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第4课时　简单的三角恒等变换——半角公式、积化和差与和差化积
学习 目标 1. 能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差公式导出积化和差与和差化积公式． 2. 能利用半角公式、积化和差与和差化积公式对三角函数式进行化简、求值以及三角恒等式的证明．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P225—P226，完成下列填空．
1. 半角公式：
sin ＝ ，cos ＝ ，tan ＝ ＝ ＝ ．
注意：符号由所在象限决定．
2. 积化和差
(1) sin αcos β＝ ；
(2) cos αsin β＝ ；
(3) cos αcos β＝ ；
(4) sin αsin β＝－ ．
3. 和差化积
(1) sin θ＋sin φ＝ ；
(2) sin θ－sin φ＝ ；
(3) cos θ＋cos φ＝ ；
(4) cos θ－cos φ＝ ．
典例精讲能力初成
探究1　半角公式的应用
例1　若tan α＝，且α为第一象限角，则sin ＝(　 　)
A. 　 B. ±
C. 　 D. －
利用半角公式求值的思路：(1) 看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2) 明范围：求出相应半角的范围，为定符号作准备．(3) 选公式：涉及半角的正、余弦值时，常利用半角公式计算．
变式　已知sin α＝－，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值．
探究2　积化和差与和差化积公式的应用
例2　sin220°＋cos280°＋sin20°cos 80°的值是(　 　)
A. 　 B.
C. 　 D. 1
在运用积化和差公式时，如果形式为混合函数积时，化得的结果应为sin (α＋β)与sin (α－β)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为cos (α＋β)与cos (α－β)的和或差．
变式　求下列各式的值．
(1) sin 37.5°cos 7.5°；
(2) sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°；
(3) sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°；
(4) sin 69°－sin 3°＋sin 39°－sin 33°.
新视角　万能公式
例3-1　(多选)下列有关三角函数的公式中，正确的有(　 　)
A. sin2＝
B. cos2＝
C. tan ＝
D. sin ＝cos 5α
例3-2　设tan ＝t，求证：sin α＝，cos α＝，tan α＝.
万能公式：(1) sin α＝；(2)cos α＝；(3)tan α＝，即sinα，cos α，tan α均可以用tan 表示，故称其为万能公式．
变式　(1) 已知tan (π＋α)＝3，则cos 的值为(　 　)
A. 　 B.
C. 　 D.
(2)函数f(x)＝的最小正周期为 ．
随堂内化及时评价
1. 计算：cos 15°sin 105°＝(　 　)
A. ＋　 B. －　　　　
C. ＋1　 D. －1
2. 已知cos α＝，270°<α<360°，那么cos 的值为(　 　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
3. 若cos x cos y＋sin x sin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin (x＋y)＝(　 　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
4. 若tan α＝2，π<α<，则cos ＝(　 　)
A. －　 B.
C. －　 D.
5. 若tan ＝，则sin ＝ ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知180°<α<360°，则cos 等于(　 　)
A. －　 B.
C. －　 D.
2. 已知cos α＝，α∈，则sin 等于(　 　)
A. －　 B.
C. 　 D. －
3. 函数f(x)＝的最小正周期是(　 　)
A. 　 B.
C. π　 D. 2π
4. 若α＋β＝，则cos2α＋cos2β的取值范围是(　 　)
A．　 B.
C. 　 D. [0，1]
二、 多项选择题
5. 下列说法正确的是(　 　)
A. x∈R，sin x＝，且tan x＝
B. x∈R，2sin x＝2cos x＝tan x
C. x∈R，cos2x＝
D. x∈，＋＝2sin
6. 给出下列关系式，其中正确的是(　 　)
A. sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ
B. cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ
C. sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ
D. sin θsin α＝[cos (θ－α)－cos (θ＋α)]
三、 填空题
7. 若＝，则sin α＋cos α＝ ．
8. 计算：sin2＋sin2－sin2α＝ ．
四、解答题
9. 设常数a∈R，函数f(x)＝a sin 2x＋2cos2x.
(1)若f(x)为偶函数，求a的值；
(2) 若f＝2，求方程f(x)＝1＋在区间上的解．
10. (1) 已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，求的值；
(2) 已知tan ＝，tan αtan β＝，求cos (α－β)的值．
11. 若sin θ＝，<θ<3π，则tan ＋2cos ＝ ．
12. 计算：sin220°＋cos250°＋sin20°cos 50°＝ ．
13. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央．长出水面的部分为1尺，将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？”假设θ＝∠BAC，现有下述结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③tan ＝；④tan ＝－.其中正确的结论是 ．(填序号)
(第13题)第4课时　简单的三角恒等变换——半角公式、积化和差与和差化积
学习 目标 1. 能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差公式导出积化和差与和差化积公式． 2. 能利用半角公式、积化和差与和差化积公式对三角函数式进行化简、求值以及三角恒等式的证明．
新知初探基础落实
引例1：(课本P225例7)试以cos α表示sin2，cos2，tan2.α与有什么关系？
α是的二倍角．在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以代替α，得cosα＝1－2sin2，所以sin2＝①.
在倍角公式cos 2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以代替α，得cosα＝2cos2－1，所以cos2＝②.
将①②两个等式的左右两边分别相除，得tan2＝.
本题的结果还可以表示为sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±.并称之为半角公式，符号由所在象限决定．
引例2：(课本P225例8) 求证：
(1) sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]；
(2) sin θ＋sin φ＝2sin cos .
这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？
(1) 因为sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin (α＋β)＋sin (α－β)＝2sin αcos β，即sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)].
(2) 由(1)可得sin (α＋β)＋sin (α－β)＝2sin α·cos β①.设α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝，β＝.把α，β的值代入①，得sin θ＋sin φ＝2sin ·cos .
请同学阅读课本P225—P226，完成下列填空．
1. 半角公式：
sin ＝__±__，cos ＝__±__，tan ＝__±__＝____＝____．
注意：符号由所在象限决定．
2. 积化和差
(1) sin αcos β＝__[sin (α＋β)＋sin (α－β)]__；
(2) cos αsin β＝__[sin (α＋β)－sin (α－β)]__；
(3) cos αcos β＝__[cos (α＋β)＋cos (α－β)]__；
(4) sin αsin β＝－__[cos (α＋β)－cos (α－β)]__．
3. 和差化积
(1) sin θ＋sin φ＝__2sin cos __；
(2) sin θ－sin φ＝__2cos sin __；
(3) cos θ＋cos φ＝__2cos cos __；
(4) cos θ－cos φ＝__－2sin sin __．
典例精讲能力初成
探究1　半角公式的应用
例1　若tan α＝，且α为第一象限角，则sin ＝(　B　)
A. 　 B. ±
C. 　 D. －
【解析】因为α为第一象限角，且tan α＝，所以cos α＝，且是第一或第三象限角．当是第一象限角时，sin ＝＝；当是第三象限角时，sin ＝－＝－.故sin ＝±.
利用半角公式求值的思路：(1) 看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2) 明范围：求出相应半角的范围，为定符号作准备．(3) 选公式：涉及半角的正、余弦值时，常利用半角公式计算．
变式　已知sin α＝－，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值．
【解答】因为π<α<，sin α＝－，所以cos α＝－，且<<，所以sin ＝＝，cos ＝－＝－，tan ＝＝－2.
探究2　积化和差与和差化积公式的应用
例2　sin220°＋cos280°＋sin20°cos 80°的值是(　A　)
A. 　 B.
C. 　 D. 1
【解析】原式＝＋＋[sin (20°＋80°)＋sin (20°－80°)]＝＋＋×(sin 100°－sin 60°)＝1－(cos 40°＋cos 20°)＋cos 10°－＝1－cos 30°cos 10°＋cos 10°－＝.
在运用积化和差公式时，如果形式为混合函数积时，化得的结果应为sin (α＋β)与sin (α－β)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为cos (α＋β)与cos (α－β)的和或差．
变式　求下列各式的值．
(1) sin 37.5°cos 7.5°；
【解答】sin 37.5°cos 7.5°＝[sin (37.5°＋7.5°)＋sin (37.5°－7.5°)]＝(sin 45°＋sin 30°)＝×＝.
(2) sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°；
【解答】sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝.
(3) sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°；
【解答】sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝sin 20°－sin 80°＋sin 40°＋sin 60°＝
2cos 50°·sin (－30°)＋cos 50°＋sin 60°＝sin 60°＝.
(4) sin 69°－sin 3°＋sin 39°－sin 33°.
【解答】原式＝(sin 69°＋sin 39°)－(sin 3°＋sin 33°)＝2sin cos －
2sin ·cos ＝2sin 54°cos 15°－2sin 18°cos 15°＝2cos 15°(sin 54°－sin 18°)＝2cos 15°·2cos ·sin ＝2cos 15°·2cos 36°sin 18°＝2cos 15°·
＝2cos 15°·＝2cos 15°·＝cos 15°·＝cos 15°＝cos (45°－30°)＝×＋×＝.
新视角　万能公式
例3-1　(多选)下列有关三角函数的公式中，正确的有(　ABC　)
A. sin2＝
B. cos2＝
C. tan ＝
D. sin ＝cos 5α
【解析】由cos α＝2cos2－1＝1－2sin2，得sin2＝，cos2＝，故A，B正确；tan ＝＝＝，故C正确；sin ＝cos α，故D错误．
例3-2　设tan ＝t，求证：sin α＝，cos α＝，tan α＝.
【解答】sin α＝2sin cos ＝＝，cosα＝cos2－sin2＝＝，tanα＝，于是sinα＝，cos α＝，tan α＝.
万能公式：(1) sin α＝；(2)cos α＝；(3)tan α＝，即sinα，cos α，tan α均可以用tan 表示，故称其为万能公式．
变式　(1) 已知tan (π＋α)＝3，则cos 的值为(　A　)
A. 　 B.
C. 　 D.
【解析】由tan (π＋α)＝3，得tan α＝3，所以cos ＝sin 2α＝＝＝.
(2)函数f(x)＝的最小正周期为__2π__．
【解析】因为f(x)＝＝cos2－sin2＝cosx，所以f(x)的最小正周期为2π.
随堂内化及时评价
1. 计算：cos 15°sin 105°＝(　A　)
A. ＋　 B. －　　　　
C. ＋1　 D. －1
【解析】cos 15°sin 105°＝ [sin (15°＋105°)－sin (15°－105°)]＝ [sin 120°－sin (－90°)]＝×＋×1＝＋ .
2. 已知cos α＝，270°<α<360°，那么cos 的值为(　D　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
【解析】因为270°<α<360°，所以135°<<180°，所以cos <0，故cos ＝－＝－＝－＝－.
3. 若cos x cos y＋sin x sin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin (x＋y)＝(　A　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
【解析】因为cos x cos y＋sin x sin y＝，所以cos (x－y)＝.因为sin 2x＋sin 2y＝，所以2sin (x＋y)cos (x－y)＝，所以sin (x＋y)＝.
4. 若tan α＝2，π<α<，则cos ＝(　C　)
A. －　 B.
C. －　 D.
【解析】因为tan α＝＝2，sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.又因为π<α<，所以cosα＝－.又<<，所以cos ＝－＝－＝－.
5. 若tan ＝，则sin ＝____．
【解析】因为tan ＝，所以sin α＝2sin ·cos ＝＝＝＝，cosα＝cos2－sin2＝＝＝＝.所以sin＝sin αcos ＋cos α·
sin ＝×＋×＝.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知180°<α<360°，则cos 等于(　C　)
A. －　 B.
C. －　 D.
2. 已知cos α＝，α∈，则sin 等于(　B　)
A. －　 B.
C. 　 D. －
3. 函数f(x)＝的最小正周期是(　C　)
A. 　 B.
C. π　 D. 2π
【解析】f(x)＝＝＝＝tan 2x，由得x≠kπ＋，且x≠kπ＋，k∈Z，可得函数y＝tan 2x的最小正周期T＝，但是当x＝0时，f(0)＝0，f无意义，所以T≠.又f(x＋π)＝f(x)，且对定义域内的任意自变量x，x＋π也在定义域内，所以函数f(x)的最小正周期T＝π.
4. 若α＋β＝，则cos2α＋cos2β的取值范围是(　C　)
A．　 B.
C. 　 D. [0，1]
【解析】cos2α＋cos2β＝＋＝1＋(cos 2α＋cos 2β)＝1＋＝1＋＝1＋＝1＋＝1＋cos ，因为
cos ∈[－1，1]，所以1＋cos ∈.
二、 多项选择题
5. 下列说法正确的是(　BCD　)
A. x∈R，sin x＝，且tan x＝
B. x∈R，2sin x＝2cos x＝tan x
C. x∈R，cos2x＝
D. x∈，＋＝2sin
【解析】当sin x＝时，cos x＝±＝±，所以tanx＝±，故A错误；当x＝时，2sin x＝2cos x＝tan x＝，故B正确；因为cos2x＝，且cos (－2x)＝cos 2x，所以C正确；因为x∈，所以∈，则sin >0，cos >0，且sin －cos >0，所以＋＝＋＝|sin －cos |＋|sin ＋
cos |＝sin －cos ＋sin ＋cos ＝2sin ，故D正确．
6. 给出下列关系式，其中正确的是(　AD　)
A. sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ
B. cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ
C. sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ
D. sin θsin α＝[cos (θ－α)－cos (θ＋α)]
三、 填空题
7. 若＝，则sin α＋cos α＝____．
8. 计算：sin2＋sin2－sin2α＝____．
【解析】方法一：由倍角公式cos2α＝1－2sin2α，得sin2α＝.原式＝＋－＝－＝－＝.
方法二：sin2＋sin2－sin2α＝＋－sin2α＝sin2α＋cos2α－sin2α＝.
四、解答题
9. 设常数a∈R，函数f(x)＝a sin 2x＋2cos2x.
(1)若f(x)为偶函数，求a的值；
【解答】因为f(x)＝a sin 2x＋2cos2x，所以f(－x)＝－a sin2x＋2cos2x，又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即－a sin2x＋2cos2x＝a sin2x＋2cos2x，所以2a sin2x＝0，所以a＝0.
(2) 若f＝2，求方程f(x)＝1＋在区间上的解．
【解答】因为f＝2，所以a sin ＋2cos2＝a＋1＝2，解得a＝1，所以f(x)＝sin2x＋2cos2x＝sin2x＋cos 2x＋1＝sin ＋1，又因为f(x)＝1＋，所以sin ＋1＝1＋，所以sin ＝1，故2x＋＝＋2kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z.因为x∈，所以x＝.
10. (1) 已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，求的值；
【解答】由sin α＋sin β＝，得2sin ·cos ＝①，由cos α＋cos β＝，可得2cos cos ＝②，由可得＝＝，所以＝＝－＝－.
(2) 已知tan ＝，tan αtan β＝，求cos (α－β)的值．
【解答】因为tan αtan β＝＝＝，所以cos (α－β)＝
－cos (α＋β). 又因为tan ＝，所以cos (α＋β)＝2cos2－1＝－1＝－1＝－，从而cos(α－β)＝－×＝.
11. 若sin θ＝，<θ<3π，则tan ＋2cos ＝__3－__．
【解析】因为sin θ＝，<θ<3π，所以cos θ＝－＝－＝－.因为<θ<3π，所以<<，所以cos＝－＝－＝－，sin ＝
－＝－＝－，所以tan ＝＝3，所以tan ＋2cos ＝3－.
12. 计算：sin220°＋cos250°＋sin20°cos 50°＝____．
【解析】原式＝＋＋(sin 70°－sin 30°)＝1＋(cos 100°－cos 40°)＋sin 70°－＝＋(－2sin 70°·sin 30°)＋sin 70°＝－sin 70°＋sin 70°＝；推广得：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos (30°＋α)＝(试参考以上求解加以证明)．
13. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央．长出水面的部分为1尺，将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？”假设θ＝∠BAC，现有下述结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③tan ＝；④tan ＝－.其中正确的结论是__①③④__．(填序号)
(第13题)
【解析】设BC＝x，则AC＝x＋1，因为AB＝5，所以52＋x2＝(x＋1)2，所以x＝12，即水深为12尺，芦苇长为13尺．tan θ＝＝，由tan θ＝，解得tan＝(负根舍去).因为tan θ＝，所以tan ＝＝－.(共48张PPT)
第五章 三角函数
5.5　三角恒等变换
第4课时　简单的三角恒等变换——半角公式、积化和差与和差化积
学习 目标 1. 能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差公式导出积化和差与和差化积公式．
2. 能利用半角公式、积化和差与和差化积公式对三角函数式进行化简、求值以及三角恒等式的证明．
新知初探 基础落实
[sin (α＋β)＋sin (α－β)]
[sin (α＋β)－sin (α－β)]
[cos (α＋β)＋cos (α－β)]
[cos (α＋β)－cos (α－β)]
3. 和差化积
(1) sin θ＋sin φ＝______________________；

(2) sin θ－sin φ＝________________________；

(3) cos θ＋cos φ＝________________________；

(4) cos θ－cos φ＝__________________________．
典例精讲 能力初成
探究
1
半角公式的应用
1
B
利用半角公式求值的思路：(1) 看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2) 明范围：求出相应半角的范围，为定符号作准备．(3) 选公式：涉及半角的正、余弦值时，常利用半角公式计算．
变式　
探究
2
积化和差与和差化积公式的应用
2
A
在运用积化和差公式时，如果形式为混合函数积时，化得的结果应为sin (α＋β)与
sin (α－β)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为cos (α＋β)与
cos (α－β)的和或差．
变式　
　　　　求下列各式的值．
(1) sin 37.5°cos 7.5°；
(2) sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°；
求下列各式的值．
(3) sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°；
求下列各式的值．
(4) sin 69°－sin 3°＋sin 39°－sin 33°.
新视角
万能公式
3－1
ABC
3－2
变式　
A
2π
随堂内化 及时评价
A
D
A
C
配套新练案
C
B
C
C
【答案】BCD
6. 给出下列关系式，其中正确的是 (　　)
A. sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ
B. cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ
AD
四、解答题
9. 设常数a∈R，函数f(x)＝a sin 2x＋2cos2x.
(1)若f(x)为偶函数，求a的值；
【解答】因为f(x)＝a sin 2x＋2cos2x，所以f(－x)＝－a sin2x＋2cos2x，又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即－a sin2x＋2cos2x＝a sin2x＋2cos2x，所以2a sin2x＝0，所以a＝0.
12. 计算：sin220°＋cos250°＋sin20°cos 50°＝_____．
【答案】①③④

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