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第2课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质的综合应用
学习 目标 1. 能根据y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象确定其解析式． 2. 会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
新知初探基础落实
由y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法：
典例精讲能力初成
探究1　函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的综合变换
例1　把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f(x)＝(　B　)
A. sin 　 B. sin
C. sin 　 D. sin
【解析】将y＝sin 的图象先向左平移个单位长度得到y＝sin ＝
sin 的图象，再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍得到y＝sin 的图象，所以f(x)＝sin .
变式　(课本P239练习3)函数y＝sin 的图象与正弦曲线有什么关系？
【解答】y＝sin 的图象可以通过正弦曲线的平移、伸缩而得到．y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin 的图象；横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到y＝sin 的图象；纵坐标缩短为原来的，横坐标不变得到y＝sin 的图象．
探究2　由图象确定函数的解析式
例2　如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
(例2)
【解答】由题图知A＝3，T＝－＝π，所以ω＝＝2，所以y＝3sin (2x＋φ).因为点在函数图象上，所以0＝3sin ，所以－×2＋φ＝2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z).因为|φ|<，所以φ＝，所以y＝3sin .
给出y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法：(1) A：一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|A|.(2) ω：因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω.图象上相邻的两个对称中心间的距离为，相邻的两条对称轴之间的距离为，相邻的对称轴与对称中心之间距离为.(3) φ：从“五点法”中的第一个点(或最大、最小值点)作为突破口．
变式　已知函数y＝sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　B　)
(变式)
A. 2，　 B. 2，
C. 4，　 D. 4，
【解析】由函数的图象可得，函数的周期T＝2＝π，则＝π，所以ω＝2.函数图象过点，则sin ＝0，所以＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝.
探究3　y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质
例3　若函数f(x)＝A sin 在一个周期内的图象如图所示，则(　B　)
(例3)
A. f(x)＝2sin
B. f(x)的图象的一个对称中心为
C. f(x)的单调递增区间是，k∈Z
D. 把g(x)＝2sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得f(x)的图象
【解析】由题图可知A＝2，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝3π，故T＝＝＝3π，解得ω＝，所以f(x)＝2sin .又函数f(x)的图象经过点，所以f＝
2sin ＝2，即sin ＝1，因为0＜φ＜，所以＜φ＋＜，所以φ＋＝，解得φ＝，所以f(x)＝2sin ，故A不正确．因为f＝2sin ＝
2sin (－2π)＝0，所以f(x)的图象的一个对称中心为，故B正确．令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得3kπ－≤x≤3kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z，故C错误．把g(x)＝2sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到y＝2sin 的图象，故D错误．
变式　已知函数f(x)＝cos4x－sin4x＋sin2x，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　D　)
A. g(x)是奇函数
B. g(x)的最小正周期是
C. g(x)的图象关于直线x＝对称
D. g(x)在上单调递减
【解析】由题得f(x)＝cos2x－sin2x＋sin2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin ，则g(x)＝2sin ，从而g(x)的最小正周期T＝＝π，故A，B错误．令2x－＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，当x＝时，k＝－ Z，故C错误．令2k′π＋≤2x－≤2k′π＋(k′∈Z)，解得k′π＋≤x≤k′π＋(k′∈Z)，当k′＝2时，≤x≤，因为 ，故D正确．
探究4　y＝A sin (ωx＋φ)的实际应用
例4　(课本P238例2)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min.
(例4)
(1) 游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
【解答】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系．
(例4答)
设t＝0 min时，游客甲位于点P(0，－55)，以OP为终边的角为－；根据摩天轮转一周大约需要30 min，可知座舱转动的角速度约为 rad/min，由题意可得H＝55sin ＋65，0≤t≤30.
(2) 求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度；
【解答】当t＝5时，H＝55sin ＋65＝37.5.所以游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度约为37.5 m．
(3) 若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h(单位：m)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1).
【解答】如图，设甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则∠AOB＝＝.经过t min后甲距离地面的高度为H1＝55sin ＋65，点B相对于点A始终落后 rad，此时乙距离地面的高度为H2＝55sin ＋65，则甲、乙距离地面的高度差h＝|H1－H2|＝55|sin －sin |＝55|sin ＋sin |，利用sin θ＋sin φ＝
2sin cos ，可得h＝110|sin ·sin |，0≤t≤30.当t－＝，即t≈7.8(或22.8)时，h的最大值为110sin ≈7.2.所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2 m．
随堂内化及时评价
1. 为得到函数y＝cos 2x的图象，只需将函数y＝cos 的图象(　C　)
A. 向右平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
【解析】因为y＝cos ＝cos 2x，所以只需将函数y＝cos 的图象向右平移个单位长度即可得到函数y＝cos 2x的图象．
2. 如图，若函数f(x)＝A sin (2x＋φ)的图象过点(0，)，则函数f(x)的解析式为(　B　)
(第2题)
A. f(x)＝2sin
B. f(x)＝2sin
C. f(x)＝2sin
D. f(x)＝2sin
【解析】由题意知，A＝2，函数f(x)的图象过点(0，)，所以f(0)＝2sin φ＝，由|φ|<，得φ＝，所以f(x)＝2sin .
3. 若函数f(x)＝2sin 是偶函数，则φ的值可以是(　A　)
A. 　 B.
C. 　 D. －
【解析】由题意知φ－＝＋kπ(k∈Z)，得φ＝＋kπ(k∈Z)，结合选项知A符合．
4. (2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝(　D　)
A. －　 B. －
C. 　 D.
【解析】由题意得＝－＝，不妨设ω>0，则T＝π＝，解得ω＝2，所以f(x)＝
sin (2x＋φ).又2·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝－＋2kπ，k∈Z.所以f＝
sin ＝sin ＝.
5. 将函数y＝cos x－sin x的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y＝cos 2x＋sin 2x的图象，则φ，a的可能取值为(　D　)
A. φ＝，a＝2　 B. φ＝，a＝2
C. φ＝，a＝　 D. φ＝，a＝
【解析】将函数y＝cos x－sin x＝cos 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得y＝cos 的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y＝
cos 的图象．又y＝cos ＝cos 2x＋sin 2x＝cos ，所以＝2，－φ＝－＋2kπ(k∈Z)，所以a＝，又φ>0，所以φ＝＋2kπ(k∈N)，结合选项知选D.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 为了得到y＝sin 的图象，只需把y＝sin x图象上所有的点(　C　)
A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变
B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变
C. 先向左平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变
D. 先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变
2. 若函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　A　)
(第2题)
A. 2，－ B. 2，－
C. 4，－ D. 4，
3. 已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π，将f(x)的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则正实数φ的最小值为(　B　)
A. 　 B.
C. 　 D.
【解析】因为函数f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin ，若函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，则＝π，解得ω＝2，可得f(x)＝2sin .将f(x)的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)＝f(x－φ)＝2sin ，又g(x)为偶函数，故2φ＋＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝＋，k∈Z，可知当k＝0时，正实数φ取得最小值为.
4. 将y＝sin 图象上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)的图象，再将y＝g(x)图象向左平移个单位长度，得到y＝φ(x)的图象，则y＝φ(x)的解析式为(　A　)
A. y＝sin x　 B. y＝cos x
C. y＝sin 9x　 D. y＝sin
【解析】将y＝sin 图象上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到g(x)＝sin 的图象，再将y＝g(x)的图象向左平移个单位长度，得到φ(x)＝
sin ＝sin x的图象．
二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝sin ＋cos ，则(　AC　)
A. f(x)的最小正周期为4π
B. f(x)在上单调递增
C. f(x)的图象关于直线x＝－对称
D. f(x)的图象可由y＝2sin 的图象向左平移个单位长度得到
6. 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，下列说法正确的是(　ABD　)
(第6题)
A. 函数f(x)的图象关于点中心对称
B. 函数f(x)的图象关于直线x＝－对称
C. 函数f(x)在上单调递增
D. 该图象向右平移个单位长度可得y＝2sin 2x的图象
【解析】由图可知，A＝2，＝－＝，T＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋φ)，代入点，得sin ＝1，又|φ|<，则－<＋φ<，φ＋＝，所以φ＝，故f(x)＝2sin .对于A，因为f＝2sin ＝0，所以函数f(x)的图象关于点中心对称，故A正确；对于B，当x＝－时，f＝2sin ＝
2sin ＝－2，故B正确；对于C，当x∈时，2x＋∈[－π，0]，f(x)不单调，故C错误；对于D，f＝2sin ＝2sin 2x，故D正确．
三、 填空题
7. 若f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的定义域为R，周期为，初相为，值域为
[－1，3]，则f(x)＝__2sin_＋1__.
8. 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则f＝____．
(第8题)
【解析】由图象得A＝2，＝－＝，故T＝π，则ω＝＝2.由图知f＝
2sin ＝2，故＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又－π<φ<0，解得φ＝－，故f(x)＝2sin ，f＝2sin ＝2sin ＝2×＝.
四、 解答题
9. 已知函数g(x)＝sin ，将g(x)图象上每一点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向上平移1个单位长度得到函数f(x)的图象．
(1) 求f(x)图象的对称中心；
【解答】根据题意，f(x)＝sin ＋1，由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
(2) 若函数f(x)在上没有最小值，求实数m的取值范围．
【解答】由(1)知，f(x)＝sin ＋1，因为x∈，所以2x＋∈，要使f(x)在上没有最小值，则<2m＋≤，解得10. (2023·北京卷)已知函数f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ，ω>0，|φ|<.
(1) 若f(0)＝－，求φ的值；
【解答】因为f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx·sin φ＝sin (ωx＋φ)，所以f(0)＝sin φ＝－，因为|φ|<，所以φ＝－.
(2) 若f(x)在区间上单调递增，且f＝1，从①f＝；②f＝－1；③f(x)在上单调递减，这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，并求ω，φ的值．
【解答】因为f(x)＝sin (ωx＋φ)，ω>0，|φ|<，所以f(x)的最大值为1，最小值为－1.
若选条件①：因为f(x)＝sin (ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1，所以f＝无解，故条件①不能使函数f(x)存在．
若选条件②：因为f(x)在上单调递增，且f＝1，f＝－1，所以＝－＝π，所以T＝2π，ω＝＝1，所以f(x)＝sin (x＋φ).因为f＝－1，所以sin ＝－1，所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝－.综上，ω＝1，φ＝－.
若选条件③：因为f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)在x＝－处取得最小值－1，即f＝－1，以下与选条件②相同．
11. 已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)，将f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，若函数g(x)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　C　)
A. (0，4]　 B. (0，2]
C. 　 D. (0，1]
【解析】因为函数f(x)＝sin ωx(ω>0)，将f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝sin ，因为函数g(x)在区间上单调递增，所以ωx＋∈，k∈Z即可，即k∈Z，即k∈Z，又因为ω>0，所以k＝0，0<ω≤.
12. 设函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，若f(x)＝f＝－f(π－x)，且f(x)的最小正周期大于，则下列结论正确的是(　D　)
A. f(x)是奇函数
B. f(x)的最小正周期为
C. f(x)在上单调递增
D. f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)＝－2sin 3x的图象
【解析】因为函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，且f(x)＝f＝－f(π－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，且关于点中心对称．因为f(x)的最小正周期T＝>，所以0<ω<4.由＝－，k∈Z，解得ω＝3(2k＋1)，k∈Z.又0<ω<4，故k＝0，ω＝3，所以f(x)＝2sin (3x＋φ).因为f(x)的图象关于点中心对称，所以3×＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ－，k∈Z.又0＜φ<π，故k＝2，φ＝，所以f(x)＝2sin ＝2cos 3x.对于A，f(x)＝2cos 3x为偶函数，故A错误；对于B，f(x)的最小正周期为＝，故B错误；对于C，当x∈时，3x∈(0，π)，f(x)＝2cos 3x单调递减，故C错误；对于D，f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝2cos ＝－2sin 3x的图象，故D正确．
13. (多选)为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点P(x，y).若初始位置为点P0，秒针从P0(规定此时t＝0)开始沿顺时针方向转动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为(　CD　)
(第13题)
A. y＝2sin 　　　　
B. y＝－sin
C. y＝sin 　　　　
D. y＝cos
【解析】设y与时间t的函数关系式为y＝A sin (ωt＋φ).由题意可得，初始位置为P0，即初相为φ，故可得sin φ＝，cos φ＝，则A＝1，φ＝.又函数周期是60 s且秒针按顺时针旋转，即T＝||＝60，所以|ω|＝，即ω＝－.故满足题意的函数解析式为y＝sin ＝cos ＝cos .
14. (多选)如图，点M，N是函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若M(－1，0)，且当△MPN的面积最大时，PM⊥PN，则(　AD　)
(第14题)
A. f(0)＝
B. ω＋φ＝
C. f(x)的单调递增区间为[－1＋8k，3＋8k](k∈Z)
D. f(x)的图象关于直线x＝5对称
【解析】由图知，当点P(x0，y0)位于曲线最高点(此时y0＝2)时，△MPN的面积最大，且PM⊥PN，所以△MPN为等腰直角三角形．设MN的中点为Q，则PQ⊥MN且|PQ|＝|MN|，即y0＝|MN|＝2，所以|MN|＝4.又ω＞0，|MN|＝×＝4，所以ω＝，所以f(x)＝2cos .因为M(－1，0)，所以2cos ＝0，则(－1)×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.因为－＜φ＜，所以φ＝－，所以f(x)＝2cos ，所以f(0)＝2cos ＝，A正确；ω＋φ＝0，B错误；令x－∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z得，x∈[8k－3，8k＋1]，k∈Z，C错误；令x－＝kπ，k∈Z得x＝4k＋1，k∈Z，故D正确．第2课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质的综合应用
学习 目标 1. 能根据y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象确定其解析式． 2. 会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
新知初探基础落实
由y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法：
典例精讲能力初成
探究1　函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的综合变换
例1　把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f(x)＝(　 　)
A. sin 　 B. sin
C. sin 　 D. sin
变式　(课本P239练习3)函数y＝sin 的图象与正弦曲线有什么关系？
探究2　由图象确定函数的解析式
例2　如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
(例2)
给出y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法：(1) A：一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|A|.(2) ω：因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω.图象上相邻的两个对称中心间的距离为，相邻的两条对称轴之间的距离为，相邻的对称轴与对称中心之间距离为.(3) φ：从“五点法”中的第一个点(或最大、最小值点)作为突破口．
变式　已知函数y＝sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　 　)
(变式)
A. 2，　 B. 2，
C. 4，　 D. 4，
探究3　y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质
例3　若函数f(x)＝A sin 在一个周期内的图象如图所示，则(　 　)
(例3)
A. f(x)＝2sin
B. f(x)的图象的一个对称中心为
C. f(x)的单调递增区间是，k∈Z
D. 把g(x)＝2sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得f(x)的图象
变式　已知函数f(x)＝cos4x－sin4x＋sin2x，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　 　)
A. g(x)是奇函数
B. g(x)的最小正周期是
C. g(x)的图象关于直线x＝对称
D. g(x)在上单调递减
探究4　y＝A sin (ωx＋φ)的实际应用
例4　(课本P238例2)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min.
(例4)
(1) 游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
(2) 求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度；
(3) 若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h(单位：m)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1).
随堂内化及时评价
1. 为得到函数y＝cos 2x的图象，只需将函数y＝cos 的图象(　 　)
A. 向右平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
2. 如图，若函数f(x)＝A sin (2x＋φ)的图象过点(0，)，则函数f(x)的解析式为(　 　)
(第2题)
A. f(x)＝2sin
B. f(x)＝2sin
C. f(x)＝2sin
D. f(x)＝2sin
3. 若函数f(x)＝2sin 是偶函数，则φ的值可以是(　 　)
A. 　 B.
C. 　 D. －
4. (2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝(　 　)
A. －　 B. －
C. 　 D.
5. 将函数y＝cos x－sin x的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y＝cos 2x＋sin 2x的图象，则φ，a的可能取值为(　 　)
A. φ＝，a＝2　 B. φ＝，a＝2
C. φ＝，a＝　 D. φ＝，a＝
配套新练案
一、 单项选择题
1. 为了得到y＝sin 的图象，只需把y＝sin x图象上所有的点(　 　)
A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变
B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变
C. 先向左平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变
D. 先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变
2. 若函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　 　)
(第2题)
A. 2，－ B. 2，－
C. 4，－ D. 4，
3. 已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π，将f(x)的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则正实数φ的最小值为(　 　)
A. 　 B.
C. 　 D.
4. 将y＝sin 图象上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)的图象，再将y＝g(x)图象向左平移个单位长度，得到y＝φ(x)的图象，则y＝φ(x)的解析式为(　 　)
A. y＝sin x　 B. y＝cos x
C. y＝sin 9x　 D. y＝sin
二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝sin ＋cos ，则(　 　)
A. f(x)的最小正周期为4π
B. f(x)在上单调递增
C. f(x)的图象关于直线x＝－对称
D. f(x)的图象可由y＝2sin 的图象向左平移个单位长度得到
6. 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，下列说法正确的是(　 　)
(第6题)
A. 函数f(x)的图象关于点中心对称
B. 函数f(x)的图象关于直线x＝－对称
C. 函数f(x)在上单调递增
D. 该图象向右平移个单位长度可得y＝2sin 2x的图象
三、 填空题
7. 若f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的定义域为R，周期为，初相为，值域为 [－1，3]，则f(x)＝ .
8. 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则f＝ ．
(第8题)
四、 解答题
9. 已知函数g(x)＝sin ，将g(x)图象上每一点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向上平移1个单位长度得到函数f(x)的图象．
(1) 求f(x)图象的对称中心；
(2) 若函数f(x)在上没有最小值，求实数m的取值范围．
10. (2023·北京卷)已知函数f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ，ω>0，|φ|<.
(1) 若f(0)＝－，求φ的值；
(2) 若f(x)在区间上单调递增，且f＝1，从①f＝；②f＝－1；③f(x)在上单调递减，这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，并求ω，φ的值．
11. 已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)，将f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，若函数g(x)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　 　)
A. (0，4]　 B. (0，2]
C. 　 D. (0，1]
12. 设函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，若f(x)＝f＝－f(π－x)，且f(x)的最小正周期大于，则下列结论正确的是(　 　)
A. f(x)是奇函数
B. f(x)的最小正周期为
C. f(x)在上单调递增
D. f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)＝－2sin 3x的图象
13. (多选)为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点P(x，y).若初始位置为点P0，秒针从P0(规定此时t＝0)开始沿顺时针方向转动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为(　 　)
(第13题)
A. y＝2sin 　　　　
B. y＝－sin
C. y＝sin 　　　　
D. y＝cos
14. (多选)如图，点M，N是函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若M(－1，0)，且当△MPN的面积最大时，PM⊥PN，则(　 　)
(第14题)
A. f(0)＝
B. ω＋φ＝
C. f(x)的单调递增区间为[－1＋8k，3＋8k](k∈Z)
D. f(x)的图象关于直线x＝5对称(共56张PPT)
第五章 三角函数
5.6　函数y＝A sin (ωx＋φ)
第2课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质的综合应用
学习 目标 1. 能根据y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象确定其解析式．
2. 会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
新知初探 基础落实
由y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法：
典例精讲 能力初成
探究
1
函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的综合变换
1
B
变式　
探究
2
由图象确定函数的解析式
2
变式　
B
探究
3
y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质
3
【答案】B
变式　
【答案】D
探究
　　　(课本P238例2)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min.
(1) 游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面的高度
为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
4
y＝A sin (ωx＋φ)的实际应用
4
【解答】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系．
(课本P238例2)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min.
(2) 求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度；
(课本P238例2)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min.
(3) 若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过
程中，求两人距离地面的高度差h(单位：m)关于t的函数解析式，
并求高度差的最大值(精确到0.1).
随堂内化 及时评价
C
B
A
D
【答案】D
配套新练案
C
A
【答案】B
【答案】A
AC
【答案】ABD
【答案】C
【答案】D
【答案】CD
【答案】AD

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