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第2课时　正弦函数、余弦函数的性质——周期性与奇偶性
学习 目标 1. 了解周期函数、周期、最小正周期的意义，会求常见三角函数的周期． 2. 通过图象直观理解奇偶性，会判断简单函数的奇偶性，能确定相应的对称轴和对称中心．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P201—P202，完成下列填空．
1. 函数的周期性：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做周期函数， 叫做这个函数的周期．
2. 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3. 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 奇偶性 最小正周期
f(x)＝sin x _ _ _ _
f(x)＝cos x _ _ _ _
f(x)＝ A sin (ωx＋φ) 当 时，f(x)＝A sin (ωx＋φ)为奇函数； 当 时，f(x)＝A sin (ωx＋φ)为偶函数 _ _
典例精讲能力初成
探究1　求三角函数的周期
例1　(课本P201例2)求下列函数的周期：
(1) y＝3sin x，x∈R；
(2) y＝cos 2x，x∈R；
(3) y＝2sin ，x∈R.
求三角函数周期的方法：(1) 定义法：利用周期函数的定义求解．(2) 公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.(3) 图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可．
变式　求下列函数的最小正周期：
(1) f(x)＝2sin ；
(2) f(x)＝2cos ；
(3) f(x)＝|cos x|.
探究2　三角函数的奇偶性
例2　判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝sin ；
(2) f(x)＝sin |x|；
(3) f(x)＝＋.
(1) 判断函数奇偶性时，一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．
(2) 对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
变式　(多选)下列函数中周期为π，且为偶函数的是(　 )
A. y＝|cos x|　 B. y＝sin 2x
C. y＝sin 　 D. y＝cos x
探究3　正、余弦函数的对称轴、对称中心
1. 正弦函数y＝sin x的对称轴为直线 ，对称中心为 ．
2. 余弦函数y＝cos x的对称轴为直线 ，对称中心为 ．
例3　函数y＝sin 的图象(　 　)
A. 关于点对称
B. 关于直线x＝对称
C. 关于点对称
D. 关于直线x＝对称
(1) 定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点．
(2) 公式法：函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋(k∈Z)，对称中心为(k∈Z)；函数y＝A cos (ωx＋φ)的对称轴为x＝－(k∈Z)，对称中心为(k∈Z).
变式　已知函数f(x)＝sin (x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ＝ ．
新视角　抽象函数的周期性问题
结论1　若函数y＝f(x)的图象的一个对称中心为(a，0)，且一条对称轴为x＝b(b≠a)，则y＝f(x)是周期函数，并且T＝4|a－b|是函数f(x)的一个周期．
结论2　若函数y＝f(x)的图象的两个对称中心分别为(a，0)与(b，0)(b≠a)，则y＝f(x)是周期函数，并且T＝2|a－b|是函数f(x)的一个周期．
结论3　若函数y＝f(x)的图象的两条对称轴为x＝a，x＝b，则y＝f(x)是周期函数，并且T＝2|a－b|是函数f(x)的一个周期．
结论4　若a是非零常数，且对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x都有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期．
①f(x＋a)＝f(x－a)；②f(x＋a)＝－f(x)；
③f(x＋a)＝；④f(x＋a)＝－.
例4　若奇函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，f(2.5)＝2，则f(－0.5)＝ ．
变式1　(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是(　 　)
A. 函数f(x)是以2为周期的周期函数
B. 函数f(x)是以4为周期的周期函数
C. 函数f(x－1)为奇函数
D. 函数f(x－3)为偶函数
变式2　已知函数f(x)对于任意x∈R满足f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 026)等于(　 　)
A. 　　　 B. 2
C. 2 013　　　 D. 2 014
随堂内化及时评价
1. 若函数f(x)＝cos ，x∈R，则f(x)是(　 　)
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数
D. 最小正周期为的偶函数
2. (2023·天津卷)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x＝2，一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　 　)
A. sin 　 B. cos
C. sin 　 D. cos
3. 函数f(x)＝sin 图象的一个对称中心的坐标是(　 　)
A. (0，0)　 B.
C. 　 D.
4. (2025·新高考Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　 　)
A. －　 B. －
C. 　 D.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数f(x)＝3sin 是(　 　)
A. 周期为3π的偶函数
B. 周期为2π的偶函数
C. 周期为3π的奇函数
D. 周期为的偶函数
2. 已知函数f(x)＝sin (x＋φ)为偶函数，则φ的取值可以为(　 　)
A. －　 B. π
C. 　 D. 0
3. 下列函数中，是偶函数且其图象关于点对称的是(　 　)
A. y＝cos 　 B. y＝sin
C. y＝cos (x＋π)　 D. y＝sin (x＋π)
4. 若函数f(x)＝cos (πx＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x＝对称，则φ＝(　 　)
A. 　 B.
C. 　 D.
二、 多项选择题
5. 下列函数中，周期为π且为偶函数的是(　 　)
A. y＝|cos x|　 B. y＝sin 2x
C. y＝sin 　 D. y＝cos x
6. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2＋x)＝f(－x)，若f(1)＝2，则(　 　)
A. 2为f(x)的一个周期　　　　
B. f(x)的图象关于直线x＝1对称
C. f(2 024)＝0　　　　
D. f(2 025)＝－2
三、 填空题
7. 若函数y＝sin 2ωx(ω>0)的最小正周期为T，且≤T≤π，则ω的取值范围是 ．
8. 已知函数f(x)＝2sin (ω>0)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则ω的值为 ．
四、 解答题
9. 判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
(1) y＝sin 3x；
(2) y＝x sin x；
(3) y＝2sin .
10. 已知函数f(x)＝cos .
(1) 求函数f(x)的最小正周期；
(2) 求函数f(x)图象的对称轴与对称中心．
11. 函数f(x)＝2sin2x＋cosx－1是(　 　)
A. 周期为2π的偶函数　　　　
B. 周期为π的偶函数
C. 周期为2π的奇函数　　　　
D. 周期为π的奇函数
12. 若函数f(x)＝sin (x＋φ)(－π<φ<2π)的图象关于直线x＝对称，则φ的值的个数为(　 　)
A. 1　 B. 2
C. 3　 D. 4
13. 已知f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝3，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＋f(2 025)＝(　 　)
A. 2 025　 B. 0
C. 3　 D. －2 025
14. 已知函数f(x)＝sin ωx，函数g(x)＝cos ωx，其中ω>0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．
(1) 当ω＝1时，△ABC的面积的最小值为 ；
(2) 若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为 ．第2课时　正弦函数、余弦函数的性质——周期性与奇偶性
学习 目标 1. 了解周期函数、周期、最小正周期的意义，会求常见三角函数的周期． 2. 通过图象直观理解奇偶性，会判断简单函数的奇偶性，能确定相应的对称轴和对称中心．
新知初探基础落实
你能举出生活中的周而复始，循环往复现象吗？
我们称这种周而复始，循环往复的变化规律为周期性，那么正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢？
一、 生成概念
问题1：正弦函数、余弦函数的图象有什么特点？
能够发现正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规律．我们可以从两个方面来验证这种特点：①函数的图象，回顾正弦函数、余弦函数的图象的画法，我们是先画出[0，2π]上的函数图象，然后每次向左(右)平移2π个单位长度得到整个定义域上的函数图象．
②诱导公式一，sin (α＋2kπ)＝sin α，cos (α＋2kπ)＝cos α对任意的k∈Z都成立．
一般地，设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
思考：sin ＝－＝sin ，sin ＝＝sin ，那么是正弦函数y＝sin x的一个周期吗？为什么？
当x＝时，sin ＝sin ＝1≠sin ，因此不是正弦函数y＝sin x的一个周期．
问题2：正弦函数y＝sin x的周期是多少？
周期T＝2kπ， k∈Z.
思考：k取不同的值，周期T也发生变化，2π，－2π，4π都是它的周期吗？
sin (x＋2π)＝sin x，满足f(x＋2π)＝f(x)，2π是正弦函数的周期．
sin (x＋4π)＝sin x，满足f(x＋4π)＝f(x)，4π是正弦函数的周期．
sin [x＋(－2π)]＝sin x，满足f(x＋(－2π))＝f(x)，－2π是正弦函数的周期．
问题3：对任意的周期函数，如果T是周期，那么kT(k∈Z，k≠0)是否还是它的周期呢？
因为T是函数f(x)的周期，
所以f(x)＝f(x＋T)，
所以f(x＋kT)＝f(x＋(k－1)T＋T)＝f(x＋(k－1)T)＝…＝f(x＋T)＝f(x)，
所以kT是f(x)的周期．
一个函数的周期不唯一，可以是正数，也可以是负数．
问题4：正弦函数的周期不唯一，是否存在一个最小的正数？
正弦函数的周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，当k＝1时得到最小的正数为2π.
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
问题5：余弦函数是否为周期函数，若是，请指出其周期和最小正周期．
余弦函数也是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
问题6：探索正弦函数、余弦函数的奇偶性．
探究：仔细观察正弦、余弦函数的图象，说说它们分别关于什么对称？
正弦曲线关于原点O对称，所以正弦函数是奇函数；余弦曲线关于y轴对称，所以余弦函数是偶函数．
思考：如何从代数角度证明正弦函数、余弦函数的奇偶性？
函数y＝sin x的定义域为R.
因为f(－x)＝sin (－x)＝－sin x＝－f(x)，
所以y＝sin x为奇函数．
函数y＝cos x的定义域为R.
因为f(－x)＝cos (－x)＝cos x＝f(x)，
所以y＝cos x为偶函数．
总结：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
请同学阅读课本P201—P202，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 函数的周期性：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个__非零常数T__，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且__f(x＋T)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做周期函数，
__非零常数T__叫做这个函数的周期．
2. 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__最小的正数__，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3. 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 奇偶性 最小正周期
f(x)＝sin x __奇函数__ __T＝2π__
f(x)＝cos x __偶函数__ __T＝2π__
f(x)＝ A sin (ωx＋φ) 当__φ＝kπ(k∈Z)__时，f(x)＝A sin (ωx＋φ)为奇函数； 当__φ＝kπ＋(k∈Z)__时，f(x)＝A sin (ωx＋φ)为偶函数 __T＝__
典例精讲能力初成
探究1　求三角函数的周期
例1　(课本P201例2)求下列函数的周期：
(1) y＝3sin x，x∈R；
【解答】 x∈R，有3sin (x＋2π)＝3sin x．由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.
(2) y＝cos 2x，x∈R；
【解答】令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cos z的周期为2π，即cos (z＋2π)＝cos z，于是cos (2x＋2π)＝cos 2x，所以cos [2(x＋π)]＝cos 2x，x∈R.由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.
(3) y＝2sin ，x∈R.
【解答】令z＝x－，由x∈R得z∈R，且y＝2sin z的周期为2π，即2sin (z＋2π)＝
2sin z，于是2sin (x－＋2π)＝2sin ，所以2sin ＝2sin .由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.
求三角函数周期的方法：(1) 定义法：利用周期函数的定义求解．(2) 公式法：对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.(3) 图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可．
变式　求下列函数的最小正周期：
(1) f(x)＝2sin ；
【解答】因为T＝＝6π，所以最小正周期为6π.
(2) f(x)＝2cos ；
【解答】因为T＝＝，所以最小正周期为.
(3) f(x)＝|cos x|.
【解答】作出f(x)＝|cos x|的部分图象如图所示，所以其最小正周期为π.
(例1(3)答)
探究2　三角函数的奇偶性
例2　判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝sin ；
【解答】因为函数f(x)的定义域为R，f(x)＝sin ＝－cos ，所以f(－x)＝
－cos ＝－cos ＝f(x)，所以f(x)＝sin 是偶函数．
(2) f(x)＝sin |x|；
【解答】因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝sin |－x|＝sin |x|＝f(x)，所以函数f(x)＝
sin |x|是偶函数．
(3) f(x)＝＋.
【解答】由得cos x＝1，所以x＝2kπ(k∈Z)，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．
(1) 判断函数奇偶性时，一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．
(2) 对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
变式　(多选)下列函数中周期为π，且为偶函数的是(　AC　)
A. y＝|cos x|　 B. y＝sin 2x
C. y＝sin 　 D. y＝cos x
【解析】对于A，因为|cos (x＋π)|＝|－cos x|＝|cos x|，所以y＝|cos x|的周期为π，又
|cos (－x)|＝|cos x|，所以y＝|cos x|是偶函数，A符合题意；对于B，y＝sin 2x是奇函数，B不合题意；对于D，y＝cos x的周期为＝4π，所以D不合题意；对于C，y＝sin ＝cos 2x，因为cos (－2x)＝cos 2x，所以y＝sin 是偶函数，又y＝sin ＝cos 2x的周期是＝π，C符合题意．
探究3　正、余弦函数的对称轴、对称中心
1. 正弦函数y＝sin x的对称轴为直线__x＝kπ＋(k∈Z)__，对称中心为__(kπ，0)(k∈Z)__．
2. 余弦函数y＝cos x的对称轴为直线__x＝kπ(k∈Z)__，对称中心为__(k∈Z)__．
例3　函数y＝sin 的图象(　A　)
A. 关于点对称
B. 关于直线x＝对称
C. 关于点对称
D. 关于直线x＝对称
【解析】对于函数y＝sin ，令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－，k∈Z；令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋，k∈Z.所以函数y＝sin 图象的对称中心为(k∈Z)，对称轴为直线x＝＋(k∈Z).令k＝1，可知函数y＝sin 图象的一个对称中心坐标为.
(1) 定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点．
(2) 公式法：函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋(k∈Z)，对称中心为(k∈Z)；函数y＝A cos (ωx＋φ)的对称轴为x＝－(k∈Z)，对称中心为(k∈Z).
变式　已知函数f(x)＝sin (x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ＝____．
【解析】因为f(x)＝sin (x＋φ)的图象关于直线x＝对称，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z，因为－<φ<，所以k＝0，φ＝.
新视角　抽象函数的周期性问题
结论1　若函数y＝f(x)的图象的一个对称中心为(a，0)，且一条对称轴为x＝b(b≠a)，则y＝f(x)是周期函数，并且T＝4|a－b|是函数f(x)的一个周期．
结论2　若函数y＝f(x)的图象的两个对称中心分别为(a，0)与(b，0)(b≠a)，则y＝f(x)是周期函数，并且T＝2|a－b|是函数f(x)的一个周期．
结论3　若函数y＝f(x)的图象的两条对称轴为x＝a，x＝b，则y＝f(x)是周期函数，并且T＝2|a－b|是函数f(x)的一个周期．
结论4　若a是非零常数，且对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x都有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期．
①f(x＋a)＝f(x－a)；②f(x＋a)＝－f(x)；
③f(x＋a)＝；④f(x＋a)＝－.
例4　若奇函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，f(2.5)＝2，则f(－0.5)＝__－2__．
【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，所以f(2－x)＋f(x)＝0，所以f(2－x)＝f(－x)，从而有f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数，所以f(－0.5)＝－f(0.5)＝－f(2.5)＝－2.
变式1　(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是(　BC　)
A. 函数f(x)是以2为周期的周期函数
B. 函数f(x)是以4为周期的周期函数
C. 函数f(x－1)为奇函数
D. 函数f(x－3)为偶函数
【解析】因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(－x)＋f(2＋x)＝0，则f(x)＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，由此可知A错误，B正确．对于C，由f(x)＋f(2－x)＝0，可得f(x)的图象关于点(1，0)对称，由f(x)为偶函数，可得f(x)的图象关于点(－1，0)对称，将y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)的图象，则函数f(x－1)的图象关于原点对称，所以函数f(x－1)为奇函数，所以C正确．对于D，由题意不妨取满足条件的函数f(x)＝cos ，则f(x－3)＝cos ＝－sin 为奇函数，所以D错误．
变式2　已知函数f(x)对于任意x∈R满足f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 026)等于(　B　)
A. 　　　 B. 2
C. 2 013　　　 D. 2 014
【解析】因为f(x＋6)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为6，故f(2 026)＝f(4)＝＝2.
随堂内化及时评价
1. 若函数f(x)＝cos ，x∈R，则f(x)是(　A　)
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数
D. 最小正周期为的偶函数
【解析】由题意，f(x)＝cos ＝－sin 2x.又由f(－x)＝－sin (－2x)＝sin 2x＝－f(x)，可得f(x)是奇函数，且最小正周期T＝＝π.
2. (2023·天津卷)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x＝2，一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　B　)
A. sin 　 B. cos
C. sin 　 D. cos
【解析】选项中的解析式均为三角函数的形式，所以由最小正周期求ω，ω＝＝，排除C，D；对于A，当x＝2时，函数值sin ＝0，故(2，0)是函数图象的一个对称中心，排除A；对于B，当x＝2时，函数值cos ＝－1，故x＝2是函数图象的一条对称轴．
3. 函数f(x)＝sin 图象的一个对称中心的坐标是(　D　)
A. (0，0)　 B.
C. 　 D.
【解析】令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，令k＝0，得x＝，所以函数f(x)图象的一个对称中心的坐标是.
4. (2025·新高考Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　A　)
A. －　 B. －
C. 　 D.
【解析】由题知f(x)＝f(－x)，f(x＋2)＝f(x)对一切x∈R恒成立，于是f＝f＝f＝5－2×＝－.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数f(x)＝3sin 是(　A　)
A. 周期为3π的偶函数
B. 周期为2π的偶函数
C. 周期为3π的奇函数
D. 周期为的偶函数
2. 已知函数f(x)＝sin (x＋φ)为偶函数，则φ的取值可以为(　A　)
A. －　 B. π
C. 　 D. 0
3. 下列函数中，是偶函数且其图象关于点对称的是(　B　)
A. y＝cos 　 B. y＝sin
C. y＝cos (x＋π)　 D. y＝sin (x＋π)
【解析】对于A，y＝cos ＝－sin 2x为奇函数，A错误；对于B，y＝sin ＝cos 2x为偶函数，因为cos ＝cos ＝0，所以y＝sin 的图象关于点对称，B正确；对于C，y＝cos (x＋π)＝－cos x为偶函数，因为－cos ＝－，所以点不是y＝cos (x＋π)的对称中心，C错误；对于D，y＝sin (x＋π)＝－sin x为奇函数，D错误．
4. 若函数f(x)＝cos (πx＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x＝对称，则φ＝(　C　)
A. 　 B.
C. 　 D.
【解析】因为f(x)＝cos (πx＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x＝对称，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝－＋kπ(k∈Z).因为0<φ<π，所以φ＝.
二、 多项选择题
5. 下列函数中，周期为π且为偶函数的是(　AC　)
A. y＝|cos x|　 B. y＝sin 2x
C. y＝sin 　 D. y＝cos x
6. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2＋x)＝f(－x)，若f(1)＝2，则(　BC　)
A. 2为f(x)的一个周期　　　　
B. f(x)的图象关于直线x＝1对称
C. f(2 024)＝0　　　　
D. f(2 025)＝－2
【解析】由f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f(2＋2＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，则f(x)的一个周期为4，故A错误；因为f(2＋x)＝f(－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B正确；f(2 024)＝f(506×4)＝f(0)＝0，故C正确；f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝2，故D错误．
三、 填空题
7. 若函数y＝sin 2ωx(ω>0)的最小正周期为T，且≤T≤π，则ω的取值范围是__[1，4]__．
8. 已知函数f(x)＝2sin (ω>0)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则ω的值为__2__．
四、 解答题
9. 判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
(1) y＝sin 3x；
【解答】函数的定义域为R，f(－x)＝sin 3(－x)＝－sin 3x＝－f(x)，则y＝f(x)＝sin 3x为奇函数．
(2) y＝x sin x；
【解答】函数的定义域为R，f(－x)＝－x·sin (－x)＝x sin x＝f(x)，则y＝f(x)＝x sin x为偶函数．
(3) y＝2sin .
【解答】函数的定义域为R，f(0)＝2sin ＝1≠0，所以y＝2sin 不是奇函数，f＝2sin 0＝0，f＝2sin ＝，则f≠f，则y＝2sin 不是偶函数，所以y＝f(x)＝2sin 是非奇非偶函数．
10. 已知函数f(x)＝cos .
(1) 求函数f(x)的最小正周期；
【解答】由y＝cos ，得ω＝，所以T＝＝＝4π.
(2) 求函数f(x)图象的对称轴与对称中心．
【解答】令＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋2kπ，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称轴为x＝－＋2kπ，k∈Z.令＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋2kπ，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
11. 函数f(x)＝2sin2x＋cosx－1是(　A　)
A. 周期为2π的偶函数　　　　
B. 周期为π的偶函数
C. 周期为2π的奇函数　　　　
D. 周期为π的奇函数
【解析】因为f(x)＝2sin2x＋cosx－1，所以f(－x)＝2sin2(－x)＋cos(－x)－1＝2sin2x＋cosx－1，所以f(x)＝f(－x)，则f(x)是偶函数．因为f(x＋π)＝2sin2x－cosx－1≠f(x)，f(x＋2π)＝2sin2x＋cosx－1＝f(x)，所以f(x)是周期为2π的偶函数．
12. 若函数f(x)＝sin (x＋φ)(－π<φ<2π)的图象关于直线x＝对称，则φ的值的个数为(　C　)
A. 1　 B. 2
C. 3　 D. 4
【解析】因为f(x)＝sin (x＋φ)(－π<φ<2π)的图象关于直线x＝对称，所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，得φ＝＋kπ(k∈Z).因为－π<φ<2π，所以φ＝－，，.
13. 已知f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝3，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＋f(2 025)＝(　C　)
A. 2 025　 B. 0
C. 3　 D. －2 025
【解析】由题知f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(－x)＝f(1＋1＋x)＝f(2＋x)＝－f(x)，可得f(2＋2＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4.因为f(0)＝f(4)＝0，f(1)＝3，f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(0)＝f(2)＝0，f(－1)＝f(3)＝－f(1)＝－3，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＋f(2 025)＝506×0＋f(1)＝3.
14. 已知函数f(x)＝sin ωx，函数g(x)＝cos ωx，其中ω>0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．
(1) 当ω＝1时，△ABC的面积的最小值为__2π__；
【解析】当ω＝1时，f(x)＝sin x，g(x)＝cos x，作出两个函数图象如图所示，所以|AB|min＝2π，高为×＋×＝2，所以△ABC面积的最小值为S△ABC＝×2π×2＝2π.
(第14题答)
(2) 若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为____．
【解析】若存在△ABC是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半知，当ω取最小值时，＝2，解得ω＝，故ω的最小值为.(共54张PPT)
第五章 三角函数
5.4　三角函数的图象与性质
第2课时　正弦函数、余弦函数的性质——周期性与奇偶性
学习 目标 1. 了解周期函数、周期、最小正周期的意义，会求常见三角函数的周期．
2. 通过图象直观理解奇偶性，会判断简单函数的奇偶性，能确定相应的对称轴和对称中心．
新知初探 基础落实
你能举出生活中的周而复始，循环往复现象吗？

我们称这种周而复始，循环往复的变化规律为周期性，那么正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢？
一、 生成概念
问题1：正弦函数、余弦函数的图象有什么特点？
能够发现正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规律．我们可以从两个方面来验证这种特点：①函数的图象，回顾正弦函数、余弦函数的图象的画法，我们是先画出[0，2π]上的函数图象，然后每次向左(右)平移2π个单位长度得到整个定义域上的函数图象．②诱导公式一，sin (α＋2kπ)＝sin α，cos (α＋2kπ)＝cos α对任意的k∈Z都成立．
一般地，设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
问题2：正弦函数y＝sin x的周期是多少？
周期T＝2kπ， k∈Z.
思考：k取不同的值，周期T也发生变化，2π，－2π，4π都是它的周期吗？
sin (x＋2π)＝sin x，满足f(x＋2π)＝f(x)，2π是正弦函数的周期．
sin (x＋4π)＝sin x，满足f(x＋4π)＝f(x)，4π是正弦函数的周期．
sin [x＋(－2π)]＝sin x，满足f(x＋(－2π))＝f(x)，－2π是正弦函数的周期．
问题3：对任意的周期函数，如果T是周期，那么kT(k∈Z，k≠0)是否还是它的周期呢？
因为T是函数f(x)的周期，
所以f(x)＝f(x＋T)，
所以f(x＋kT)＝f(x＋(k－1)T＋T)＝f(x＋(k－1)T)＝…＝f(x＋T)＝f(x)，
所以kT是f(x)的周期．
一个函数的周期不唯一，可以是正数，也可以是负数．
问题4：正弦函数的周期不唯一，是否存在一个最小的正数？
正弦函数的周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，当k＝1时得到最小的正数为2π.
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
问题5：余弦函数是否为周期函数，若是，请指出其周期和最小正周期．
余弦函数也是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
问题6：探索正弦函数、余弦函数的奇偶性．
探究：仔细观察正弦、余弦函数的图象，说说它们分别关于什么对称？
正弦曲线关于原点O对称，所以正弦函数是奇函数；余弦曲线关于y轴对称，所以余弦函数是偶函数．
思考：如何从代数角度证明正弦函数、余弦函数的奇偶性？
函数y＝sin x的定义域为R.
因为f(－x)＝sin (－x)＝－sin x＝－f(x)，
所以y＝sin x为奇函数．
函数y＝cos x的定义域为R.
因为f(－x)＝cos (－x)＝cos x＝f(x)，
所以y＝cos x为偶函数．
总结：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
请同学阅读课本P201—P202，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 函数的周期性：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个____________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，____________叫做这个函数的周期．
2. 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____________，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
非零常数T
f(x＋T)＝f(x)
非零常数T
最小的正数
3. 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 奇偶性 最小正周期
f(x)＝sin x _________ ________
f(x)＝cos x _________ ________
f(x)＝ A sin (ωx＋φ) 当______________时，f(x)＝A sin (ωx＋φ)为奇函数； 当__________________时，f(x)＝A sin (ωx＋φ)为偶函数 ________
奇函数
T＝2π
偶函数
T＝2π
φ＝kπ(k∈Z)
典例精讲 能力初成
探究
　　　(课本P201例2)求下列函数的周期：
(1) y＝3sin x，x∈R；
1
求三角函数的周期
1
【解答】 x∈R，有3sin (x＋2π)＝3sin x．由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.
【解答】令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cos z的周期为2π，即cos (z＋2π)＝cos z，于是cos (2x＋2π)＝cos 2x，所以cos [2(x＋π)]＝cos 2x，x∈R.由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.
(课本P201例2)求下列函数的周期：
(2) y＝cos 2x，x∈R；
变式　
　　　　求下列函数的最小正周期：
【解答】作出f(x)＝|cos x|的部分图象如图所示，所以其最小正周期为π.
求下列函数的最小正周期：
(3) f(x)＝|cos x|.
探究
　　　判断下列函数的奇偶性：
2
三角函数的奇偶性
2
判断下列函数的奇偶性：
(2) f(x)＝sin |x|；
【解答】因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝sin |－x|＝sin |x|＝f(x)，所以函数f(x)＝sin |x|是偶函数．
(1) 判断函数奇偶性时，一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．
(2) 对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
变式　
　　　(多选)下列函数中周期为π，且为偶函数的是 (　　)
AC
探究
1. 正弦函数y＝sin x的对称轴为直线__________________，对称中心为_________ _______．
2. 余弦函数y＝cos x的对称轴为直线____________，对称中心为_______________．
3
正、余弦函数的对称轴、对称中心
(kπ，0) (k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
3
A
(1) 定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点．
变式　
结论1　若函数y＝f(x)的图象的一个对称中心为(a，0)，且一条对称轴为x＝b(b≠a)，则y＝f(x)是周期函数，并且T＝4|a－b|是函数f(x)的一个周期．
结论2　若函数y＝f(x)的图象的两个对称中心分别为(a，0)与(b，0)(b≠a)，则y＝f(x)是周期函数，并且T＝2|a－b|是函数f(x)的一个周期．
结论3　若函数y＝f(x)的图象的两条对称轴为x＝a，x＝b，则y＝f(x)是周期函数，并且T＝2|a－b|是函数f(x)的一个周期．
新视角
抽象函数的周期性问题
结论4　若a是非零常数，且对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x都有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期．
①f(x＋a)＝f(x－a)；②f(x＋a)＝－f(x)；
　　　若奇函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，f(2.5)＝2，则f(－0.5)＝______．
4
【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，所以f(2－x)＋f(x)＝0，所以f(2－x)＝f(－x)，从而有f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数，所以f(－0.5)＝－f(0.5)＝－f(2.5)＝－2.
－2
　　　　(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是 (　　)
A. 函数f(x)是以2为周期的周期函数
B. 函数f(x)是以4为周期的周期函数
C. 函数f(x－1)为奇函数
D. 函数f(x－3)为偶函数
变式1　
【答案】BC
变式2
B
随堂内化 及时评价
A
B
D
A
配套新练案
A
A
B
C
AC
6. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2＋x)＝f(－x)，若f(1)＝2，则 (　　)
A. 2为f(x)的一个周期　　　　 B. f(x)的图象关于直线x＝1对称
C. f(2 024)＝0　　　　 D. f(2 025)＝－2
BC
【解析】由f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f(2＋2＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，则f(x)的一个周期为4，故A错误；因为f(2＋x)＝
f(－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B正确；f(2 024)＝f(506×4)＝
f(0)＝0，故C正确；f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝2，故D错误．
[1，4]
2
四、 解答题
9. 判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
(1) y＝sin 3x；
【解答】函数的定义域为R，f(－x)＝sin 3(－x)＝－sin 3x＝－f(x)，则y＝f(x)＝sin 3x为奇函数．
(2) y＝x sin x；
【解答】函数的定义域为R，f(－x)＝－x·sin (－x)＝x sin x＝f(x)，则y＝f(x)＝x sin x为偶函数．
9. 判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
(1) 求函数f(x)的最小正周期；
(2) 求函数f(x)图象的对称轴与对称中心．
11. 函数f(x)＝2sin2x＋cosx－1是 (　　)
A. 周期为2π的偶函数　　　　 B. 周期为π的偶函数
C. 周期为2π的奇函数　　　　 D. 周期为π的奇函数
A
【解析】因为f(x)＝2sin2x＋cosx－1，所以f(－x)＝2sin2(－x)＋cos(－x)－1＝2sin2x＋cosx－1，所以f(x)＝f(－x)，则f(x)是偶函数．因为f(x＋π)＝2sin2x－cosx－1≠f(x)，f(x＋2π)＝2sin2x＋cosx－1＝f(x)，所以f(x)是周期为2π的偶函数．
C
13. 已知f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝3，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＋f(2 025)＝ (　　)
A. 2 025　 B. 0 C. 3　 D. －2 025
C
【解析】由题知f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(－x)＝f(1＋1＋x)＝f(2＋x)＝－f(x)，可得f(2＋2＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4.因为f(0)＝f(4)＝0，f(1)＝3，f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(0)＝f(2)＝0，f(－1)＝f(3)＝－f(1)＝－3，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＋f(2 025)＝506×0＋f(1)＝3.
(1) 当ω＝1时，△ABC的面积的最小值为_____；
2π
(2) 若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为_____．

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