资源简介

5.5　三角恒等变换
第1课时　两角差的余弦公式
学习 目标 1. 了解两角差的余弦公式的推导过程． 2. 熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P215—P217，完成下列填空．
一、 概念表述
cos (α－β)＝ ．
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) cos (60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.(　 　)
(2) 当α，β∈R时，cos (α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　 　)
(3) 对于任意实数α，β，cos (α－β)＝cos α－cos β都不成立．(　 　)
(4) cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.(　 　)
典例精讲能力初成
探究1　两角差的余弦公式及简单应用
例1-1　(课本P216例1)利用公式C(α－β)证明：
(1) cos ＝sin α；
(2) cos (π－α)＝－cos α.
例1-2　(课本P216例2)已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角，求cos (α－β)的值．
变式　(1) 求值：cos 15°，cos 75°.
(2) 已知cos α＝，且α∈，求cos 的值．
(3) 已知0<α<，<β<π，且cos α＝，sin β＝，则β－α＝ ．
探究2　两角差的余弦变用与逆用
例2　求下列各式的值：
(1) cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°；
(2) cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°；
(3) cos (α－20°)cos (40°＋α)＋sin (α－20°)·sin (40°＋α)；
(4) cos 105°＋sin 105°.
逆用cos (α－β)的公式，首先要符合“cos αcos β＋sin αsin β”的形式，若不符合，要根据诱导公式变形．含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
探究3　角的变换(“凑角”)
例3　若cos (α＋β)＝，sin ＝，α，β∈，求cos 的值．
(1) 已知某一个角的三角函数值，求另一个角的余弦值时，要找到这两个角之间的联系．
(2) 由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或拼角的变换．常见角的变换有：①α＝(α＋β)－β；②β＝－；③2β＝(α＋β)－(α－β).
变式　已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
随堂内化及时评价
1. cos 96°cos 36°－sin 84°sin 216°＝(　 　)
A. 0　 B.
C. 　 D. －
2. cos 165°等于(　 　)
A. 　 B. 　　　　
C. －　 D. －
3. 已知sin (α＋β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则cos α等于(　 　)
A. 　 B.
C. －　 D. －
4. cos (α－35°)cos (α＋25°)＋sin (α－35°)sin (α＋25°)等于(　 　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
5. (课本P217练习1)利用公式C(α－β)证明：
(1) cos ＝－sin α；
(2) cos (－α)＝cos α.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 计算：cos 162°cos 132°＋cos 72°cos 42°＝(　 　)
A. 　 B.
C. －　 D. －
2. 已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P，则cos ＝(　 　)
A. 0　 B.
C. 　 D.
3. 已知α，β都为锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝，则cos β等于(　 　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
4. 若cos α＝，α∈，则cos 的值是(　 　)
A. 　 B. －
C. －　 D.
二、 多项选择题
5. 满足cos αcos β＝－sin αsin β的α，β的值可能是(　 　)
A. α＝，β＝　 B. α＝，β＝
C. α＝，β＝　 D. α＝，β＝
6. 下列式子正确的是(　 　)
A. cos (－15°)＝
B. cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝0
C. cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)·sin (25°＋α)＝
D. sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
三、 填空题
7. 计算：cos 20°cos 25°－sin 20°sin 25°＝ ．
8. 若sin α＝，cos β＝－，α与β为同一象限角，则cos (α－β)＝ ．
四、 解答题
9. (课本P217练习5)已知sin α＝－，α∈，cos β＝，β∈，求cos (β－α)的值．
10. 已知<β<α<，cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，求cos 2β的值．
11. 已知α∈，β∈，sin α＝，cos β＝－，则cos (α＋β)＝ ．
12. 已知α∈(0，π)，若cos ＝，则cos α＝ ．
13. (多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　 　)
A. cos (β－α)＝　 B. cos (β－α)＝－
C. β－α＝　 D. β－α＝－
14. 设cos ＝－，sin ＝，其中α∈，β∈，则sin ＋cos ＝ ，cos ＝ ．5.5　三角恒等变换
第1课时　两角差的余弦公式
学习 目标 1. 了解两角差的余弦公式的推导过程． 2. 熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
新知初探基础落实
问题：我们知道cos 45°＝，cos 30°＝，由此我们可以猜想：cos 15°＝cos 等于cos 45°－cos 30°吗？
根据5.1节所学的知识可知猜想是错误的．
一、 生成概念
思考：如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？
我们来探究cos (α－β)与角α，β的正弦、 余弦之间的关系．
不妨令α≠2kπ＋β，k∈Z. 如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cos α，sin α), A1(cos β，sin β)，P(cos (α－β)，sin (α－β)).任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1, P1重合．根据圆的旋转对称性可知，与重合，所以AP＝A1P1.
根据两点间的距离公式，得
[cos (α－β)－1]2＋[sin (α－β)]2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2，
化简得cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
当α＝2kπ＋β (k∈Z)时，容易证明上式仍然成立．
所以对于任意角α，β，有
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C(α－β)).
此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α－β).
请同学阅读课本P215—P217，完成下列填空．
二、 概念表述
cos (α－β)＝__cos αcos β＋sin αsin β__．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) cos (60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.(　×　)
(2) 当α，β∈R时，cos (α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　×　)
(3) 对于任意实数α，β，cos (α－β)＝cos α－cos β都不成立．(　×　)
(4) cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　两角差的余弦公式及简单应用
例1-1　(课本P216例1)利用公式C(α－β)证明：
(1) cos ＝sin α；
【解答】cos ＝cos cos α＋sin ×sin α＝0＋1×sin α＝sin α.
(2) cos (π－α)＝－cos α.
【解答】cos (π－α)＝cos πcos α＋sin πsin α＝(－1)×cos α＋0＝－cos α.
例1-2　(课本P216例2)已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角，求cos (α－β)的值．
【解答】由sin α＝，α∈，得cos α＝－＝－＝－.由cosβ＝－，β是第三象限角，得sin β＝－＝－＝－.所以cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
变式　(1) 求值：cos 15°，cos 75°.
【解答】cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.因为cos 120°＝cos (180°－60°)＝－cos 60°＝－，sin 120°＝sin (180°－60°)＝sin 60°＝，所以cos 75°＝cos (120°－45°)＝cos 120°cos 45°＋sin 120°·sin 45°＝×＋×＝.
(2) 已知cos α＝，且α∈，求cos 的值．
【解答】因为α∈，cos α＝，所以sin α＝＝，所以cos ＝cos αcos ＋sin α·sin ＝×＋×＝.
(3) 已知0<α<，<β<π，且cos α＝，sin β＝，则β－α＝____．
【解析】因为0<α<，<β<π，所以0<β－α<π.又cos α＝，sin β＝，所以sin α＝＝，cos β＝－＝－，所以cos (β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝，所以β－α＝.
探究2　两角差的余弦变用与逆用
例2　求下列各式的值：
(1) cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°；
【解答】原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos (70°－40°)＝cos 30°＝.
(2) cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°；
【解答】原式＝cos 63°cos 33°＋sin 63°sin 33°＝cos (63°－33°)＝cos 30°＝.
(3) cos (α－20°)cos (40°＋α)＋sin (α－20°)·sin (40°＋α)；
【解答】cos (α－20°)cos (40°＋α)＋sin (α－20°)sin (40°＋α)＝cos [(α－20°)－(α＋40°)]＝cos (－60°)＝.
(4) cos 105°＋sin 105°.
【解答】cos 105°＋sin 105°＝cos 60°·cos 105°＋sin 60°sin 105°＝cos (60°－105°)＝cos (－45°)＝.
逆用cos (α－β)的公式，首先要符合“cos αcos β＋sin αsin β”的形式，若不符合，要根据诱导公式变形．含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
探究3　角的变换(“凑角”)
例3　若cos (α＋β)＝，sin ＝，α，β∈，求cos 的值．
【解答】因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，β－∈.因为cos (α＋β)＝，sin ＝，所以sin (α＋β)＝＝，cos＝＝，所以cos＝cos ＝cos (α＋β)·cos ＋sin (α＋β)sin ＝×＋×＝.
(1) 已知某一个角的三角函数值，求另一个角的余弦值时，要找到这两个角之间的联系．
(2) 由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或拼角的变换．常见角的变换有：①α＝(α＋β)－β；②β＝－；③2β＝(α＋β)－(α－β).
变式　已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
【解答】由cos α＝，0<α<，得sin α＝＝＝.由0<β<α<，得0<α－β<.又因为cos(α－β)＝，所以sin (α－β)＝＝＝.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos α·cos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×＝.因为0<β<，所以β＝.
随堂内化及时评价
1. cos 96°cos 36°－sin 84°sin 216°＝(　B　)
A. 0　 B.
C. 　 D. －
2. cos 165°等于(　C　)
A. 　 B. 　　　　
C. －　 D. －
3. 已知sin (α＋β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则cos α等于(　A　)
A. 　 B.
C. －　 D. －
【解析】因为β∈且sin β＝－，所以cos β＝.又α∈，所以α＋β∈.又sin (α＋β)＝，所以cos (α＋β)＝，所以cos α＝cos [(α＋β)－β]＝cos (α＋β)·cos β＋sin (α＋β)sin β＝×＋×＝.
4. cos (α－35°)cos (α＋25°)＋sin (α－35°)sin (α＋25°)等于(　A　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
【解析】原式＝cos [(α－35°)－(α＋25°)]＝cos (－60°)＝cos 60°＝.
5. (课本P217练习1)利用公式C(α－β)证明：
(1) cos ＝－sin α；
【解答】cos ＝cos cos α＋sin ·sin α＝－sin α.
(2) cos (－α)＝cos α.
【解答】cos (－α)＝cos (0－α)＝cos 0cos α＋sin 0sin α＝cos α.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 计算：cos 162°cos 132°＋cos 72°cos 42°＝(　A　)
A. 　 B.
C. －　 D. －
2. 已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P，则cos ＝(　D　)
A. 0　 B.
C. 　 D.
3. 已知α，β都为锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝，则cos β等于(　A　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
【解析】因为α，β都为锐角，即α，β∈，所以α＋β∈(0，π).因为cos α＝，cos (α＋β)＝，所以sin α＝，sin (α＋β)＝，所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)·sin α＝×＋×＝.
4. 若cos α＝，α∈，则cos 的值是(　D　)
A. 　 B. －
C. －　 D.
【解析】因为cos α＝，α∈，所以sin α＝＝＝，所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.
二、 多项选择题
5. 满足cos αcos β＝－sin αsin β的α，β的值可能是(　BD　)
A. α＝，β＝　 B. α＝，β＝
C. α＝，β＝　 D. α＝，β＝
【解析】由cos αcos β＝－sin αsin β，得cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos (α－β)＝，所以α－β＝2kπ±(k∈Z).
6. 下列式子正确的是(　BCD　)
A. cos (－15°)＝
B. cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝0
C. cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)·sin (25°＋α)＝
D. sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
【解析】对于A，原式＝cos (30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝，故A错误．对于B，原式＝cos (15°－105°)＝cos (－90°)＝cos 90°＝0，故B正确．对于C，原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos (－60°)＝cos 60°＝，故C正确．对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos (76°－16°)＝cos 60°＝，故D正确．
三、 填空题
7. 计算：cos 20°cos 25°－sin 20°sin 25°＝____．
8. 若sin α＝，cos β＝－，α与β为同一象限角，则cos (α－β)＝____．
【解析】因为sin α＝，cos β＝－，α与β为同一象限角，所以α与β为第二象限角，所以cos α＝－，sin β＝，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝.
四、 解答题
9. (课本P217练习5)已知sin α＝－，α∈，cos β＝，β∈，求cos (β－α)的值．
【解答】由sin α＝－，α∈，得cos α＝－＝－，由cos β＝，β∈，得sin β＝－＝－，所以cos (β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝×＋×＝.
10. 已知<β<α<，cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，求cos 2β的值．
【解答】因为<β<α<，所以0<α－β<，π<α＋β<，所以sin (α－β)＝＝，cos(α＋β)＝－＝－，所以cos2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos (α＋β)·
cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝－×＋×＝－.
11. 已知α∈，β∈，sin α＝，cos β＝－，则cos (α＋β)＝____．
【解析】因为α∈，β∈，sin α＝，cos β＝－，所以cos α＝＝＝，sinβ＝－＝－＝－，所以cos(α＋β)＝
cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝＝.
12. 已知α∈(0，π)，若cos ＝，则cos α＝____．
【解析】因为α∈(0，π)，所以α＋∈，又cos ＝>0，则α＋∈，所以sin ＝＝，所以cosα＝cos ＝cos cos ＋
sin sin ＝×＋×＝.
13. (多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　AC　)
A. cos (β－α)＝　 B. cos (β－α)＝－
C. β－α＝　 D. β－α＝－
【解析】由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，两式分别平方相加，得
(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1，所以－2cos (β－α)＝－1，所以cos (β－α)＝，所以A正确，B错误．因为sin γ＝sin β－sin α＞0，所以β＞α，所以β－α＝，C正确，D错误．
14. 设cos ＝－，sin ＝，其中α∈，β∈，则sin ＋cos ＝____ ，cos ＝____．
【解析】因为α∈，β∈，所以α－∈，－β∈，所以
sin ＝＝，cos＝＝，所以sin＋cos ＝ ，cos ＝cos ＝cos cos ＋sin ·
sin ＝－×＋×＝.(共41张PPT)
第五章 三角函数
5.5　三角恒等变换
第1课时　两角差的余弦公式
学习 目标 1. 了解两角差的余弦公式的推导过程．
2. 熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
新知初探 基础落实
根据5.1节所学的知识可知猜想是错误的．
一、 生成概念
思考：如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？
根据两点间的距离公式，得
[cos (α－β)－1]2＋[sin (α－β)]2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2，
化简得cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
当α＝2kπ＋β (k∈Z)时，容易证明上式仍然成立．
所以对于任意角α，β，有
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C(α－β)).
此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α－β).
请同学阅读课本P215—P217，完成下列填空．
二、 概念表述
cos (α－β)＝_________________________．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) cos (60°－30°)＝cos 60°－cos 30°. (　　)
(2) 当α，β∈R时，cos (α－β)＝cos αcos β－sin αsin β. (　　)
(3) 对于任意实数α，β，cos (α－β)＝cos α－cos β都不成立． (　　)
(4) cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0. (　　)
cos αcos β＋sin αsin β
×
×
×
√
典例精讲 能力初成
探究
　　　　　(课本P216例1)利用公式C(α－β)证明：
1
两角差的余弦公式及简单应用
1－1
(2) cos (π－α)＝－cos α.
【解答】cos (π－α)＝cos πcos α＋sin πsin α＝(－1)×cos α＋0＝－cos α.
1－2
变式　
　　　　(1) 求值：cos 15°，cos 75°.
探究
　　　求下列各式的值：
(1) cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°；
2
两角差的余弦变用与逆用
2
(2) cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°；
求下列各式的值：
(3) cos (α－20°)cos (40°＋α)＋sin (α－20°)·sin (40°＋α)；
逆用cos (α－β)的公式，首先要符合“cos αcos β＋sin αsin β”的形式，若不符合，要根据诱导公式变形．含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
探究
3
角的变换(“凑角”)
3
(1) 已知某一个角的三角函数值，求另一个角的余弦值时，要找到这两个角之间的联系．
变式　
随堂内化 及时评价
B
C
A
A
5. (课本P217练习1)利用公式C(α－β)证明：
(2) cos (－α)＝cos α.
【解答】cos (－α)＝cos (0－α)＝cos 0cos α＋sin 0sin α＝cos α.
配套新练案
A
D
A
D
BD
【答案】BCD
三、 填空题
7. 计算：cos 20°cos 25°－sin 20°sin 25°＝_____．
四、 解答题
AC

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