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第3课时　正弦函数、余弦函数的性质——单调性与最值
学习 目标 1. 掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求函数的值域和最值． 2. 掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性并能利用单调性比较大小，会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P204—P207，完成下列填空．
一、 概念表述
1. 正弦、余弦函数的图象和性质
正弦函数 余弦函数
图象
值域 _ _ _ _
单调 性 增区间 _ _ _ _
减区间 _ _ _ _
最值 ymax＝1 x＝＋2kπ，k∈Z _ _
ymin＝－1 _ _ _ _
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 正弦函数y＝sin x在R上是增函数．(　 　)
(2) 余弦函数y＝cos x的一个单调递减区间是[0，π].(　 　)
(3) x∈[0，π]，满足sin x＝2.(　 　)
(4) 当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝2kπ＋π，k∈Z.(　 　)
典例精讲能力初成
探究1　正、余弦函数的单调区间
例1　求下列函数的单调递增区间：
(1) y＝1－sin ；
(2) y＝sin ；
(3) y＝cos 2x.
在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间的方法同上．
变式　(1) 函数f(x)＝1－sin 的一个单调递增区间是(　 　)
A. 　 B.
C. 　 D.
(2) 已知函数f(x)＝cos ，x∈，则函数f(x)的单调递减区间为 ．
探究2　正、余弦函数的最值(值域)问题
例2　(课本P205例3)下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值．
(1) y＝cos x＋1，x∈R；
(2) y＝－3sin 2x，x∈R.
三角函数值域(最值)问题的求解方法：(1) y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．(2) y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值).(3) y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
变式　求下列函数的值域：
(1) y＝cos ，x∈；
(2) y＝cos2x－4cosx＋5.
探究3　利用正、余弦函数的单调性比较大小
例3　(课本P206例4)不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1) sin 与sin ；
(2) cos 与cos .
用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．
变式　cos ，sin ，sin 的大小关系是 ．
随堂内化及时评价
1. 函数y＝sin 2x的单调递减区间是(　 　)
A. (k∈Z)
B. (k∈Z)
C. [π＋2kπ，3π＋2kπ](k∈Z)
D. (k∈Z)
2. 函数y＝sin2x－3cosx＋2的最大值为(　 　)
A. 5　 B. C. －1　 D. 1
3. 设a＝cos ，b＝sin ，c＝cos ，则(　 　)
A. a>c>b　 B. c>b>a
C. c>a>b　 D. b>c>a
4. 函数f(x)＝3sin 的一个单调递增区间是(　 　)
A. 　 B.
C. 　 D.
5. (课本P207例5)求函数y＝sin ，x∈[－2π，2π]的单调递增区间．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列函数中，周期为π，且在上单调递减的是(　 　)
A. y＝sin 　 B. y＝cos
C. y＝sin 　 D. y＝cos
2. 函数y＝sin2x－sinx＋1(x∈R)的值域是(　 　)
A. 　 B. [1，2]
C. [1，3]　 D.
3. 函数f(x)＝sin 在区间上的最小值是(　 　)
A. －1　 B. －
C. 　 D. 0
4. 已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)－1的图象关于点对称，且与直线y＝1的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且|x1－x2|的最小值为2π，则(　 　)
A. ω＝2
B. φ＝－
C. f(x)在上单调递减
D. f(x)在上的最小值为－1
二、 多项选择题
5. 设函数f(x)＝sin ，x∈R，则f(x)(　 　)
A. 最小正周期为2π
B. 是偶函数
C. 在x＝时，有最大值
D. 在上单调递增
6. 已知f(x)＝2cos ，则(　 　)
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)图象的对称轴方程为x＝2kπ－(k∈Z)
C. f(2 025π)＝
D. f(x)在上单调递减
三、 填空题
7. 函数f(x)＝－2sin x＋1，x∈的值域是 ．
8. 已知函数f(x)＝cos ωx＋11(ω>0)在上单调递减，则ω的取值范围为 ．
四、 解答题
9. 已知函数y＝a－b cos (b>0)的最大值为，最小值为－.
(1) 求a，b的值；
(2) 求函数g(x)＝－4a sin 的最小值并求出对应x的取值集合．
10. 已知函数f(x)＝sin .
(1) 求函数f(x)在R上的单调递减区间；
(2) 求函数f(x)在上的值域；
(3) 求不等式f(x)<－在[－π，π]上的解集．
11. (多选)已知函数f(x)＝2sin ，则下列说法正确的是(　 　)
A. 点是f(x)图象的一个对称中心
B. f(x)的单调递增区间为，k∈Z
C. f(x)在上的值域为
D. f(x)的最小正周期为
12. 函数y＝2cos x|tan x|的最大值为(　 　)
A. 　 B.
C. 2　 D. 1
13. 已知函数f(x)＝cos .
(1) 求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2) 设g(x)＝sin2x＋2cosx－，若对任意的x1∈，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，求实数b的取值范围．第3课时　正弦函数、余弦函数的性质——单调性与最值
学习 目标 1. 掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求函数的值域和最值． 2. 掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性并能利用单调性比较大小，会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间．
新知初探基础落实
复习：1. 正弦函数、余弦函数的周期性：
(1) y＝sin x，T＝2π；
y＝A sin (ωx＋φ)，T＝.
(2) y＝cos x，T＝2π；
y＝A cos (ωx＋φ)，T＝.
2. 正弦函数、余弦函数的奇偶性：正弦函数为奇函数；余弦函数为偶函数．
3. 正弦函数、余弦函数的对称性：
(1) y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z；对称轴为x＝＋kπ，k∈Z.
(2) y＝cos x的对称中心为，k∈Z；对称轴为x＝kπ，k∈Z.
一、 生成概念
思考1：上节课已经学习过周期性、奇偶性和对称性，那还有哪些性质需要我们研究？
单调性、最值．
思考2：利用周期性，我们可以先研究正弦函数一个周期内的单调性再进行推广，你觉得选取哪一段比较合适？
.
问题1：观察正弦函数y＝sin x，x∈的图象，研究函数的单调性与最值．
通过观察正弦函数y＝sin x，x∈的图象．
当x∈时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x的值由－1增大到1；当x∈时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x的值由1减小到－1.当x＝时，ymax＝1；当x＝－或时，ymin＝－1.
用表格表示为：
x － ↗ 0 ↗ ↗ π ↗
sin x －1 ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ －1
思考3：根据正弦函数的周期性，你能说说正弦函数y＝sin x，x∈R的单调性吗？
当x∈，k∈Z时，正弦函数y＝sin x是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈，k∈Z时，正弦函数y＝sin x是减函数，函数值由1减小到－1.
总结：1. 正弦函数y＝sin x，x∈R的单调性
在x∈，k∈Z上单调递增；在x∈，k∈Z上单调递减．
2. 正弦函数y＝sin x，x∈R的最值
当x＝＋2kπ，k∈Z时，取到最大值1；当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取到最小值－1.
问题2：类比正弦函数研究单调性(最值)的方法，请大家以小组形式进行探究余弦函数的单调性(最值)．
(1) 画出余弦函数在区间 [－π，π]上的图象，并总结函数的特征，归纳函数的性质(单调性、最值)；
(2) 画出余弦函数在定义域(x∈R)上的图象，总结归纳函数的性质．
(1)
(2)
总结：1. 余弦函数y＝cos x，x∈R的单调性
在x∈，k∈Z上单调递增；在x∈[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减．
2. 余弦函数y＝cos x，x∈R的最值
当x＝2kπ，k∈Z时，取到最大值1；当x＝π＋2kπ，k∈Z时，取到最小值－1.
请同学阅读课本P204—P207，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 正弦、余弦函数的图象和性质
正弦函数 余弦函数
图象
值域 __[－1，1]__ __[－1，1]__
单 调 性 增区间 __，k∈Z__ __[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z__
减区间 __，k∈Z__ __[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z__
最 值 ymax＝1 x＝＋2kπ，k∈Z __x＝2kπ，k∈Z__
ymin＝－1 __x＝－＋2kπ，k∈Z__ __x＝π＋2kπ，k∈Z__
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 正弦函数y＝sin x在R上是增函数．(　×　)
(2) 余弦函数y＝cos x的一个单调递减区间是[0，π].(　√　)
(3) x∈[0，π]，满足sin x＝2.(　×　)
(4) 当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝2kπ＋π，k∈Z.(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　正、余弦函数的单调区间
例1　求下列函数的单调递增区间：
(1) y＝1－sin ；
【解答】由题意可知函数y＝sin 的单调递减区间即为y＝1－sin 的单调递增区间，由2kπ＋≤≤2kπ＋(k∈Z)，得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)，故函数y＝1－sin 的单调递增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z).
(2) y＝sin ；
【解答】y＝sin ＝－sin .由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，故函数y＝sin 的单调递增区间为(k∈Z).
(3) y＝cos 2x.
【解答】令2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，所以函数y＝cos 2x的单调递增区间为，k∈Z.
在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间的方法同上．
变式　(1) 函数f(x)＝1－sin 的一个单调递增区间是(　A　)
A. 　 B.
C. 　 D.
【解析】函数f(x)＝1－sin ＝sin ＋1，要求函数的增区间，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，即－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，令k＝0，得－≤x≤，则A正确，B错误；令k＝1，得≤x≤，则C，D错误．
(2) 已知函数f(x)＝cos ，x∈，则函数f(x)的单调递减区间为____．
【解析】由题意知，f(x)＝cos ＝cos ，由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，令k＝－1，得－≤x≤－，令k＝0，则≤x≤，即函数f(x)的单调递减区间为.
探究2　正、余弦函数的最值(值域)问题
例2　(课本P205例3)下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值．
(1) y＝cos x＋1，x∈R；
【解答】使函数y＝cos x＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cos x，x∈R取得最大值的x的集合{x|x＝2kπ，k∈Z}；使函数y＝cos x＋1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y＝cos x，x∈R取得最小值的x的集合{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}．函数y＝
cos x＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0.
(2) y＝－3sin 2x，x∈R.
【解答】令z＝2x，使函数y＝－3sin z，z∈R取得最大值的z的集合，就是使y＝sin z，z∈R取得最小值的z的集合z＝－＋2kπ，k∈Z}.由2x＝z＝－＋2kπ，得x＝－＋kπ.所以使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合是x＝－＋kπ，k∈Z}.同理，使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合是x＝＋kπ，k∈Z}.函数y＝－3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3.
三角函数值域(最值)问题的求解方法：(1) y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．(2) y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值).(3) y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
变式　求下列函数的值域：
(1) y＝cos ，x∈；
【解答】由y＝cos ，x∈，可得x＋∈，函数y＝cos x在区间上单调递减，所以函数的值域为.
(2) y＝cos2x－4cosx＋5.
【解答】令t＝cos x，则－1≤t≤1，所以y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，所以当t＝－1时，y取得最大值10；当t＝1时，y取得最小值2.所以y＝cos2x－4cosx＋5的值域为[2，10].
探究3　利用正、余弦函数的单调性比较大小
例3　(课本P206例4)不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1) sin 与sin ；
【解答】因为－<－<－<0，正弦函数y＝sin x在区间上单调递增，所以sin >sin .
(2) cos 与cos .
【解答】cos ＝cos ＝cos ，cos ＝cos ＝cos .因为0<<<π，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，所以cos >cos ，即cos >cos .
用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．
变式　cos ，sin ，sin 的大小关系是__sin >sin_>cos __．
【解析】cos ＝sin ，sin ＝sin .因为－≈0.07，＝0.1，π－≈1.39，所以＞π－＞＞－＞0.又因为y＝sin x在上是增函数，所以sin >sin >cos .
随堂内化及时评价
1. 函数y＝sin 2x的单调递减区间是(　B　)
A. (k∈Z)
B. (k∈Z)
C. [π＋2kπ，3π＋2kπ](k∈Z)
D. (k∈Z)
【解析】由2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，所以y＝sin 2x的单调递减区间是(k∈Z).
2. 函数y＝sin2x－3cosx＋2的最大值为(　A　)
A. 5　 B.
C. －1　 D. 1
【解析】因为－1≤cos x≤1，y＝sin2x－3cosx＋2＝－cos2x－3cosx＋3＝－＋，故当cos x＝－1时，函数y＝sin2x－3cosx＋2取最大值，且ymax＝－1＋3＋3＝5.
3. 设a＝cos ，b＝sin ，c＝cos ，则(　A　)
A. a>c>b　 B. c>b>a
C. c>a>b　 D. b>c>a
【解析】b＝sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝cos ，c＝cos ＝cos .因为>>，且y＝cos x在上单调递减，所以a>c>b.
4. 函数f(x)＝3sin 的一个单调递增区间是(　A　)
A. 　 B.
C. 　 D.
【解析】f(x)＝3sin ＝－3sin ，令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z).令k＝0可得函数的一个单调递增区间为.
5. (课本P207例5)求函数y＝sin ，x∈[－2π，2π]的单调递增区间．
【解答】令z＝x＋，x∈[－2π，2π]，则z∈.因为y＝sin z，z∈的单调递增区间是，且由－≤x＋≤，得－≤x≤，所以函数y＝sin ，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列函数中，周期为π，且在上单调递减的是(　A　)
A. y＝sin 　 B. y＝cos
C. y＝sin 　 D. y＝cos
2. 函数y＝sin2x－sinx＋1(x∈R)的值域是(　A　)
A. 　 B. [1，2]
C. [1，3]　 D.
3. 函数f(x)＝sin 在区间上的最小值是(　B　)
A. －1　 B. －
C. 　 D. 0
【解析】因为x∈，所以2x－∈，令t＝2x－，则正弦函数y＝sin t在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以ymin＝－，故f(x)＝
sin 在区间上的最小值是f(0)＝－.
4. 已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)－1的图象关于点对称，且与直线y＝1的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且|x1－x2|的最小值为2π，则(　C　)
A. ω＝2
B. φ＝－
C. f(x)在上单调递减
D. f(x)在上的最小值为－1
【解析】由题意知，令2sin (ωx＋φ)－1＝1，得sin (ωx＋φ)＝1，此时|x1－x2|的最小值为2π，即T＝2π，所以＝2π，所以ω＝1，得f(x)＝2sin (x＋φ)－1.因为f(x)的图象关于点对称，所以－＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z.因为|φ|<，所以当k＝0时，φ＝，则f(x)＝2sin －1，当x∈时，x＋∈，此时f(x)为减函数，故A，B错误，C正确．当x∈时，x＋∈，则当x＋＝或时，函数f(x)取得最小值，且最小值为2sin －1＝－1，故D错误．
二、 多项选择题
5. 设函数f(x)＝sin ，x∈R，则f(x)(　BCD　)
A. 最小正周期为2π
B. 是偶函数
C. 在x＝时，有最大值
D. 在上单调递增
6. 已知f(x)＝2cos ，则(　AC　)
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)图象的对称轴方程为x＝2kπ－(k∈Z)
C. f(2 025π)＝
D. f(x)在上单调递减
【解析】f(x)的最小正周期为T＝＝π，故A正确；由2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故B错误；f(2 025π)＝2cos ＝2cos ＝，故C正确；当x∈时，2x－∈，显然f＝2cos (－2π)＝2，因此函数f(x)在上不单调，故D错误．
三、 填空题
7. 函数f(x)＝－2sin x＋1，x∈的值域是__[－1，3]__．
【解析】因为x∈，所以sin x∈[－1，1]，所以f(x)∈[－1，3].
8. 已知函数f(x)＝cos ωx＋11(ω>0)在上单调递减，则ω的取值范围为__(0，4]∪{12}__．
【解析】由x∈，得ωx∈，则(k∈Z)，解得12k≤ω≤4＋8k(k∈Z).由(k∈Z)，解得－四、 解答题
9. 已知函数y＝a－b cos (b>0)的最大值为，最小值为－.
(1) 求a，b的值；
【解答】因为cos ∈[－1，1]，b＞0，所以解得
(2) 求函数g(x)＝－4a sin 的最小值并求出对应x的取值集合．
【解答】由(1)知g(x)＝－2sin ，因为sin ∈[－1，1]，所以g(x)∈[－2，2]，所以g(x)的最小值为－2，此时sin ＝1，对应x的取值集合为.
10. 已知函数f(x)＝sin .
(1) 求函数f(x)在R上的单调递减区间；
【解答】由f(x)＝－sin ，结合正弦函数的单调性，则－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ且k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2) 求函数f(x)在上的值域；
【解答】当x∈时，2x－∈，则sin ∈，所以f(x)∈.
(3) 求不等式f(x)<－在[－π，π]上的解集．
【解答】由题设知sin >，且2x－∈，所以2x－∈∪，可得x∈∪.所以原不等式的解集为∪.
11. (多选)已知函数f(x)＝2sin ，则下列说法正确的是(　ACD　)
A. 点是f(x)图象的一个对称中心
B. f(x)的单调递增区间为，k∈Z
C. f(x)在上的值域为
D. f(x)的最小正周期为
【解析】令x＝，则f＝2sin ＝2sin 0＝0，所以点是f(x)图象的一个对称中心，故A正确；令－＋2kπ≤4x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋≤x≤＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，故B错误；当x∈时，－<4x－≤，所以f(x)＝2sin ∈[－2，]，故C正确；由T＝＝知，f(x)的最小正周期为，故D正确．
12. 函数y＝2cos x|tan x|的最大值为(　A　)
A. 　 B.
C. 2　 D. 1
【解析】由于y＝2cos x|tan x|＝2cos x·，且－≤x≤，所以|cos x|＝cos x，所以y＝2|sin x|，作出y＝2|sin x|的图象如图所示．由图象可知，当x＝时，y＝2|sin x|的值最大，即ymax＝2＝.
(第12题答)
13. 已知函数f(x)＝cos .
(1) 求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
【解答】函数f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，令2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2) 设g(x)＝sin2x＋2cosx－，若对任意的x1∈，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，求实数b的取值范围．
【解答】g(x)＝sin2x＋2cosx－＝1－cos2x＋2cosx－＝－(cos x－1)2＋，由于－1≤
cos x≤1，所以g(x)＝－(cos x－1)2＋∈，故原题等价于对任意的x1∈，存在t＝g(x)∈，使得f(x1)＝t.由题意，首先b>，当x1∈时，2x1－∈，而cos ＝＝cos ，又函数y＝cos x在上单调递减，在上单调递增，所以2b－≤，解得b≤.综上所述，实数b的取值范围为.(共58张PPT)
第五章 三角函数
5.4　三角函数的图象与性质
第3课时　正弦函数、余弦函数的性质——单调性与最值
学习 目标 1. 掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求函数的值域和最值．
2. 掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性并能利用单调性比较大小，会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间．
新知初探 基础落实
复习：1. 正弦函数、余弦函数的周期性：
2. 正弦函数、余弦函数的奇偶性：正弦函数为奇函数；余弦函数为偶函数．
3. 正弦函数、余弦函数的对称性：
一、 生成概念
思考1：上节课已经学习过周期性、奇偶性和对称性，那还有哪些性质需要我们研究？
单调性、最值．
思考2：利用周期性，我们可以先研究正弦函数一个周期内的单调性再进行推广，你觉得选取哪一段比较合适？
用表格表示为：
思考3：根据正弦函数的周期性，你能说说正弦函数y＝sin x，x∈R的单调性吗？
问题2：类比正弦函数研究单调性(最值)的方法，请大家以小组形式进行探究余弦函数的单调性(最值)．
(1) 画出余弦函数在区间 [－π，π]上的图象，并总结函数的特征，归纳函数的性质(单调性、最值)；
(2) 画出余弦函数在定义域(x∈R)上的图象，总结归纳函数的性质．
(1) (2)
总结：1. 余弦函数y＝cos x，x∈R的单调性
在x∈[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增；在x∈[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减．
2. 余弦函数y＝cos x，x∈R的最值
当x＝2kπ，k∈Z时，取到最大值1；当x＝π＋2kπ，k∈Z时，取到最小值－1.
请同学阅读课本P204—P207，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 正弦、余弦函数的图象和性质
正弦函数 余弦函数
图象
值域 _____________ _____________
[－1，1]
[－1，1]
[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z
[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z
x＝2kπ，k∈Z
x＝π＋2kπ，k∈Z
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 正弦函数y＝sin x在R上是增函数． (　　)
(2) 余弦函数y＝cos x的一个单调递减区间是[0，π]. (　　)
(3) x∈[0，π]，满足sin x＝2. (　　)
(4) 当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝2kπ＋π，k∈Z. (　　)
×
√
×
×
典例精讲 能力初成
探究
　　　求下列函数的单调递增区间：
1
正、余弦函数的单调区间
1
求下列函数的单调递增区间：
求下列函数的单调递增区间：
(3) y＝cos 2x.
在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝
A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间的方法同上．
变式　
A
探究
　　　(课本P205例3)下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值．
(1) y＝cos x＋1，x∈R；
2
正、余弦函数的最值(值域)问题
2
【解答】使函数y＝cos x＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cos x，x∈R取得最大值的x的集合{x|x＝2kπ，k∈Z}；使函数y＝cos x＋1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y＝cos x，x∈R取得最小值的x的集合{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}．函数y＝cos x＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0.
(课本P205例3)下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值．
(2) y＝－3sin 2x，x∈R.
三角函数值域(最值)问题的求解方法：(1) y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．(2) y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝
A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值).(3) y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
变式　
　　　　求下列函数的值域：
(2) y＝cos2x－4cosx＋5.
【解答】令t＝cos x，则－1≤t≤1，所以y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，所以当t＝－1时，y取得最大值10；当t＝1时，y取得最小值2.所以y＝cos2x－4cosx＋5的值域为[2，10].
探究
　　　(课本P206例4)不通过求值，比较下列各组数的大小：
3
利用正、余弦函数的单调性比较大小
3
(课本P206例4)不通过求值，比较下列各组数的大小：
用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．
变式　
随堂内化 及时评价
B
A
A
A
配套新练案
A
A
B
【答案】C
BCD
【答案】AC
[－1，3]
(0，4]∪{12}
(1) 求函数f(x)在R上的单调递减区间；
【答案】ACD
A
(1) 求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；

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