0，2π]与y＝a有一个交点，则a的值可以为
(　　)
A. －1　 B. 0
C. 1　 D. －2
BD
随堂内化 及时评价
1. 用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是 (　　)
B
D
C
4. 函数y＝sin |x|的图象是 (　　)
B
ABC
配套新练案
A
A
3. 函数y＝sin (－x)，x∈[－π，π]的图象是 (　　)
【解析】因为y＝sin (－x)与y＝sin x的图象关于x轴对称，只有D符合题意．
D
4. 将余弦函数y＝cos x的图象向右至少平移m(m＞0)个单位长度，可以得到函数y＝－sin x的图象，则m＝ (　　)
C
二、 多项选择题
5. 以下对正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是 (　　　)
A. 在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同
B. 介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C. 关于x轴对称
D. 与y轴仅有一个交点
ABD
6. 若函数y＝sin x－1，x∈[0，2π]的图象与直线y＝a只有一个交点，则a的值可能为
(　　)
A. －1　 B. 0 C. 1　 D. －2
BD
【解析】画出y＝sin x－1，x∈[0，2π]的图象如图所示，由图可知直线y＝0和y＝
－2与y＝sin x－1，x∈[0，2π]的图象只有一个交点，故a＝0或a＝－2.
2
四、 解答题
9. (课本P200练习2)用五点法分别画出下列函数在[－π，π]上的图象：
(1) y＝－sin x；(2) y＝2－cos x.
【解答】列表如下：
10. 作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1) 观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：①sin x>0，②sin x<0.
【解答】利用五点法作图，如图所示．
根据图象，可知图象在x轴上方时，－sin x＞0，
在x轴下方时，－sin x<0，所以当x∈(－π，0)时，
－sin x＞0，sin x<0；当x∈(0，π)时，－sin x<0，sin x＞0.
【答案】B
12. (2025·潮州期末)方程|sin x|－lg x＝0的根的个数是 (　　)
A. 5　 B. 4
C. 3　 D. 2
A
【解析】画出f(x)＝|sin x|和y＝lg x的函数图象，因为|sin x|≤1，lg 10＝1，结合图象可得函数f(x)＝|sin x|与函数y＝lg x的图象的交点个数是5.
AD
【解析】函数y＝ex(x＜0)关于y轴对称的函数解析式为y＝e－x
(x≥0)，结合“和谐点对”的定义可知原问题等价于：求函数
y＝e－x(x≥0)与函数y＝2sin x(0≤x≤2π)图象交点的个数，作
出两函数在[0，2π]上的图象如图所示，可得交点的个数为2，
即此函数的“和谐点对”有2对．
【答案】C

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