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第5课时　简单的三角恒等变换——辅助角公式及其应用
学习 目标 1. 理解辅助角公式的本质，能用辅助角公式化简三角函数式． 2. 体会三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P227—P228，完成下列填空．
一、 概念表述
1. 对于形如a sin x＋b cos x的式子，可变形如下：
a sin x＋b cos x＝.
由于上式中和的平方和为1，故令cos φ＝，sin φ＝，则a sin x＋b cos x＝ ＝ ．其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ＝确定.
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) sin α＋cos α＝sin .(　 　)
(2) 若2sin x＋cos x＝sin (x＋φ)，则φ的值唯一．(　 　)
(3) 若sin x－2cos x＝sin (x＋φ)，则tan φ＝2.(　 　)
典例精讲能力初成
探究1　辅助角公式及其简单应用
例1　(1) 已知sin ＝，则cos x＋cos ＝ ．
(2) 计算：sin 50°(1＋tan 10°)＝ ．
探究2　利用辅助角公式研究函数性质
例2　已知函数f(x)＝2sin －2cos x，x∈，求函数f(x)的值域．
研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为简单的三角函数．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝a sin x＋b cos x转化为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的形式，以便研究函数的性质．
变式　(2025·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝.
(1) 求φ；
(2) 设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间．
探究3　辅助角公式的实际应用
例3　(课本P227例10)如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角∠POQ＝，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记∠POC＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
(例3)
变式　如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB＝1，过点P作圆的切线PC，使PC＝1.连接BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于？
(变式)
随堂内化及时评价
1. (2024·全国甲卷)函数f(x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是 ．
2. cos 15°＋sin 15°＝(　 　)
A. 　 B. －
C. －　 D.
3. 若0<α<β<，sin α＋cos α＝a，sin β＋cos β＝b，则下列结论正确的是(　 　)
A. ab
C. ab<1　 D. ab>2
4. 已知cos ＋sin α＝，则sin 的值是(　 　)
A. －　 B.
C. 　 D. －
5. 如图，在半径为R，圆心角为的扇形的弧AB上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，则这个矩形面积的最大值为 ．
(第5题)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若sin α－cos α＝，则cos 等于(　 　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
2. 已知f(x)＝4sin x cos x＋4cos2x＋a的最大值为2，则a的值为(　 　)
A．－2－2　 B. －2＋2
C. 2－2　 D. 2＋2
3. 函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期和最大值分别为(　 　)
A. 和1　 B. 和－1
C. π和2　 D. 2π和－2
4. 已知不等式f(x)＝3sin cos ＋cos2－－m≤0对于任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是(　 　)
A．[，＋∞)　 B. (－∞，]
C. (－∞，－]　 D. [－，]
二、 多项选择题
5. 化简cos α－sin α的结果可以是(　 　)
A. cos 　 B. 2cos
C. sin 　 D. 2sin
6. 若函数f(x)＝sin2x＋sinx cos x，则(　 　)
A. f(x)图象的一条对称轴方程为x＝
B. f(x)图象的一个对称中心为
C. f(x)的最小值是
D. f(x)的最大值是
三、 填空题
7. 函数y＝－sin x＋cos x在上的值域是 ．
8. 函数f(x)＝2sin cos ＋在[0，π]上的最大值为 ；若方程f(x)＝a在[0，π]内有两个解x1，x2，则sin (x1＋x2)＝ ．
四、 解答题
9. 设函数f(x)＝cos x cos ＋sin2x－.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2) 当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
10. (2025·绍兴期末)已知函数f(x)＝sin cos ＋cos2－.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2) 若g(x)＝f(x)－m在[0，π]上有两个零点，求实数m的取值范围．
11. 若函数f(x)＝sin 2ωx＋2cos2ωx(ω>0，x∈R)，又f(x1)＝3，f(x2)＝－1且|x1－x2|的最小值为，则ω的值为(　 　)
A．　 B.
C. 　 D. 4
12. 在△ABC中，cos B＝，则cos2＋tan2＝ ．
13. 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为θ的扇形，A是扇形弧PQ上的动点，AB∥OQ，OP与AB交于点B，AC∥OP，OQ与AC交于点C.
(第13题)
(1) 当θ＝时，求点A的位置，使矩形ABOC的面积最大，并求出这个最大面积；
(2) 当θ＝时，求点A的位置，使平行四边形ABOC的面积最大，并求出这个最大面积．第5课时　简单的三角恒等变换——辅助角公式及其应用
学习 目标 1. 理解辅助角公式的本质，能用辅助角公式化简三角函数式． 2. 体会三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．
新知初探基础落实
一、 生成概念
引例：(课本P227例9)求下列函数的最小正周期、最大值和最小值：
(1) y＝sin x＋cos x；
(2) y＝3sin x＋4cos x.
分析：便于求最小正周期和最大值、最小值的三角函数式是y＝A sin (x＋φ)，利用和角公式将其展开，可化为y＝a sin x＋b cos x的形式．反之，利用和(差)角公式，可将y＝
a sin x＋b cos x转化为y＝A sin (x＋φ)的形式，进而可以求其周期和最值．
(1) y＝sin x＋cos x＝2＝2＝2sin .
因此，所求最小正周期为2π，最大值为2，最小值为－2.
(2) 设3sin x＋4cos x＝A sin (x＋φ)，则3sin x＋4cos x＝A sin x cos φ＋A cos x sin φ，于是A cos φ＝3，A sin φ＝4，于是A2cos 2φ＋A2sin 2φ＝25，所以A2＝25，取A＝5，则cos φ＝，sin φ＝.
由y＝5sin (x＋φ)可知，所求最小正周期为2π，最大值为5，最小值为－5.
请同学阅读课本P227—P228，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 对于形如a sin x＋b cos x的式子，可变形如下：
a sin x＋b cos x＝.
由于上式中和的平方和为1，故令cos φ＝，sin φ＝，则a sin x＋b cos x＝__(sin x cos φ＋cos x sin_φ)__＝__sin (x＋φ)__．其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ＝确定.
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) sin α＋cos α＝sin .(　√　)
(2) 若2sin x＋cos x＝sin (x＋φ)，则φ的值唯一．(　×　)
(3) 若sin x－2cos x＝sin (x＋φ)，则tan φ＝2.(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　辅助角公式及其简单应用
例1　(1) 已知sin ＝，则cos x＋cos ＝____．
【解析】cos x＋cos ＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝sin ＝.
(2) 计算：sin 50°(1＋tan 10°)＝__1__．
【解析】原式＝sin 50°·＝sin 50°·＝sin 50°·
＝sin 50°·＝sin 50°·＝＝＝＝1.
探究2　利用辅助角公式研究函数性质
例2　已知函数f(x)＝2sin －2cos x，x∈，求函数f(x)的值域．
【解答】f(x)＝2sin －2cos x＝sin x－cos x＝2sin ，因为≤x≤π，所以≤x－≤，所以≤sin ≤1，所以函数f(x)的值域为[1，2].
研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为简单的三角函数．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝a sin x＋b cos x转化为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的形式，以便研究函数的性质．
变式　(2025·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝.
(1) 求φ；
【解答】由题意得f(0)＝cos φ＝(0≤φ<π)，所以φ＝.
(2) 设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间．
【解答】由(1)可知f(x)＝cos ，所以g(x)＝f(x)＋f＝cos ＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＝cos ，所以函数g(x)的值域为
[－，].令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；令π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数g(x)的单调递减区间为，k∈Z，单调递增区间为，k∈Z.
探究3　辅助角公式的实际应用
例3　(课本P227例10)如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角∠POQ＝，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记∠POC＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
(例3)
【解答】在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α.在Rt△OAD中，＝tan ＝，所以OA＝DA＝BC＝sin α，AB＝OB－OA＝cos α－sin α.设矩形ABCD的面积为S，则S＝AB·BC＝sin α＝sin αcos α－sin2α＝sin2α－(1－cos 2α)＝sin 2α＋cos 2α－＝－＝sin －.由0<α<，得<2α＋<，所以当2α＋＝，即α＝时，S最大＝－＝.因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
变式　如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB＝1，过点P作圆的切线PC，使PC＝1.连接BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于？
(变式)
【解答】设∠PAB＝α，连接PB.因为AB是直径，所以∠APB＝90°.又AB＝1，所以PA＝cos α，PB＝sin α.因为PC是切线，所以∠BPC＝α.又PC＝1，所以S四边形ABCP＝S△APB＋S△BPC＝PA·PB＋PB·sin α·PC＝cos αsin α＋sin2α＝sin2α＋(1－cos 2α)＝(sin 2α－cos 2α)＋＝sin ＋.令sin ＋＝，得sin ＝.又α∈，所以2α－∈，所以2α－＝，所以α＝.故当点P位于AB的中垂线与半圆的交点时，四边形ABCP的面积等于.
随堂内化及时评价
1. (2024·全国甲卷)函数f(x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是__2__．
【解析】f(x)＝sin x－cos x＝2sin ，当x∈时，x－∈，当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2.
2. cos 15°＋sin 15°＝(　D　)
A. 　 B. －
C. －　 D.
【解析】cos 15°＋sin 15°＝2＝2(cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°)＝2cos (60°－15°)＝2cos 45°＝.
3. 若0<α<β<，sin α＋cos α＝a，sin β＋cos β＝b，则下列结论正确的是(　A　)
A. ab
C. ab<1　 D. ab>2
【解析】a＝sin ，b＝sin .又<α＋<β＋<，所以a4. 已知cos ＋sin α＝，则sin 的值是(　D　)
A. －　 B.
C. 　 D. －
【解析】由cos ＋sin α＝，可得cos α＋sin α＋sin α＝，即sin α＋cos α＝，所以sin ＝，sin ＝，所以sin ＝
－sin ＝－.
5. 如图，在半径为R，圆心角为的扇形的弧AB上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，则这个矩形面积的最大值为__R2__．
(第5题)
【解析】设∠POB＝α，矩形PNMQ的面积为S，因为扇形AB的半径为R，圆心角为，所以QM＝PN＝R sin α，ON＝R cos α，OM＝QM·tan ＝R sin α，所以S＝R sin α·
＝R2sin 2α－R2·，化简得S＝R2sin －R2，α∈，当α＝，即∠POB＝时，S取得最大值为R2.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若sin α－cos α＝，则cos 等于(　D　)
A. 　 B. －
C. 　 D. －
2. 已知f(x)＝4sin x cos x＋4cos2x＋a的最大值为2，则a的值为(　A　)
A．－2－2　 B. －2＋2
C. 2－2　 D. 2＋2
3. 函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期和最大值分别为(　C　)
A. 和1　 B. 和－1
C. π和2　 D. 2π和－2
【解析】y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ，故T＝＝π，函数最大值为2.
4. 已知不等式f(x)＝3sin cos ＋cos2－－m≤0对于任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是(　A　)
A．[，＋∞)　 B. (－∞，]
C. (－∞，－]　 D. [－，]
【解析】f(x)＝sin ＋×－－m＝－m＝
sin －m，因为－≤x≤，故－≤＋≤，故－≤sin ≤，故f(x)max＝－m，因为f(x)≤0在x∈时恒成立，所以－m≤0，即m≥.
二、 多项选择题
5. 化简cos α－sin α的结果可以是(　BD　)
A. cos 　 B. 2cos
C. sin 　 D. 2sin
【解析】cos α－sin α＝2×＝2cos ＝2sin .
6. 若函数f(x)＝sin2x＋sinx cos x，则(　AD　)
A. f(x)图象的一条对称轴方程为x＝
B. f(x)图象的一个对称中心为
C. f(x)的最小值是
D. f(x)的最大值是
【解析】f(x)＝sin2x＋sinx cos x＝＋sin 2x＝sin ＋.对于A，令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，令k＝0，得f(x)图象的一条对称轴方程为x＝，故A正确；对于B，令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，令k＝0，得f(x)图象的一个对称中心为，故B错误；对于C，当sin ＝－1时，f(x)取得最小值为－1＋＝－，故C错误；对于D，当sin ＝1时，f(x)取得最大值为1＋＝，故D正确．
三、 填空题
7. 函数y＝－sin x＋cos x在上的值域是__[0，]__．
8. 函数f(x)＝2sin cos ＋在[0，π]上的最大值为__1__；若方程f(x)＝a在[0，π]内有两个解x1，x2，则sin (x1＋x2)＝____．
【解析】f(x)＝2sin cos ＋＝2sin ＋＝＋＝sinx＋cos x＝sin ，由x∈[0，π]，可得x＋∈，当x＝时，f(x)取得最大值1；由f(x)在内的图象关于直线x＝对称，方程f(x)＝a在[0，π]内有两个解x1，x2，得x1＋x2＝，所以sin (x1＋x2)＝sin ＝.
四、 解答题
9. 设函数f(x)＝cos x cos ＋sin2x－.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
【解答】f(x)＝cos x cos ＋sin2x－＝cosx＋(1－cos2x)－＝sinx cos x－cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝sin ，所以f(x)的最小正周期是T＝＝π.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2) 当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
【解答】当x∈时，2x－∈，此时sin ∈，可得f(x)∈.综上，f(x)的最大值为，最小值为－.
10. (2025·绍兴期末)已知函数f(x)＝sin cos ＋cos2－.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
【解答】因为f(x)＝sin ＋×－＝sin ＋cos ＝sin ，所以f(x)的最小正周期为T＝＝4π.令－＋2kπ≤＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2) 若g(x)＝f(x)－m在[0，π]上有两个零点，求实数m的取值范围．
【解答】因为x∈[0，π]，所以由(1)知f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以g(x)＝sin －m在上单调递增，在上单调递减．要使得g(x)＝f(x)－m在x∈上有两个零点，根据零点存在定理，得即解得≤m<1.所以实数m的取值范围是.
11. 若函数f(x)＝sin 2ωx＋2cos2ωx(ω>0，x∈R)，又f(x1)＝3，f(x2)＝－1且|x1－x2|的最小值为，则ω的值为(　A　)
A．　 B.
C. 　 D. 4
【解析】f(x)＝sin 2ωx＋2cos2ωx＝sin2ωx＋2cos2ωx－1＋1＝sin2ωx＋cos 2ωx＋1＝2sin ＋1，由于f(x)max＝3，f(x)min＝－1，结合f(x1)＝3，f(x2)＝－1，故x1，x2分别为f(x)的最大值点和最小值点，由于|x1－x2|的最小值为，故T＝2|x1－x2|＝＝，解得ω＝.
12. 在△ABC中，cos B＝，则cos2＋tan2＝____．
【解析】cos2＋tan2＝＋＝＋＝＋＝＋＝＋＝＋＝.
13. 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为θ的扇形，A是扇形弧PQ上的动点，AB∥OQ，OP与AB交于点B，AC∥OP，OQ与AC交于点C.
(第13题)
(1) 当θ＝时，求点A的位置，使矩形ABOC的面积最大，并求出这个最大面积；
【解答】如图(1)，连接OA，设∠AOB＝α，则OB＝cos α，AB＝sin α，所以矩形ABOC的面积S＝OB·AB＝sin α·cos α＝sin 2α. 由于0＜α＜，所以当2α＝，即α＝时，S最大值＝，所以点A在弧PQ的中点时，矩形ABOC的面积最大，最大面积为.
图(1)
(2) 当θ＝时，求点A的位置，使平行四边形ABOC的面积最大，并求出这个最大面积．
【解答】如图(2)，连接OA，设∠AOP＝α，过点A作AH⊥OP，垂足为H. 在Rt△AOH中，AH＝sin α，OH＝cos α.在Rt△ABH中，＝tan ＝，所以BH＝sin α，所以OB＝OH－BH＝cos α－sin α. 设平行四边形ABOC的面积为S，则S＝OB·AH＝sin α＝sin αcos α－sin2α＝sin2α－(1－cos 2α)＝sin 2α＋cos 2α－＝·－＝sin －.由于0＜α＜，所以<2α＋<.当2α＋＝，即α＝时，S最大值＝－＝，所以当点A是弧PQ的中点时，平行四边形ABOC的面积最大，最大面积为.
图(2)
(第13题答)(共45张PPT)
第五章 三角函数
5.5　三角恒等变换
第5课时　简单的三角恒等变换——辅助角公式及其应用
学习 目标 1. 理解辅助角公式的本质，能用辅助角公式化简三角函数式．
2. 体会三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．
新知初探 基础落实
一、 生成概念
引例：(课本P227例9)求下列函数的最小正周期、最大值和最小值：
分析：便于求最小正周期和最大值、最小值的三角函数式是y＝A sin (x＋φ)，利用和角公式将其展开，可化为y＝a sin x＋b cos x的形式．反之，利用和(差)角公式，可将y＝a sin x＋b cos x转化为y＝A sin (x＋φ)的形式，进而可以求其周期和最值．
√
×
×
典例精讲 能力初成
探究
1
辅助角公式及其简单应用
1
1
探究
2
利用辅助角公式研究函数性质
2
研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为简单的三角函数．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝
a sin x＋b cos x转化为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的形式，以便研究函数的性质．
变式　
探究
3
辅助角公式的实际应用
3
变式　
随堂内化 及时评价
2
D
A
D
配套新练案
D
A
C
A
BD
【答案】AD
1
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2) 若g(x)＝f(x)－m在[0，π]上有两个零点，求实数m的取值范围．
A
13. 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为θ的扇形，A是扇形弧PQ上的动点，AB∥OQ，OP与AB交于点B，AC∥OP，OQ与AC交于点C.
13. 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为θ的扇形，A是扇形弧PQ上的动点，AB∥OQ，OP与AB交于点B，AC∥OP，OQ与AC交于点C.

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