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2025—2026学年九年级数学上学期期中模拟卷02
（测试范围：九年级上册人教版，第21-23章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①②④
5．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车月份的销售量为辆，月份的销售量为辆．若月份、月份该新能源汽车销售量的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25
8．如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，抛物线（是常数，且）的对称轴是直线，与轴交于点，下列说法：①；②；③；④关于的一元二次方程的解是．其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
10．关于x的一元二次方程有实数根，则满足（　　）
A． B． C．，且 D．，且
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为
12．已知是关于的一元二次方程的一个根，则直线不经过第 象限．
13．在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则 ．
14．如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段轴交抛物线于点，，则的面积是 ．
15．已知关于x的不等式的解集为，则的解集为 ．
16．若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数a的和为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
18．点在抛物线上，点在点的左侧．
(1)求的值；并在如图中画出函数的图像；
(2)点是抛物线上点之间的曲线段上的动点（包括端点），求的最大值与最小值的差；
(3)将抛物线进行平移（点随之移动），使平移后的抛物线与轴的交点分别为，直接写出点移动的最短距离．
19．定义：如图1，在△ABC中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系_______；
②如图3，当，时，则长为_______．
猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
20．如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点．已知，点P是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个点，且点P的横坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式，并求出点的坐标；
(2)连接，求面积．
21．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“3倍根方程”．
(1)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值；
(2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“3倍根方程”，请写出m的值．
22．（10 分）2025 年 9 月 21 日早晨 7∶30，太原国际马拉松赛于五一广场前正式启幕．来自全球的跑者齐聚汾河两岸，以奔跑的姿态穿越这座历史悠久而又充满现代活力的城市．据统计，全程马拉松比赛的报名选手从 2023 年的 7500 人增加到 2025 年的 14700 人．
(1)求全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率；
(2)某直播间以本次比赛的完赛包为参考，在比赛结束前以每套 224 元的原价，打包售卖运动能量包，平均每日卖出 30 套．比赛结束后，该直播间进行降价促销，平均每套每降低 8 元，每日可多卖出 5 套，每日最多可打包 70 套，已知平均每日收到货款为 10920 元，则每套降价多少元？
23．如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线经过B、C两点，若点，，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求P点坐标；
(3)若点F是直线上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．综合与探究
问题背景：如图，在菱形中，是一条对角线，点为直线上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接．
【初步探究】
（1）如图1，当点在线段BC的中垂线上，则 ．
【深入分析】
（2）如图 2，若点与点重合，连接交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）若点在点右侧，如图 3，连接，若，请直接写出的长．2025—2026学年九年级数学上学期期中模拟卷02
（测试范围：九年级上册人教版，第21-23章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C B A B C B D
1．D
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可．
解：A选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B选项：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C选项：不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意．
故选：D．
2．D
本题考查了坐标系中的旋转，掌握旋转的性质和中点坐标公式是解题的关键；
根据旋转的性质可得：点C是的中点，设点B的坐标为，然后根据中点坐标公式求解即可．
解：根据旋转的性质可得：点C是的中点，
设点B的坐标为，
则，
解得：，
∴点B的坐标为；
故选：D．
3．C
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解题的关键是熟练掌握 二次函数图象上点的坐标特征．将三个点分别代入求值，进行比较即可．
解：将点都分别代入，
得，，，，
∴．
故选：C．
4．C
本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
根据抛物线的开口方向，对称轴位置可判断①②，根据图象可得当时，可判断③，由图像可得时函数值最大，将化为可判断④．
解：抛物线开口向下，
，故①不正确，不符合题意；
对称轴为，
，即，故②正确，符合题意；
由图可知，当时，，
，故③正确，符合题意；
抛物线开口方向向下，且对称轴为，
时，取最大值，
由可得，
当时，，
当时，，
，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的由②③④．
故选：．
5．B
本题考查了增长率问题的方程建立．题目中销售量从月到月共增长两个月，需要理解月平均增长率的含义，即月平均增长率连续作用两次，解题的关键是理解两个月的累计增长应表示为，而非简单相加．
设月平均增长率为，
则月份销售量：，
月份销售量：，
根据题意，月份的销售量为辆，
可列方程为：，
故选：．
6．A
本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．依次分析每个选项是否符合一元二次方程的定义．
解：A、方程，展开可得，即，整理为．它只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是整式方程，所以是一元二次方程，符合题意；
B、方程，分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程，不符合题意；
、方程，当时，方程变为，此时未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程，不符合题意；
D、方程，展开得，整理可得，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
7．B
本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一．
解：连接，，
∵正方形的边长为4和正方形的边长为3，
∴正方形的面积为16，正方形的面积为9，
∵正方形和正方形的对称中心都是点，
∴．
故选B．
8．C
本题考查了菱形的性质，动点问题与函数图象，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键．
先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值．
解：四边形是菱形，，
，．
如图1，当点N在上运动时，，．
过点M作于点E．
在中，，
．
．
当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）．
．
如图2，当点N在上运动时，，．
过点N作于点H．
在中，，
．
．
当时，．
解得，（不符合题意，舍去）．
．
故选：C．
9．B
本题考查的是二次函数的图象与性质，由图象可得：；；可得①正确；求解，结合抛物线的对称性，点关于直线的对称点是，可得，，可得②错误，当时，，可得③正确，由抛物线与轴的交点坐标是和，可得④正确．
解：∵抛物线开口向下，
∴；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴；
，①正确；
∵对称轴是直线，
，
根据抛物线的对称性，点关于直线的对称点是，
∴抛物线与轴的交点坐标是和，
∴，
∴，
∴，②错误，
当时，，故③正确，
∵抛物线与轴的交点坐标是和，
∴关于的一元二次方程的解是，故④正确．
综上，正确的有①③④．
故选：B．
10．D
本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
解：由题意得，且，
解得且，
故选：．
11．
本题考查了坐标与旋转变换，掌握旋转的性质及全等三角形的性质是解题的关键．根据旋转的性质利用一线三垂直构造全等三角形，即过点A作轴于C，过点作轴于B，可得，即可求解．
解：如图，过点A作轴于C，过点作轴于B，
∵绕坐标原点O逆时针旋转至，点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
12．一
本题考查一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．
把代入已知方程，列出关于m的方程，即可求得m，即可判断直线经过的象限．
解：把代入方程，
得：，
∴，
由题意知：，
∴，
∴．
∴直线经过的象限是第二、三、四象限，
∴直线不经过的象限是第一象限，
故答案为：一．
13．1
本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为当，时，，所以将，代入解析式得，化简求得，进而对称轴可求，题目可解．
解：对于，，有，
，
，
，
对称轴为，
．
故答案为：1．
14．
本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与性质、抛物线与坐标轴交点、图像上对称点坐标、三角形面积等知识，根据，得到，由二次函数图像与性质求出、，计算出的面积即可得到答案，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
解：如图所示，轴，
，
，则，
，
抛物线交轴正半轴于点，交轴于点，
，对称轴为直线，
轴，
，
则，
，
∴的面积是.
故答案为：．
15．
本题主要考查二次函数与不等式，将 整理为，再把整理为，由的解集为，可得，从而可得的解集．
解：∵，
∴，
又，
∴，
∵关于x的不等式的解集为，
∴关于x的不等式的解集为，
∴关于x的不等式的解集为，
∴，
故答案为：．
16．
本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，一元二次方程根的判别式，先解分式方程，可得，根据分式方程有整数解可得或或或或或，即可得到或或或或或，再根据分式方程有意义可得，最后再根据一元二次方程有实数根及定义可得且，进而得到满足条件的所有整数，进而即可求解，根据分式方程和一元二次方程求出满足条件的所有整数的值是解题的关键．
解：∵，
∴，
∴，
∵分式方程有整数解，
∴或或或或或，
即或或或或或，
又∵，
∴，
∴，
∴或或或或，
又∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
∴且，
∴或或，
∴满足条件的所有整数的和为，
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
本题考查了一元二次方程的解法，根据方程特点，选择合适的解法是解题的关键．
（1）直接用因式分解法解一元二次方程；
（2）先移项，将方程化为一般式，再利用因式分解法解一元二次方程；
（3）化为一般形式后利用公式法解一元二次方程；
（4）先移项，再用因式分解法解一元二次方程；
（1）解：方程因式分解得，
或，
解得，．
（2）
∴
则
则或
解得，．
（3）
∴
，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
，．
（4）
，
或，
解得，．
18．(1)；；作图见解析
(2)
(3)
（1）根据题意，将点的坐标代入表达式即可得到的值；并在如图中画出函数的图像即可；
（2）由（1）中所求得到，结合二次函数图像与性质求出的最大值与最小值，作差即可得到答案；
（3）根据题意，得到平移过程，从而求出点移动的最短距离．
（1）解：点在抛物线上，
，解得或；，解得；
点在点的左侧，
，；
画出函数的图像，如图所示：
（2）解：点是抛物线上点之间的曲线段上的动点（包括端点），
，
的对称轴是，开口向下，
当时，有最大值为1；当时，有最小值为；
的最大值与最小值的差为；
（3）解：平移后的抛物线与轴的交点分别为，
平移后的函数表达式为，
由平移到，只需要向上平移3个单位长度即可，
点移动的最短距离为．
本题考查二次函数综合，涉及求抛物线上点的坐标、作抛物线图像、二次函数最值、二次函数平移等知识，读懂题意，数形结合，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
19．（1）①；②4；（2），证明见解析．
（1）①根据含直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算；
（2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案．
解：（1）是等边三角形，
，
是的“旋补三角形”，
，
，
是的中线，
，
∴，
，
故答案为：；
是的“旋补三角形”，
，
在和中，
，
），
，
，是的“旋补中线”，
，
故答案为：4；
（2）猜想．
证明：如图，延长至点E使得，连接，
是的中线，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∴ADBC．
本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键．
20．(1)；；
(2)的面积为
本题考查了二次函数解析式的待定系数法求解、抛物线的对称轴及与坐标轴交点计算，以及平面直角坐标系中三角形面积的割补法计算（初中基础方法）．解题的关键是利用抛物线与x轴的交点确定函数表达式，再通过构造梯形和直角三角形，用“总面积减部分面积”的思路求的面积．
（1）将、代入抛物线解析式列方程组求b、c；令求C点坐标，用对称轴公式求D点坐标．
（2）先求P点坐标（横坐标代入抛物线解析式）；再过P作x轴垂线，构造梯形和直角三角形，用“梯形面积两个直角三角形面积”计算的面积．
（1）解：∵抛物线过点、，
将两点坐标代入解析式，得方程组
化简得：
②①消去，即，
将代入①：，解得，
∴抛物线的函数表达式为．
令，则，
∴．
抛物线对称轴，且D在x轴上，
∴．
（2）解：∵P横坐标为，代入，，
过P作轴于E，则；C在y轴上，故轴，四边形为直角梯
形．的面积可表示为：
∵梯形上底，下底，高，
∴
∵直角边，
∴，
∵直角边
∴
∴
∴的面积为
21．(1)50或
(2)17或
本题主要考查了根与系数的关系，解一元二次方程，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）由得，，根据“3倍根方程”定义可得或，然后代入求解即可；
（2）由关于的一元二次方程（m是常数）是“3倍根方程”，不妨设是的三倍，根据根与系数的关系得，，，解得，然后分情况代入解方程即可．
（1）∵，
解得 ．
∵是“3倍根方程”，
分情况讨论：
①则：．
②则：．
综上，的值为50或；
（2）∵（是常数）是“3倍根方程”，
∴不妨设是的三倍，
由韦达定理：，解得．
当时，
，
∴．
当，
，
∴．
22．(1)全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为
(2)每套降价56元
本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为，根据全程马拉松比赛的报名选手从 2023 年的 7500 人增加到 2025 年的 14700 人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设每套降价个8元，则平均每日可卖出套，根据每日最多可打包 70 套，列出一元一次不等式，得a的取值范围，根据平均每日收到货款为 10920 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
（1）解：设全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为，根据题意可得：
，
解得：，（舍去），
答：全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为；
（2）解：设每套降价个8元，则平均每日可卖出套，根据题意可得：
，
整理得：，
解得：，，
由题意知：，
解得：，
所以取7，
此时，，
答：每套降价56元．
23．(1)
(2)，
(3)存在，P点坐标为，或，或
（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即可；
（2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答即可；
（3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形的性质证明，得，设，分和两种情况解答即可．
（1）解：∵抛物线交轴于，两点，
∴，
解得，
∴抛物线 解析式为；
（2）解：∵中，当时，，
∴，
∵直线的解析式为，，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
当时，
，，
∵，
∴，
解得（舍去），或（舍去），
∴点P不存在；
当时，，
∴，
解得，或（舍去），
∴；
当时，，点P不存在；
当时，，，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
故点坐标为，；
（3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则，
∵是以为斜边的等腰直角三角形．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得或，
∴P坐标为，或；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得或（舍去），
∴P坐标为；
故P坐标为，或，或．
本题是函数与三角形综合题．熟练掌握待定系数法、一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活应用分类讨论思想，是解题的关键．
24．（1）；（2）四边形是矩形，理由见解析；（3）的长为或
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、矩形的判定以及旋转的性质等，解题的关键是根据图形的旋转性质和菱形的特点，结合三角形的相关定理进行分析与推理．
（1）利用线段中垂线性质、旋转性质和菱形等边三角形特征，推导的度数；
（2）通过旋转与菱形性质，先证平行四边形，再结合垂直条件证矩形；
（3）分和两种情况，用中位线定理、等边三角形性质及方程思想求．
解∶（1）在菱形中，，且，
是等边三角形
，
已知点在线段的中垂线上，
，
，
由旋转的性质可知：，
，
，
故答案为：；
（2）四边形是矩形．
理由∶由旋转可得，，，
在菱形中，，，，
，，
为等边三角形，
，，
点是中点，
，
又，，，
，
，
，
又，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形为矩形．
（3）的长为或．
理由：①当时，如图，
，
，
点为的中点，
为的中位线，
点为中点，
，
，
，
∴．
①当时，如图，
取中点为，连接，
∵点为中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
设，则，，，
∵为中点，
∴
即，
解得：，
∴．
综上所述，的长为或．(共6张PPT)
人教版 九年级上册
九年级数学上册期中模拟卷02
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 轴对称图形的识别；中心对称图形的识别
2 0.85 根据旋转的性质求解；中点坐标
3 0.84 y=ax 的图象和性质
4 0.85 二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号
5 0.75 增长率问题(一元二次方程的应用)
6 0.75 一元二次方程的定义
7 0.65 根据正方形的性质求面积；根据中心对称的性质求面积、长度、角度
8 0.64 图形运动问题(实际问题与二次函数)；用勾股定理解三角形；含30度角的直角三角形；利用菱形的性质求线段长
9 0.64 根据二次函数的图象判断式子符号；根据二次函数图象确定相应方程根的情况；y=ax +bx+c的图象与性质；二次函数图象与各项系数符号
10 0.55 一元二次方程的定义；根据一元二次方程根的情况求参数
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 求绕原点旋转90度的点的坐标；全等三角形综合问题
12 0.75 由一元二次方程的解求参数；根据一次函数解析式判断其经过的象限
13 0.75 已知抛物线上对称的两点求对称轴
14 0.64 y=ax +bx+c的图象与性质；面积问题(二次函数综合)
15 0.64 根据交点确定不等式的解集
16 0.4 根据一元二次方程根的情况求参数；根据分式方程解的情况求值
二、知识点分布
三、解答题 17 0.75 公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
18 0.75 二次函数图象的平移；y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值；已知二次函数的函数值求自变量的值
19 0.85 等边三角形的判定和性质；根据旋转的性质求解；全等的性质和SAS综合（SAS）；用勾股定理解三角形
20 0.65 待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)；求抛物线与y轴的交点坐标
21 0.64 因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
22 0.64 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
23 0.4 线段周长问题(二次函数综合)；特殊三角形问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式
24 0.15 利用菱形的性质求线段长；根据旋转的性质求解；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形

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