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2025—2026学年九年级数学上学期期中模拟卷03
（测试范围：九年级上册人教版，第21-23章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A C D D C B A A
1．C
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与自身重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．A
本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数最高为2次的整式方程）判断即可．
解：A. 是一元二次方程；
B. ，是二元二次方程，不是一元二次方程；
C. 是分式方程，不是一元二次方程；
D. 是一元三次方程，不是一元二次方程；
故选：A．
3．A
本题考查二次函数的定义．
形如的函数叫做二次函数．
A．符合二次函数一般式，符合题意．
B．化简后为，不符合题意．
C．不符合二次函数一般式，不符合题意．
D．中系数可能为0，不符合题意．
故选：A．
4．C
本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握函数图象平移的法则是解题的关键．根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的表达式为：，
即，
故选：C．
5．D
本题考查两个图形成中心对称，成中心对称 是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点；熟练掌握相关概念是解题的关键．
解：由题意，和成中心对称，如图所示：
故选：D．
6．D
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
设今后两年投资的年平均增长率为x，则今年投资万元，明年投资万元，再根据“今后两年共投资750万元”建立方程．
解：设今后两年投资的年平均增长率为x，则可列方程为，
故选：D．
7．C
本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系结合，列出关于的方程，进而求出的值即可．
解：由题意，得：，
∵，
∴，
解得或；
当时，原方程化为，此时，符合题意；
当时，原方程化为，此时，不符合题意；
故；
故选：C．
8．B
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象及性质依次排除选项即可．
解：由图象可知：，对称轴为直线，
∴，即，故②正确；
∴，故①错误；
由图象可知：当时，则有，故③正确；
若m为任意值，则当时，则，
当时，y有最小值，最小值为，
∴，
∴，
∴，故④错误；
方程的两根可看作是直线与二次函数的交点问题，如图，
∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
∴二次函数也过点，
∴方程的两个根分别为，
∴；故⑤正确；
综上所述：正确的有②③⑤；
故选：B．
9．A
本题考查了二次函数与不等式的关系，先作出函数的图象，再根据函数的性质求解．
解：二次函数图象如下图所示：
A、，则，故A是错误的；
B、当时，，故B是正确的；
C、若，如图所示：则，故C是正确的；
D、∵，，
∵，
∴，
故D是正确的；
故选：A．
10．A
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识，较难的是③，正确找出两个临界位置是解题关键．求出函数的对称轴为直线，由此即可判断①正确；先利用待定系数法求出函数的解析式，再求出函数在段的图象的最高点的坐标为，由此即可判断②正确；找出两个临界位置：当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点；当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点，求出的值，由此即可判断③正确；根据当时，函数取得最小值，最小值为，则对于任意实数，都有，由此即可判断④错误．
解：由图象可知：函数的对称轴为直线，
∴，即，结论①正确；
由题意可知，函数的图象经过点，
将点代入：，解得，
∴函数的解析式为，其顶点坐标为，
∴函数在段的图象的最高点的坐标为，
∴将函数图象向上平移1个单位长度后，在轴两个交点的中间部分段的图象的最高点的坐标为，
∴将函数图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，结论②正确；
由上可知，函数的解析式为，
当或时，，
当时，，
有两个临界位置：如图，当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点，
则，解得；
如图，当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点，
联立得：，这个方程有两个相等的实数根，
∴方程根的判别式，
解得，
∴当时，该图象与直线有四个交点，结论③正确；
由上可知，函数图象的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数取得最小值，最小值为，
∴对于任意实数，都有，即，结论④错误；
综上，正确的是①②③，
故选：A．
11．
本题考查了平面直角坐标系中对称点的规律，二次函数的顶点坐标．先根据关于原点对称的两点横、纵坐标互为相反数得到，，然后对二次函数配方成顶点式，然后得到顶点坐标即可．
解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴抛物线，
∴顶点坐标为，
故答案为：．
12．
本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
解：∵一元二次方程的一个根为，
∴，即，
∴．
故答案为：．
13．5
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，根据旋转的性质可得出，根据等式的性质可得出，根据正方形的面积公式可求出边长，然后在中，根据勾股定理求解即可．
解：∵绕点A顺时针旋转到，
∴，
∴，即，
又四边形的面积为144，
∴，
∴边长，
又，，
∴，
故答案为：5．
14．
本题考查了二次函数图象的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、，证明，所以，，又点，，则，，得，再由，从而求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
解：抛物线对称轴为：直线，
如图，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点，，
∴，，
∴，
∵，，
∴
，
∴，
∴ ，
故答案为：．
15．2
本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数的最值，二次函数的对称轴，根据图象开口方向，与轴交点及对称轴可判断①；由时，函数有最大值可判断②；由图象与轴的另一个交点在与之间，由此判断③；由二次函数的图象与x轴有两个交点可判断④，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
解：∵抛物线开口向下
∴，
∵对称轴为直线
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
∴当时，函数有最大值，即最大值为，
∴当时，，
即，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线，图象与轴的一个交点在与之间，
∴图象与轴另一个交点在与之间，
∴当时，
即，故③正确；
由图象知，二次函数的图象与轴有两个交点，
∴，故④错误．
综上，正确的结论有2个．
故答案为：2．
16．8
本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，由题意可得，，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）根据配方法的步骤，进行配方后，计算即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）先将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可．
（1）解：，
，
，
，
，
解得；
（2），
，
，
，
解得；
（3）
，
，
，
或，
解得；
（4），
，
，
，
或，
解得．
18．（1）97；（2）6
本题主要考查了分母有理化，代数式求值，二次根式混合运算，一元二次方程的解，掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题的关键．
（1）先将，分母有理化，然后再代入代数式求值即可；
（2）根据是方程的一个实数根，得出，，然后代入求值即可．
解：（1）∵，
，
∴
；
（2）∵是方程的一个实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)或或或或或或
或或．
本题主要考查了图形的旋转、中心对称以及等腰三角形的判定，熟练掌握图形变换的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）依据旋转的性质，确定各顶点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标，进而画出．
（2）根据中心对称的性质，求出各顶点关于原点对称的点的坐标，画出，并得到的坐标．
（3）先确定、的坐标，再依据等腰三角形的性质，分点在轴和轴两种情况，讨论满足以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形的点的坐标．
（1）解：如图，为所求；
（2）解：如图，为所求，
的坐标为；
（3）解：由（2）图可得，．
．
当点在轴上时，设，
若，则，
解得，即．
若，则，
解得．即或．
若，则，
两边平方得，
即，解得或，即或．
当点在轴上时，设：
若，则，
解得，即．
若，则，
解得或，即或．
若，则，
解得．即或．
综上，点P的坐标为或或或或或或
或或．
20．（1）等边；（2）；（3）
（1）证明是等边三角形即可；
（2）将绕点逆时针方向旋转，得，连接，证明是等边三角形，推出，然后利用勾股定理求解即可；
（3）将绕点按逆时针方向旋转，得到，推出是等边三角形，，再求得，，推导出，得到，然后利用勾股定理求得，最后利用求得答案．
（1）解：等边，理由如下：
将绕点顺时针旋转，得到
，
是等边三角形，
故答案为：等边；
（2）解：如图，将绕点逆时针方向旋转，得，连接，
那么有，
是等边三角形
，
在中，；
（3）解：如图，
将绕点按逆时针方向旋转，得到，
是等边三角形，，
，
，即
即
．
本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题．
21．(1)
(2)
(3)当的边与轴垂直时，点的纵坐标为12，点的纵坐标为26或点的纵坐标为26，点的纵坐标为44
(4)
本题考查了二次函数解析式求解、顶点坐标、函数增减性及与矩形的综合应用．解题的关键是熟练运用二次函数性质，结合几何条件转化为代数问题求解，注意分类讨论和边界情况分析．
（1）代入两点坐标列方程，求解得解析式．
（2）求顶点坐标确定m，代入解析式得F坐标．
（3）分平行于x轴，求m后算纵坐标．
（4）确定矩形对角线的中点横坐标，结合抛物线增减性与对称轴，求m范围．
（1）将代入抛物线得；
将）和代入抛物线方程，得，解得
∴抛物线解析式为．
（2）∵，
∴顶点坐标为，
∵点E与顶点重合，且E横坐标为，
∴，得．
∴点F横坐标为，代入抛物线解析式得，
即．
（3）抛物线对称轴为．当的边与y轴垂直时，边平行于x轴．
若轴，则C纵坐标为2，代入抛物线得，解得（舍去）．此时E横坐标为，纵坐标为；F横坐标为，纵坐标为．
若轴，则D纵坐标为2，代入抛物线得，解得（舍去）．此时E横坐标为，纵坐标为；F 横坐标为 ，纵坐标为 ．
∴点E的纵坐标为12，点F的纵坐标为26或点E的纵坐标为26，点F的纵坐标为44．
（4）抛物线开口向上，对称轴，
∵点C与点F的横坐标分别为，
∴矩形的中点横坐标为，
当矩形中点在对称轴左侧时，矩形内抛物线主要部分在左侧，且满足y随x增大而减小，
∴，解得，
结合，得（如图）．
22．(1)或
(2)
(3)
本题考查了二次函数的图象与性质（过原点的条件、顶点坐标与象限的关系、增减性），解题的关键是通过配方转化为顶点式，利用顶点坐标和对称轴的性质分析各问题．
（1）将原点坐标代入函数解析式，解关于k的一元二次方程；
（2）通过配方得到顶点坐标，根据第四象限点的坐标特征列不等式组求解；
（3）根据抛物线开口方向和对称轴位置，确定时 y 随x 增大而增大的k 的范围．
（1）解：∵函数图象经过原点，
∴将，代入得：，
即．
因式分解得，解得，．
∴当或时，图象经过原点．
（2）将二次函数配方为顶点式：，
∴顶点坐标为．
顶点在第四象限（第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负），
∴解得．
（3）二次函数的对称轴为直线，且抛物线开口向上．
当时，y随x的增大而增大．
∵当时，y随x的增大而增大，
∴．
故答案为：．
23．(1)龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克
(2)为了销售量尽可能大，每千克龙眼售价应定为14元
该题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意．
（1）根据“原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克”列式计算即可．
（2）设每千克龙眼售价为x元，根据利润数量每千克的利润，列方程解答即可．
（1）解：（千克）．
答：若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克．
（2）解：设每千克龙眼售价为x元，
由题意得，
解得，，
要保证销售量尽可能大，
每千克龙眼售价应定为14元．
24．(1)
(2)；
(3)所有符合条件的点N的坐标为或
（1）由抛物线与x轴交于可得①，由抛物线的对称轴直线方程可得②，可求出，，即可求出抛物线的解析式；
（2）运用待定系数法求出直线的解析式为，设，得，；，可得可求出当时，有最大值，此时；作点C关于x轴的对称点，则，连接，交x轴于点E，则的周长，当三点共线时，的周长最小，即最小值为，求出即可；
（3）先求出平移后抛物线解析式及点M的坐标，得，求得，，,设，列方程，求解方程即可得解．
（1）解：∵抛物线与x轴交于，
∴①，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴②，
由①②联立得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：对于，当时，,
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
所以，直线的解析式为，
∵，，
∴，，
∴，
设，
∵交于点，
∴，
∴；
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，此时；
作点C关于x轴的对称点，则，连接，交x轴于点E，则的周长
∵是定值，
∴当三点共线时，的周长最小，即最小值为，
∵，，，
∴；，
∴的周长最小值为；
故答案为：；；
（3）解：由（2）知，当取得最大值时，点，
∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，即抛物线向右平移4个单位，再向上平移4个单位，
∴点P的对应点M的坐标为，即，
而点的坐标为，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又，
∴，
如图，设与轴交于点，则，
∴，
∵，且，，
∴，
∴,
∵N为抛物线上的一动点．
∴设，
∴，
∴或，
当时，解得或（不合题意，舍去）
∴；
当时，解得或（不合题意，舍去）
∴；
综上，所有符合条件的点N的坐标为或．
本题属于二次函数综合题，主要考查了求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的综合，二次函数的图象性质，解直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．2025—2026学年九年级数学上学期期中模拟卷03
（测试范围：九年级上册人教版，第21-23章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数表达式中，是的二次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
4．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
5．下列各组图形中，和成中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
6．某公司去年年底已累计投资200万元，今后两年计划继续增加投资，若两年增加的百分比相同，且使今后两年共投资750万元，设今后两年投资的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，则m的值为（ ）
A．1或 B．0或 C．1 D．0
8．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．．②③④
9．二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．无论取何值，都有
10．如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④（为实数）．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标为 ．
12．已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为 ．
13．如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为144，，则的长为 ．
14．如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则 ．
15．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：(①；②；③；④，正确的结论有 个．
16．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解方程：
(1)（配方法）
(2)（公式法）
(3)
(4)
18．（1）已知，，求的值．
（2）已知是方程的一个实数根，求代数式的值．
19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
(1)画出将绕原点顺时针旋转得到的．
(2)画出关于原点成中心对称的，并直接写出点的坐标．
(3)在直角坐标系坐标轴上是否存在点P，使得以，，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（1）【操作发现】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是 三角形．
（2）【类比探究】如图，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长．
（3）【解决问题】如图，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，点、、、在抛物线上，其横坐标分别为、、、，连接、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点与抛物线的顶点重合时，求点的坐标；
(3)当的边与轴垂直时，求点与点的纵坐标；
(4)连接，以为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
22．已知二次函数．
(1)当实数k为何值时，图象经过原点？
(2)当实数k在何取值范围时，函数图象的顶点在第四象限？
(3)当时，y随x的增大而增大，直接写出k的取值范围是 ．
23．白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克．
(1)若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？
(2)高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B，两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作于点H，轴交于点D，点E是x轴上的一个动点，连接，当取得最大值时，求点P的坐标及周长的最小值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．(共6张PPT)
人教版 九年级上册
九年级数学上册期中模拟卷03
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 轴对称图形的识别；中心对称图形的识别
2 0.75 一元二次方程的定义
3 0.75 二次函数的识别
4 0.85 二次函数图象的平移
5 0.85 成中心对称
6 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)
7 0.64 因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；根据判别式判断一元二次方程根的情况
8 0.64 y=ax +bx+c的图象与性质；抛物线与x轴的交点问题；根据二次函数的图象判断式子符号；根据二次函数的对称性求函数值
9 0.55 y=ax 的图象和性质
10 0.4 其他问题(二次函数综合)；y=ax +bx+c的图象与性质；根据二次函数图象确定相应方程根的情况
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 把y=ax +bx+c化成顶点式；已知两点关于原点对称求参数
12 0.75 已知式子的值，求代数式的值；判断是否是一元二次方程的解
13 0.75 根据正方形的性质求线段长；根据旋转的性质求解；用勾股定理解三角形
14 0.64 y=ax +bx+c的图象与性质；特殊三角形问题(二次函数综合)；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
15 0.64 抛物线与x轴的交点问题；y=ax +bx+c的图象与性质；二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号
16 0.55 已知式子的值，求代数式的值；一元二次方程的根与系数的关系
二、知识点分布
三、解答题 17 0.65 因式分解法解一元二次方程；解一元二次方程——配方法；公式法解一元二次方程
18 0.75 已知字母的值，化简求值；由一元二次方程的解求参数；分母有理化
19 0.64 等腰三角形的性质和判定；求关于原点对称的点的坐标；用勾股定理解三角形；画旋转图形
20 0.65 等边三角形的判定和性质；根据旋转的性质求解；二次根式的应用；用勾股定理解三角形
21 0.64 待定系数法求二次函数解析式；已知二次函数的函数值求自变量的值；求一元一次不等式的解集；写出直角坐标系中点的坐标
22 0.55 y=ax +bx+c的图象与性质
23 0.65 营销问题(一元二次方程的应用)
24 0.15 二次函数图象的平移；线段周长问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式

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