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第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学习 目标 1. 掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和(差)的正弦与正切公式． 2. 会用两角和与差的三角函数进行简单的三角函数的求值、化简、计算．
新知初探基础落实
问题1：试比较cos (α－β)和cos (α＋β)，观察两者之间的联系，你能发现什么？
例如，比较cos (α－β)与cos (α＋β).注意到α＋β与α－β之间的联系α＋β＝α－(－β)，则由公式C(α－β)，有cos (α＋β)＝cos [α－(－β)]＝cos α·cos (－β)＋sin αsin (－β)＝cos αcos β－
sin αsin β，于是得到了两角和的余弦公式，简记作C(α＋β).
C(α＋β)：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
问题2：怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？
探究：上面得到了两角和与差的余弦公式．我们知道，用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化．你能根据C(α＋β)，C(α－β)及诱导公式五(或六)，推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin (α＋β)，sin (α－β)的公式吗？
通过推导，可以得到：
S(α＋β)：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
S(α－β)：sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
(1) 注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”．
(2) 公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序．
问题3：怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？
探究：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从C(α±β)，S(α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan (α＋β)，tan (α－β)的公式吗？
思考：由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？
通过推导，可以得到：
T(α＋β)：tan (α＋β)＝；
T(α－β)：tan (α－β)＝.
公式C(α＋β)，S(α＋β)，T(α＋β)给出了任意角α，β的三角函数值与其和角α＋β的三角函数值之间的关系，为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．
类似地，C(α－β)，S(α－β)，T(α－β)都叫做差角公式．
请同学阅读课本P217—P220，完成下列填空．
1. 两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：__cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β__．
C(α－β)：__cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β__．
记忆要诀：两角差(和)的余弦值等于两角的余弦值乘积加上(减去)两角的正弦值乘积．
2. 两角和与差的正弦公式
S(α＋β)：__sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β__．
S(α－β)：__sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β__．
记忆要诀：记忆时要与两角和与差的余弦公式区分开来，两角和与差的正弦公式右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左端的连接符号相同．
3. 两角和与差的正切公式
T(α＋β)：__tan (α＋β)＝__．
T(α－β)：__tan (α－β)＝__．
注意：①Tα±β公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；
②Tα±β公式的变形：tan α＋tan β＝tan (α＋β)·(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β).
记忆要诀：公式右端为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan α·
tan β的差或和；分子上的加减号与左端的加减号相同，分母的加减号与左端的加减号相反．
典例精讲能力初成
探究1　两角和与差的余弦、正弦公式及简单应用
例1　(课本P218例3部分)已知sin α＝－，α是第四象限角，求sin ，cos 的值．
【解答】由sin α＝－，α是第四象限角，得cos α＝＝＝，于是有sin＝sin cos α－cos sin α＝×－×＝；cos ＝cos cos α－
sin sin α＝×－×＝.
变式　已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos (α＋β)，sin (α＋β)，sin (α－β)的值．
【解答】因为sin α＝，且α∈，所以cos α＝－＝－＝－.又因为cosβ＝－，且β∈，所以sin β＝－＝－＝－，所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β＝×－×＝，sin (α＋β)＝
sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝，sin (α－β)＝sin αcos β－
cos αsin β＝×－×＝－.
探究2　两角和与差的正切公式及简单应用
例2　若tan α＝，tan (π－β)＝，则tan (α＋β)＝(　A　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
【解析】因为tan α＝，tan (π－β)＝－tan β＝，所以tan β＝－，则tan (α＋β)＝＝＝.
解给值求值问题的关键是先分清S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的．
探究3　公式的变用与逆用
例3　(课本P219例4)利用和(差)角公式计算下列各式的值：
(1) sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°；
【解答】由公式S(α－β)，得sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin (72°－42°)＝sin 30°＝.
(2) cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°；
【解答】由公式C(α＋β)，得cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°＝cos (20°＋70°)＝cos 90°＝0.
(3) .
【解答】由公式T(α＋β)及tan 45°＝1，得＝＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝.
(1) 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角．
(2) 由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).
变式　(1) 化简：①sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β).
②cos (70°＋α)sin (170°－α)－sin (70°＋α)·cos (10°＋α).
【解答】①原式＝sin (α＋β＋α－β)＝sin 2α.
②原式＝cos (70°＋α)sin (10°＋α)－sin (70°＋α)·cos (10°＋α)＝sin [(10°＋α)－(70°＋α)]＝sin (－60°)＝－.
(2) 求值：tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°).
【解答】因为tan 30°＝tan (10°＋20°)＝＝，则(tan 10°＋tan 20°)＝1－tan 10°tan 20°，所以tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)＝1.
(3) 若tan (α＋β)＝，tan (α－β)＝，求tan 2α的值．
【解答】tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝.
探究4　化简与求值(角)问题
例4-1　已知α∈，β∈，cos (α＋β)＝－，cos ＝，求cos 的值．
【解答】因为α∈，β∈，则α＋β∈，β－∈，又cos (α＋β)＝－，cos ＝，所以sin (α＋β)＝＝，sin＝＝，则cos＝cos ＝cos (α＋β)cos ＋sin (α＋β)sin ＝
－×＋×＝.
例4-2　(1) 已知sin ＝－，sin ＝，其中＜α＜，＜ β＜，求α＋β的大小．
【解答】因为＜α＜，所以－＜－α＜0.因为＜β＜，所以＜＋β＜.由已知可得cos ＝，cos ＝－，则cos (α＋β)＝cos ＝cos ·
cos ＋sin sin ＝×＋×＝－.因为＜α＋β＜π，所以α＋β＝.
(2) 已知tan (α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的大小．
【解答】tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝，又α∈(0，π)，所以α∈，tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝＝＝1.又tan β＝－，β∈(0，π)，所以β∈，所以2α－β∈(－π，0)，所以2α－β＝－.
解给值求角问题的步骤：
(1) 求所求角的某个三角函数值．
(2) 确定所求角的范围(范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角．
随堂内化及时评价
1. 计算：sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°＝(　B　)
A. 　　　 B.
C. sin 4°　 D. cos 4°
2. 若锐角α，β满足cos α＝，cos (α＋β)＝，则sin β的值是(　C　)
A. 　 B.
C. 　 D.
【解析】因为cos α＝，cos (α＋β)＝，α，β∈，所以0＜α＋β＜π，所以sin α＝，sin (α＋β)＝，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝×－×＝.
3. (2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　A　)
A. －3m　 B. －
C. 　 D. 3m
【解析】由cos (α＋β)＝m，得cos αcos β－sin α·sin β＝m，而tan αtan β＝2，所以＝2，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m.
4. 已知sin α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β∈，则sin β＝(　D　)
A. －　 B.
C. －　 D.
【解析】因为sin α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β∈，所以cos α＝，sin (α＋β)＝，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝.
配套新练案
练习1
一、 单项选择题
1. 计算：sin 45°cos 15°＋cos 45°cos 75°＝(　D　)
A. －　 B. －
C. 　 D.
2. 若tan α＝，tan β＝，且α∈，β∈，则α＋β的值为(　B　)
A. 　 B.
C. 　 D.
3. 已知<β<α<，cos (β－α)＝，sin (β＋α)＝－，则sin 2α等于(　B　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
4. 已知0<β<α<，cos (α－β)＝，sin β＝，则cos α＝(　B　)
A. 　 B.
C. 　 D.
【解析】因为0<β<α<，所以－<－β<0，0<α－β<，因为sin β＝，所以cos β＝＝.因为cos(α－β)＝ ，所以sin (α－β)＝＝，所以cosα＝cos [(α－β)＋β]＝cos (α－β)cos β－sin (α－β)·sin β＝×－×＝.
5. 下列计算正确的是(　ACD　)
A. cos 60°sin 15°－sin 60°cos 15°＝－
B. sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝－
C. 2＝－
D. sin 105°＝
6. (2025·厦门期末)已知α，β分别是第一、第三象限角，且tan α＝tan β＝2，则(　BC　)
A. cos (α－β)＝1　　　　 B. cos (α＋β)＝
C. sin αsin β＝－　　　　 D. cos αcos β＝
【解析】已知α为第一象限角，且tan α＝2，则所以sin α＝，cos α＝.同理β为第三象限角，则sin β＝－，cos β＝－，所以sin αsin β＝－，cos α·
cos β＝－，C正确，D错误，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－1，A错误；cos (α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β＝，B正确．
三、 填空题
7. 已知tan ＝，tan ＝，则tan (α－β)的值为__1__．
【解析】因为tan ＝，tan ＝，所以tan (α－β)＝tan ＝＝＝1.
8. 已知cos θ＝，则sin ＝____；sin ＝____．
【解析】因为cos θ＝，所以sin θ＝＝，所以sin＝sin θ·
cos ＋cos θsin ＝×＝；sin ＝sin θcos －cos θsin ＝×－×＝.
四、 解答题
9. 已知0<α<，cos ＝.
(1) 求sin α的值；
【解答】因为0<α<，所以<α＋<.又cos ＝，所以sin ＝＝，所以sin α＝sin ＝sin cos －cos ·sin ＝×＝.
(2) 若－<β<0，sin β＝－，求cos (α＋β)的值．
【解答】因为sin β＝－，－<β<0，所以cos β＝＝＝.由(1)知，cosα＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝，所以cos (α＋β)＝
cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
10. 已知tan α＝4，sin (α－β)＝，且0<β<α<.
(1) 求sin α和cos α的值；
【解答】因为tan α＝4，sin (α－β)＝，且0<β<α<，所以cos2α＝＝.因为cosα＞0，所以cos α＝，所以sin α＝＝.
(2) 求β的大小．
【解答】因为0<β<α<，所以0<α－β<，所以cos (α－β)＝＝，所以sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－sin (α－β)cos α＝×－×＝，故β＝.
11. 已知0<β<α<，cos (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则tan αtan β的值为(　A　)
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D. 2
【解析】cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，＝，分子分母同时除以cos αcos β得＝①，由于0<β<α<，所以0<α－β<，所以cos (α－β)＝＝，所以tan (α－β)＝＝，即＝，分子分母同时除以cos αcos β得＝，tan α－tan β＝＋tan αtan β，代入①得＝，解得tan αtan β＝.
12. 已知sin ＝－，则sin (α－2β)cos α－cos (2β－α)sin α＝(　B　)
A. －　　　　 B. 　　　　
C. －　　　　 D.
【解析】因为sin ＝－，故由两角和的正弦公式得sin β＋cos β＝，两边平方得1＋2sin βcos β＝1＋sin 2β＝，即sin 2β＝－，故sin (α－2β)cos α－cos (2β－α)sin α＝sin (α－2β)cos α－cos (α－2β)sin α＝sin (α－2β－α)＝－sin 2β＝.
13. (2025·龙岩期末)已知函数f(x)＝.
(1) 若x∈，且f(x)＝，求tan x的值；
【解答】f(x)＝＝2cos x，由f(x)＝，得cos x＝，又x∈，所以sin x＝＝，所以tanx＝.
(2) 若<β<π<α<，且f(α＋β)＝－，f＝，求α－β的值．
【解答】由f(α＋β)＝－得2cos (α＋β)＝－，所以cos (α＋β)＝－.又f＝2cos ＝2sin 2β＝，所以sin 2β＝.由于<β<π<α<，故<2β<π，π<α<，<β<，所以<α－β<，<α＋β<2π，故cos 2β＝－＝－，sin(α＋β)＝－＝－，所以sin(α－β)＝sin [(α＋β)－2β]＝sin (α＋β)·cos 2β－cos (α＋β)sin 2β＝－×
－×＝.又因为<α－β<，故α－β＝.
练习2
一、 单项选择题
1. 计算：cos ＝(　A　)
A. 　　　　 B.
C. －　　　　 D. －
2. (2024·全国甲卷)已知＝，则tan ＝(　B　)
A. 2＋1　　　　 B. 2－1
C. 　　　　 D. 1－
3. 已知α是锐角，cos ＝，则cos ＝(　D　)
A. 　　　　 B.
C. 　　　　 D.
【解析】由α是锐角，得<α＋<，因为cos ＝，所以sin ＝＝，所以cos ＝cos ＝cos －sin ＝×－×＝.
4. 已知cos (α－β)＝，cos 2α＝，α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为(　C　)
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.
【解析】因为cos (α－β)＝，cos 2α＝，α，β均为锐角，且α<β，则有α－β∈，2α∈，所以sin (α－β)＝－＝－，sin2α＝＝，则cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)]＝cos 2αcos (α－β)＋sin 2αsin (α－β)＝×＋×＝－.又因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
二、 多项选择题
5. 下列四个式子中，计算正确的是(　BCD　)
A. sin ＝－cos 1
B. sin (π＋2)＝－sin 2
C. ＝
D. sin 54°cos 9°－cos 54°sin 9°＝
6. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形．若图中直角三角形两锐角分别为α，β，其中小正方形的面积为4，大正方形的面积为9，则下列说法正确的是(　AC　)
(第6题)
A. 每一个直角三角形的面积为　　　　
B. 3sin β－3cos α＝2
C. 3sin β－3sin α＝2　　　　
D. cos (α－β)＝
【解析】对于A，四个直角三角形的面积之和为9－4＝5，故每个直角三角形的面积为，故A正确；对于B，C，由题意可知大正方形的边长为3，小正方形的边长为2，可得3sin β－3cos β＝2.由于α，β互余，所以3sin β－3sin α＝2，故B错误，C正确；对于D，
3cos α－3sin α＝2①，3sin β－3cos β＝2②，且cos α＝sin β，sin α＝cos β，所以①×②得4＝9cos αsin β＋9sin αcos β－9cos αcos β－9sin αsin β＝9sin2β＋9cos2β－9cos(α－β)＝9－
9cos (α－β)，故cos (α－β)＝，故D错误．
三、 填空题
7. 已知cos ＝，则sin ＝__－__．
【解析】sin ＝sin ＝cos ＝cos ＝2cos2－1＝2×2－1＝－.
8.已知sin α＋sin β＝，cos (α－β)＝，则cos α＋cos β的一个取值为____．
【解析】因为sin α＋sin β＝，cos (α－β)＝，且(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝sin2α＋2sinαsin β＋sin2β＋cos2α＋2cosαcos β＋cos2β＝2＋2(cosαcos β＋sin αsin β)＝2＋2cos (α－β)＝2＋2×＝，所以(cos α＋cos β)2＝－(sin α＋sin β)2＝－＝，故cos α＋cos β＝±.
四、 解答题
9. 已知sin α＝－，α∈.
(1) 求cos 的值；
【解答】由sin2α＋cos2α＝1，sinα＝－，α∈，可得cos α＝，所以cos ＝cos αcos －sin αsin ＝×－×＝.
(2) 若sin (α＋β)＝－，β∈，求β的值．
【解答】由α∈，β∈，可得α＋β∈，故cos (α＋β)＝＝.所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝×＋×＝，由β∈，可得β＝.
10. 已知0<α<，<β<π，cos α＝，sin (α＋β)＝.
(1) 求cos β的值；
【解答】由0<α<，<β<π，得<α＋β<，又cos α＝，sin (α＋β)＝，则sin α＝＝＝，cos(α＋β)＝－＝－，所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×＝－.
(2) 求β－α的值．
【解答】由(1)知cos β＝－，且<β<π，则sin β＝＝，因此cos (β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝－×＋×＝－.又0<β－α<π，所以β－α＝.
11. 化简：＝(　B　)
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.
【解析】因为2cos 10°＝2cos (30°－20°)＝cos 20°＋sin 20°，所以＝＝.
12. 化简：tan 200°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝(　A　)
A. 　　　　 B. －　　　　
C. 1　　　　 D. －1
【解析】tan 200°＝tan (180°＋20°)＝tan 20°，tan 60°＝tan (20°＋40°)＝＝，所以tan 20°＋tan 40°＝－tan 20°tan 40°，所以tan 200°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.
13. 已知α，β∈(0，π)，且cos α＝－，tan (α－β)＝，则α－2β＝(　D　)
A. －或　　　　 B. －或
C. －　　　　 D. －
【解析】因为0<α<π，cos α＝－，所以sin α＝＝，所以tanα＝－，<α<π.因为0<β<π，所以－π<－β<0，所以－<α－β<π.因为tan (α－β)＝>0，所以0<α－β<.因为tan (α－β)＝，所以tan [2(α－β)]＝＝，则tan (α－2β)＝tan [2(α－β)－α]＝＝1，故α－2β＝kπ＋(k∈Z).因为0<α－β<，所以0<2(α－β)<π.因为
tan [2(α－β)]＝>0，所以0<2(α－β)<.因为<α<π，所以－π<－α<－，所以－π<α－2β<0，所以α－2β＝－.
14. (2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝__－__．
【解析】方法一：由题意得tan (α＋β)＝＝＝－2，因为α∈，β∈，k，m∈Z，则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z.又因为tan (α＋β)＝－2<0，则α＋β∈，k，m∈Z，则sin (α＋β)<0，则＝－2，联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－.
方法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α>0，cos β<0，cos α＝＝，cosβ＝＝，则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝
cos αcos β·(tan α＋tan β)＝4cos αcos β＝＝
＝＝－.第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学习 目标 1. 掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和(差)的正弦与正切公式． 2. 会用两角和与差的三角函数进行简单的三角函数的求值、化简、计算．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P217—P220，完成下列填空．
1. 两角和与差的余弦公式
C(α＋β)： ．
C(α－β)： ．
记忆要诀：两角差(和)的余弦值等于两角的余弦值乘积加上(减去)两角的正弦值乘积．
2. 两角和与差的正弦公式
S(α＋β)： ．
S(α－β)： ．
记忆要诀：记忆时要与两角和与差的余弦公式区分开来，两角和与差的正弦公式右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左端的连接符号相同．
3. 两角和与差的正切公式
T(α＋β)： ．
T(α－β)： ．
注意：①Tα±β公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；
②Tα±β公式的变形：tan α＋tan β＝tan (α＋β)·(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β).
记忆要诀：公式右端为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan α·
tan β的差或和；分子上的加减号与左端的加减号相同，分母的加减号与左端的加减号相反．
典例精讲能力初成
探究1　两角和与差的余弦、正弦公式及简单应用
例1　(课本P218例3部分)已知sin α＝－，α是第四象限角，求sin ，cos 的值．
变式　已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos (α＋β)，sin (α＋β)，sin (α－β)的值．
探究2　两角和与差的正切公式及简单应用
例2　若tan α＝，tan (π－β)＝，则tan (α＋β)＝(　 　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
解给值求值问题的关键是先分清S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的．
探究3　公式的变用与逆用
例3　(课本P219例4)利用和(差)角公式计算下列各式的值：
(1) sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°；
(2) cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°；
(3) .
(1) 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角．
(2) 由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).
变式　(1) 化简：①sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β).
②cos (70°＋α)sin (170°－α)－sin (70°＋α)·cos (10°＋α).
(2) 求值：tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°).
(3) 若tan (α＋β)＝，tan (α－β)＝，求tan 2α的值．
探究4　化简与求值(角)问题
例4-1　已知α∈，β∈，cos (α＋β)＝－，cos ＝，求cos 的值．
例4-2　(1) 已知sin ＝－，sin ＝，其中＜α＜，＜ β＜，求α＋β的大小．
(2) 已知tan (α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的大小．
解给值求角问题的步骤：
(1) 求所求角的某个三角函数值．
(2) 确定所求角的范围(范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角．
随堂内化及时评价
1. 计算：sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°＝(　 　)
A. 　　　 B.
C. sin 4°　 D. cos 4°
2. 若锐角α，β满足cos α＝，cos (α＋β)＝，则sin β的值是(　 　)
A. 　 B.
C. 　 D.
3. (2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　 　)
A. －3m　 B. －
C. 　 D. 3m
4. 已知sin α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β∈，则sin β＝(　 　)
A. －　 B.
C. －　 D.
配套新练案
练习1
一、 单项选择题
1. 计算：sin 45°cos 15°＋cos 45°cos 75°＝(　 　)
A. －　 B. －
C. 　 D.
2. 若tan α＝，tan β＝，且α∈，β∈，则α＋β的值为(　 　)
A. 　 B.
C. 　 D.
3. 已知<β<α<，cos (β－α)＝，sin (β＋α)＝－，则sin 2α等于(　 　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
4. 已知0<β<α<，cos (α－β)＝，sin β＝，则cos α＝(　 　)
A. 　 B.
C. 　 D.
二、多项选择题
5. 下列计算正确的是(　 　)
A. cos 60°sin 15°－sin 60°cos 15°＝－
B. sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝－
C. 2＝－
D. sin 105°＝
6. (2025·厦门期末)已知α，β分别是第一、第三象限角，且tan α＝tan β＝2，则(　 　)
A. cos (α－β)＝1　　　　 B. cos (α＋β)＝
C. sin αsin β＝－　　　　 D. cos αcos β＝
三、 填空题
7. 已知tan ＝，tan ＝，则tan (α－β)的值为 ．
8. 已知cos θ＝，则sin ＝ ；sin ＝ ．
四、 解答题
9. 已知0<α<，cos ＝.
(1) 求sin α的值；
(2) 若－<β<0，sin β＝－，求cos (α＋β)的值．
10. 已知tan α＝4，sin (α－β)＝，且0<β<α<.
(1) 求sin α和cos α的值；
(2) 求β的大小．
11. 已知0<β<α<，cos (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则tan αtan β的值为(　 　)
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D. 2
12. 已知sin ＝－，则sin (α－2β)cos α－cos (2β－α)sin α＝(　 　)
A. －　　　　 B. 　　　　
C. －　　　　 D.
13. (2025·龙岩期末)已知函数f(x)＝.
(1) 若x∈，且f(x)＝，求tan x的值；
(2) 若<β<π<α<，且f(α＋β)＝－，f＝，求α－β的值．
练习2
一、 单项选择题
1. 计算：cos ＝(　 　)
A. 　　　　 B.
C. －　　　　 D. －
2. (2024·全国甲卷)已知＝，则tan ＝(　 　)
A. 2＋1　　　　 B. 2－1
C. 　　　　 D. 1－
3. 已知α是锐角，cos ＝，则cos ＝(　 　)
A. 　　　　 B.
C. 　　　　 D.
4. 已知cos (α－β)＝，cos 2α＝，α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为(　 　)
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.
二、 多项选择题
5. 下列四个式子中，计算正确的是(　 　)
A. sin ＝－cos 1
B. sin (π＋2)＝－sin 2
C. ＝
D. sin 54°cos 9°－cos 54°sin 9°＝
6. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形．若图中直角三角形两锐角分别为α，β，其中小正方形的面积为4，大正方形的面积为9，则下列说法正确的是(　 　)
(第6题)
A. 每一个直角三角形的面积为　　　　
B. 3sin β－3cos α＝2
C. 3sin β－3sin α＝2　　　　
D. cos (α－β)＝
三、 填空题
7. 已知cos ＝，则sin ＝ ．
8.已知sin α＋sin β＝，cos (α－β)＝，则cos α＋cos β的一个取值为 ．
四、 解答题
9. 已知sin α＝－，α∈.
(1) 求cos 的值；
(2) 若sin (α＋β)＝－，β∈，求β的值．
10. 已知0<α<，<β<π，cos α＝，sin (α＋β)＝.
(1) 求cos β的值；
(2) 求β－α的值．
11. 化简：＝(　 　)
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.
12. 化简：tan 200°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝(　 　)
A. 　　　　 B. －　　　　
C. 1　　　　 D. －1
13. 已知α，β∈(0，π)，且cos α＝－，tan (α－β)＝，则α－2β＝(　 　)
A. －或　　　　 B. －或
C. －　　　　 D. －
14. (2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝ ．(共66张PPT)
第五章 三角函数
5.5　三角恒等变换
第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学习 目标 1. 掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和(差)的正弦与正切公式．
2. 会用两角和与差的三角函数进行简单的三角函数的求值、化简、计算．
新知初探 基础落实
问题1：试比较cos (α－β)和cos (α＋β)，观察两者之间的联系，你能发现什么？
例如，比较cos (α－β)与cos (α＋β).注意到α＋β与α－β之间的联系α＋β＝α－(－β)，则由公式C(α－β)，有cos (α＋β)＝cos [α－(－β)]＝cos α·cos (－β)＋sin αsin (－β)＝
cos αcos β－sin αsin β，于是得到了两角和的余弦公式，简记作C(α＋β).
C(α＋β)：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
问题2：怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？
探究：上面得到了两角和与差的余弦公式．我们知道，用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化．你能根据C(α＋β)，C(α－β)及诱导公式五(或六)，推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin (α＋β)，sin (α－β)的公式吗？
通过推导，可以得到：
S(α＋β)：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
S(α－β)：sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
(1) 注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”．
(2) 公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序．
问题3：怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？
探究：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从C(α±β)，S(α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan (α＋β)，tan (α－β)的公式吗？
思考：由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？
通过推导，可以得到：
公式C(α＋β)，S(α＋β)，T(α＋β)给出了任意角α，β的三角函数值与其和角α＋β的三角函数值之间的关系，为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．
类似地，C(α－β)，S(α－β)，T(α－β)都叫做差角公式．
请同学阅读课本P217—P220，完成下列填空．
1. 两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：_____________________________________．
C(α－β)：_____________________________________．
记忆要诀：两角差(和)的余弦值等于两角的余弦值乘积加上(减去)两角的正弦值乘积．
2. 两角和与差的正弦公式
S(α＋β)：_____________________________________．
S(α－β)：_____________________________________．
记忆要诀：记忆时要与两角和与差的余弦公式区分开来，两角和与差的正弦公式右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左端的连接符号相同．
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
3. 两角和与差的正切公式
T(α＋β)：________________________．
T(α－β)：________________________．
注意：①Tα±β公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；
②Tα±β公式的变形：tan α＋tan β＝tan (α＋β)·(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β).
记忆要诀：公式右端为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与
tan αtan β的差或和；分子上的加减号与左端的加减号相同，分母的加减号与左端
的加减号相反．
典例精讲 能力初成
探究
1
两角和与差的余弦、正弦公式及简单应用
1
变式　
探究
2
两角和与差的正切公式及简单应用
2
A
解给值求值问题的关键是先分清S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的．
探究
　　　(课本P219例4)利用和(差)角公式计算下列各式的值：
(1) sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°；
3
公式的变用与逆用
3
(2) cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°；
【解答】由公式C(α＋β)，得cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°＝cos (20°＋70°)＝cos 90°＝0.
(课本P219例4)利用和(差)角公式计算下列各式的值：
(1) 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角．
变式　
　　　　(1) 化简：①sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β).
②cos (70°＋α)sin (170°－α)－sin (70°＋α)·cos (10°＋α).
探究
4
化简与求值(角)问题
4－1
4－2
解给值求角问题的步骤：
(1) 求所求角的某个三角函数值．
(2) 确定所求角的范围(范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角．
随堂内化 及时评价
B
C
A
D
配套新练案
练习1
D
B
B
B
ACD
【答案】BC
1
(1) 求sin α和cos α的值；
(2) 求β的大小．
【答案】A
B
练习2
A
B
D
C
BCD
6. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形．若图中直角三角形两锐角分别为α，β，其中小正方形的面积为4，大正方形的面积为9，则下列说法正确的是 (　　)
【答案】AC
B
A
【答案】D

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