资源简介

5.7　三角函数的应用
学习 目标 1. 了解y＝A sin (ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相． 2. 能用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P242—P248，完成下列填空．
1. 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，各参数的物理意义
振幅 A __它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离__
周期 T＝ __它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间__
频率 f＝ __它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数__
相位 ωx＋φ __x＝0时的相位φ称为初相__
2. 应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势，确定它的周期，从而建立起适当的三角函数模型，解决问题的一般程序如下：
(1) 审题，先审清楚题目条件、要求、理解数学关系．
(2) 建模，分析题目特性，选择适当的三角函数模型．
(3) 求解，对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论．
(4) 还原，把数学结论还原为实际问题的解答．
典例精讲能力初成
探究1　三角函数在物理学中的应用
例1　音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器，如图(1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系式为y＝sin ωt.如图(2)是该函数在一个周期内的图象，则ω＝(　D　)
图(1) 图(2)
(例1)　　　　
A. 200　 B. 400
C. 200π　 D. 400π
【解析】由图象可得，ω＞0，T＝4×＝，即＝，则ω＝400π.
(1) 三角函数常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性；
(2) 明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
变式　一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式是s＝3cos ，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝(　D　)
A. cm　 B. cm
C. cm　 D. cm
【解析】由题意，函数的最小正周期为T＝，所以＝＝2π，所以线长为l＝(cm).
探究2　三角函数在实际生活中的应用
(课本P245例1)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝
A sin (ωx＋φ)＋b.
(例2)
(1) 求这一天6～14时的最大温差；
【解答】由题图可知，这段时间的最大温差是20℃.
(2) 写出这段曲线的函数解析式．
【解答】由题图可以看出，从6～14时的图象是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b①的半个周期的图象，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20.因为×＝14－6，所以ω＝.将A＝10，b＝20，ω＝，x＝6，y＝10代入①式，可得φ＝.综上，所求解析式为y＝
10sin ＋20，x∈[6，14].
解三角函数应用问题的基本步骤
变式　通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1) 求出该地区该时段的温度函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，|φ|＜π，x∈[0，24))的表达式；
【解答】由题意知解得易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝，易知8sin ＋6＝－2，即sin ＝－1，故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z.又|φ|＜π，得φ＝－，所以y＝8sin ＋6(x∈[0，24)).
(2) 29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
【解答】当x＝9时，y＝8sin ＋6＝8sin ＋6＜8sin ＋6＝10，所以届时学校后勤应该开空调．
探究3　利用数据建立拟合函数模型
例3　“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y(单位：m)与时间t(单位：h，0≤t≤24)的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1
该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．
(1) 试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；
【解答】画出散点图，连线后如图所示．
设y＝A sin ωt＋b，根据最大值13，最小值7，可列方程为解得再由T＝＝12，得ω＝，所以y＝3sin t＋10(0≤t≤24).
(例3答)
(2) 一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5 m是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度(船底与水面的距离)为8 m，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．
【解答】由题意得3sin t＋10－8≥3.5，即sin t≥.因为0≤t≤24，所以0≤t≤4π，所以≤t≤或＋2π≤t≤＋2π，解得1≤t≤5或13≤t≤17，所以该船舶公司的船在1:00至5:00和13:00至17:00进港是安全的.
根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题．
随堂内化及时评价
1. 若电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关系是I＝3sin 100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　A　)
A. s　 B. 50 s
C. s　 D. 100 s
2. 商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，“五一”某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在时间段________内人流量是增加的(　C　)
A. [0，5]　 B. [5，10]　　　　
C. [10，15]　 D. [15，20]
【解析】由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15] [3π，5π]，故选C.
3. 根据市场调查，某种商品一年内，每件出厂价在7千元的基础上按月呈f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9千元，9月份达到最低价5千元，则7月份的出厂价格为__6 000__元．
【解析】作出函数简图如图，三角函数模型为y＝A sin (ωx＋φ)＋B，由题意知A＝×
(9 000－5 000)＝2 000，B＝7 000，周期T＝2×(9－3)＝12，所以ω＝＝.将(3，9 000)看成“五点法”作函数图象时的第二个特殊点，则×3＋φ＝，所以φ＝0，故f(x)＝2 000×
sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)，故f(7)＝2 000×sin ＋7 000＝6 000(元).故7月份的出厂价格为6 000元.
(第3题答)
4. 某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：
(第4题)
(1) 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
【解答】根据题图可知，A＝3，T＝2×(3.2－1.2)＝4，根据T＝，可得f＝，所以振幅是3，周期是4，频率是.
(2) 写出这个简谐运动的函数解析式．
【解答】设简谐运动的函数解析式为y＝A cos (ωx＋φ)(ω>0)，根据(1)知A＝3，T＝4，由T＝，ω>0，可得ω＝，可得y＝3cos .根据中点坐标公式可求得B，C中点为(2.2，0)，可得y＝3cos 的一个顶点坐标为(2.2，－3)，故－3＝3cos ，可得×2.2＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)，所以y＝3cos ＝3cos .
配套新练案
一、 单项选择题
1. 智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声(如图)．已知噪声的声波曲线y＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为(　D　)
(第1题)
A. y＝sin x　 B. y＝cos x
C. y＝－sin x　 D. y＝－cos x
2. 根据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　A　)
A. f(x)＝2sin ＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B. f(x)＝9sin (1≤x≤12，x∈N*)
C. f(x)＝2sin x＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D. f(x)＝2sin ＋7(1≤x≤12，x∈N*)
3. 如图，弹簧上挂着一个小球做上下运动，小球在t s时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)由关系式h＝2sin ，t∈[0，＋∞)，φ∈(－π，π)确定．已知当t＝2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在t＝0时h的值为(　D　)
(第3题)
A. －2　 B. 2
C. －　 D.
【解析】当t＝2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，故×2＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z).又φ∈(－π，π)，故φ＝，所以h＝2sin ，当t＝0时，h＝
2sin ＝.
4. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图(1).由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(单位：m)和时间t(单位：s)的函数关系为y＝sin (ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π)，如图(2).若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置y0(－1图(1) 图(2)
(第4题)
A. s　 B. s
C. 1 s　 D. s
【解析】由题意得(t1＋t2)＝1，(t2＋t3)＝3，故函数y＝sin (ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π)的最小正周期为T＝2×(3－1)＝4，ω＝＝，可得y＝sin .令sin >0.5，得2kπ＋二、 多项选择题
5. 从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为正弦型曲线)．
(第5题)
体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期(前半个周期)和低潮期(后半个周期)，它们在一个周期内的表现如下表所示：
高潮期 低潮期
体力 体力充沛 疲倦乏力
情绪 心情愉快 心情烦躁
智力 思维敏捷 反应迟钝
如果同学甲从出生到今日的天数为5 860，那么今日同学甲(　BC　)
A. 体力充沛　 B. 疲倦乏力
C. 心情愉快　 D. 思维敏捷
【解析】由题图中数据可知体力的周期为T1＝23，情绪的周期为T2＝28，智力的周期为T3＝16.5×2＝33.同学甲从出生到今日的天数为5 860，故对于体力，有5 860＝23×254＋18，处于低潮期，疲倦乏力．对于情绪，有5 860＝28×209＋8，处于高潮期，心情愉快．对于智力，有5 860＝33×177＋19，处于低潮期，反应迟钝．故今日同学甲疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝．
6. 由物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移y与时间t(单位：s)的关系符合函数y＝A sin (ωt＋φ)(|ω|<100).从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片．已知连拍的间隔为0.01 s，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的，则小球正好处于平衡位置的所有照片的编号有(　BCD　)
(第6题)
A. 4　 B. 6
C. 12　 D. 18
【解析】因为仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片完全一样，则弹簧振子运动时的最小正周期为T＝12×0.01＝0.12＝ s，则ω＝＝，所以y＝A sin .由题意可知，A sin ＝A sin ，所以sin ＝sin ，则cos φ＋sin φ＝cos φ－sin φ，所以sin φ＝0，则φ＝mπ(m∈Z)，则y＝A sin ，令y＝0，可得＋mπ＝nπ(m，n∈Z)，所以t＝(n－m)，令k＝n－m∈Z，则t＝k(k∈Z).由0<≤，可得0三、 填空题
7. 国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝A sin ＋60(单位：美元)，A>0，ω>0.现采集到下列信息：最高油价为80美元，当t＝150(单位：天)时达到最低油价，则ω的最小值为____．
【解析】因为最高油价为80美元，所以A＝20.当t＝150天时达到最低油价，即
sin ＝－1，此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z.因为ω＞0，所以令k＝1，得150ωπ＋＝2π－，解得ω＝，故ω的最小值为.
8. 如图是某地夏天从8～14时用电量变化的曲线，其近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b.
(第8题)
(1) 这一天的最大用电量为__50__万度，最小用电量为__30__万度；
(2) 这段曲线的函数解析式为__y＝10sin ＋40，x∈[8，14]__．
【解析】由图知，最大用电量为50，最小用电量为30，故解得又＝14－8＝6，所以ω＝＝，故y＝10sin ＋40.当x＝8时，y＝30，所以sin ＝－1，所以φ＝＋2kπ，k∈Z，故y＝10sin ＋40，x∈[8，14].
四、 解答题
9. 已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin ＋20，x∈[4，16].
(1) 求该地区这一段时间内的最大温差；
【解答】由函数易知，ymax＝30，即最高温度为30℃，ymin＝10，即最低温度为10℃，所以最大温差为20 ℃.
(2) 若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？
【解答】令10sin ＋20＝15，得sin ＝－，因为x∈[4，16]，所以x＝.令10sin ＋20＝25，得sin ＝，因为x∈[4，16]，所以x＝.故该细菌能存活的最长时间为－＝(h).
10. 风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100 m，叶片长40 m．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5 s旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t s后离地面的距离为h m，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为h(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π).
(第10题)
(1) 求函数h(t)的解析式；
【解答】如图建立平面直角坐标系，则由题意得ω＝，当t＝0时，h(0)＝60，故解得所以h(t)＝40sin ＋100(0≤t≤5).
(第10题答)
(2) 当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80 m的时长．
【解答】令h(t)≥80，则h(t)＝40sin ＋100≥80，即cos t≤，所以≤t≤，解得≤t≤.因为－＝.所以当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，点P离地面的高度不低于80 m的时长为 s．
11. “广佛之眼”摩天轮半径为50 m，成为佛山地标建筑之一，被称作天空之眼摩天轮．如图，圆心O距地面的高度为60 m，已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15 min转动一圈，游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱，则游客进舱10 min时他距离地面的高度为__85__m.
(第11题)
【解析】因为摩天轮的半径为50 m，圆心O距地面的高度为60 m，设在t min时，距离地面的高度为h(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0)，其中－π<φ<π，则解得则h(t)＝60＋50sin (ωt＋φ).由于摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15 min转动一圈，可得＝15，所以ω＝，即h(t)＝60＋50sin .当t＝0时，可得60＋50sin φ＝10，即sin φ＝－1.因为－π<φ<π，解得φ＝－，所以h(t)＝60＋50sin ＝60－
50cos .令t＝10，可得h(t)＝60－50cos ＝60＋25＝85，所以游客进舱10 min时他距离地面的高度为85 m．
12. (多选)在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点P(x0，y0)，且|OP|＝r(r>0)，定义：sos θ＝，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于正余弦函数f(x)＝sos θ，有同学得到以下性质，其中正确的是(　AD　)
A. f(x)的值域为[－，]
B. f(x)的图象关于点中心对称
C. f(x)的图象关于直线x＝对称
D. f(x)为周期函数，且最小正周期为2π
【解析】由三角函数的定义可知x0＝r cos x，y0＝r sin x，所以f(x)＝sos x＝＝sin x＋cos x＝sin .对于A，由sin ∈[－1，1]，则f(x)＝×sin ∈[－，]，故A正确；对于B，f＝sin ＝≠0，所以f(x)的图象不关于点中心对称，故B错误；对于C，当x＝时，f＝sin ＝sin π＝0≠±，所以f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误；对于D，由于f(x)＝sin ，则f(x)为周期函数，且最小正周期为2π，故D正确．5.7　三角函数的应用
学习 目标 1. 了解y＝A sin (ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相． 2. 能用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P242—P248，完成下列填空．
1. 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，各参数的物理意义
振幅 A
周期 T＝
频率 f＝
相位 ωx＋φ
2. 应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势，确定它的周期，从而建立起适当的三角函数模型，解决问题的一般程序如下：
(1) 审题，先审清楚题目条件、要求、理解数学关系．
(2) 建模，分析题目特性，选择适当的三角函数模型．
(3) 求解，对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论．
(4) 还原，把数学结论还原为实际问题的解答．
典例精讲能力初成
探究1　三角函数在物理学中的应用
例1　音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器，如图(1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系式为y＝sin ωt.如图(2)是该函数在一个周期内的图象，则ω＝(　 　)
图(1) 图(2)
(例1)　　　　
A. 200　 B. 400
C. 200π　 D. 400π
(1) 三角函数常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性；
(2) 明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
变式　一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式是s＝3cos ，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝(　 　)
A. cm　 B. cm
C. cm　 D. cm
探究2　三角函数在实际生活中的应用
(课本P245例1)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝
A sin (ωx＋φ)＋b.
(例2)
(1) 求这一天6～14时的最大温差；
(2) 写出这段曲线的函数解析式．
解三角函数应用问题的基本步骤
变式　通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1) 求出该地区该时段的温度函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，|φ|＜π，x∈[0，24))的表达式；
(2) 29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
探究3　利用数据建立拟合函数模型
例3　“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y(单位：m)与时间t(单位：h，0≤t≤24)的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1
该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．
(1) 试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；
(2) 一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5 m是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度(船底与水面的距离)为8 m，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．
根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题．
随堂内化及时评价
1. 若电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关系是I＝3sin 100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　 　)
A. s　 B. 50 s
C. s　 D. 100 s
2. 商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，“五一”某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在时间段________内人流量是增加的(　 　)
A. [0，5]　 B. [5，10]　　　　
C. [10，15]　 D. [15，20]
3. 根据市场调查，某种商品一年内，每件出厂价在7千元的基础上按月呈f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9千元，9月份达到最低价5千元，则7月份的出厂价格为 元．
4. 某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：
(第4题)
(1) 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
(2) 写出这个简谐运动的函数解析式．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声(如图)．已知噪声的声波曲线y＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为(　 　)
(第1题)
A. y＝sin x　 B. y＝cos x
C. y＝－sin x　 D. y＝－cos x
2. 根据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　 　)
A. f(x)＝2sin ＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B. f(x)＝9sin (1≤x≤12，x∈N*)
C. f(x)＝2sin x＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D. f(x)＝2sin ＋7(1≤x≤12，x∈N*)
3. 如图，弹簧上挂着一个小球做上下运动，小球在t s时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)由关系式h＝2sin ，t∈[0，＋∞)，φ∈(－π，π)确定．已知当t＝2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在t＝0时h的值为(　 　)
(第3题)
A. －2　 B. 2 C. －　 D.
4. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图(1).由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(单位：m)和时间t(单位：s)的函数关系为y＝sin (ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π)，如图(2).若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置y0(－1图(1) 图(2)
(第4题)
A. s　 B. s
C. 1 s　 D. s
二、 多项选择题
5. 从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为正弦型曲线)．
(第5题)
体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期(前半个周期)和低潮期(后半个周期)，它们在一个周期内的表现如下表所示：
高潮期 低潮期
体力 体力充沛 疲倦乏力
情绪 心情愉快 心情烦躁
智力 思维敏捷 反应迟钝
如果同学甲从出生到今日的天数为5 860，那么今日同学甲(　 　)
A. 体力充沛　 B. 疲倦乏力
C. 心情愉快　 D. 思维敏捷
6. 由物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移y与时间t(单位：s)的关系符合函数y＝A sin (ωt＋φ)(|ω|<100).从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片．已知连拍的间隔为0.01 s，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的，则小球正好处于平衡位置的所有照片的编号有(　 　)
(第6题)
A. 4　 B. 6
C. 12　 D. 18
三、 填空题
7. 国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝A sin ＋60(单位：美元)，A>0，ω>0.现采集到下列信息：最高油价为80美元，当t＝150(单位：天)时达到最低油价，则ω的最小值为 ．
8. 如图是某地夏天从8～14时用电量变化的曲线，其近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b.
(第8题)
(1) 这一天的最大用电量为 万度，最小用电量为 万度；
(2) 这段曲线的函数解析式为 ．
四、 解答题
9. 已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin ＋20，x∈[4，16].
(1) 求该地区这一段时间内的最大温差；
(2) 若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？
10. 风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100 m，叶片长40 m．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5 s旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t s后离地面的距离为h m，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为h(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π).
(第10题)
(1) 求函数h(t)的解析式；
(2) 当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80 m的时长．
11. “广佛之眼”摩天轮半径为50 m，成为佛山地标建筑之一，被称作天空之眼摩天轮．如图，圆心O距地面的高度为60 m，已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15 min转动一圈，游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱，则游客进舱10 min时他距离地面的高度为 m.
(第11题)
12. (多选)在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点P(x0，y0)，且|OP|＝r(r>0)，定义：sos θ＝，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于正余弦函数f(x)＝sos θ，有同学得到以下性质，其中正确的是( 　)
A. f(x)的值域为[－，]
B. f(x)的图象关于点中心对称
C. f(x)的图象关于直线x＝对称
D. f(x)为周期函数，且最小正周期为2π(共49张PPT)
第五章 三角函数
5.7　三角函数的应用
学习 目标 1. 了解y＝A sin (ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．
2. 能用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．
新知初探 基础落实
请同学阅读课本P242—P248，完成下列填空．
1. 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，各参数的物理意义
它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离
它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间
它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数
x＝0时的相位φ称为初相
2. 应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势，确定它的周期，从而建立起适当的三角函数模型，解决问题的一般程序如下：
(1) 审题，先审清楚题目条件、要求、理解数学关系．
(2) 建模，分析题目特性，选择适当的三角函数模型．
(3) 求解，对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论．
(4) 还原，把数学结论还原为实际问题的解答．
典例精讲 能力初成
探究
1
三角函数在物理学中的应用
1
D
(1) 三角函数常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性；
(2) 明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
变式　
D
探究
　　　(课本P245例1)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝
A sin (ωx＋φ)＋b.
(1) 求这一天6～14时的最大温差；
2
三角函数在实际生活中的应用
2
【解答】由题图可知，这段时间的最大温差是20℃.
(课本P245例1)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b.
(2) 写出这段曲线的函数解析式．
解三角函数应用问题的基本步骤
变式　
　　　通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1) 求出该地区该时段的温度函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，|φ|＜π，x∈[0，24))的表达式；
通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(2) 29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
探究
　　　“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y(单位：m)与时间t(单位：h，0≤t≤24)的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：
3
利用数据建立拟合函数模型
3
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1
该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．
(1) 试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1
(2) 一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5 m是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度(船底与水面的距离)为8 m，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．
根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题．
随堂内化 及时评价
A
C
6 000
4. 某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：
(1) 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
4. 某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：
(2) 写出这个简谐运动的函数解析式．
配套新练案
D
A
D
4. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图(1).由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(单位：m)和时间t(单位：s)的函数关系为y＝sin (ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π)，如图(2).若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置y0(－1【答案】D
二、 多项选择题
5. 从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为正弦型曲线)．
体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期(前半个周期)和低潮期(后半个周期)，它们在一个周期内的表现如下表所示：
高潮期 低潮期
体力 体力充沛 疲倦乏力
情绪 心情愉快 心情烦躁
智力 思维敏捷 反应迟钝
如果同学甲从出生到今日的天数为5 860，那么今日同学甲 (　　)
A. 体力充沛　 B. 疲倦乏力
C. 心情愉快　 D. 思维敏捷
【解析】由题图中数据可知体力的周期为T1＝23，情绪的周期为T2＝28，智力的周期为T3＝16.5×2＝33.同学甲从出生到今日的天数为5 860，故对于体力，有5 860＝23×254＋18，处于低潮期，疲倦乏力．对于情绪，有5 860＝28×209＋8，处于高潮期，心情愉快．对于智力，有5 860＝33×177＋19，处于低潮期，反应迟钝．故今日同学甲疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝．
高潮期 低潮期
体力 体力充沛 疲倦乏力
情绪 心情愉快 心情烦躁
智力 思维敏捷 反应迟钝
【答案】BC
6. 由物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移y与时间t(单位：s)的关系符合函数y＝A sin (ωt＋φ)(|ω|<100).从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片．已知连拍的间隔为0.01 s，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的，则小球正好处于平衡位置的所有照片的编号有 (　　)
A. 4　 B. 6
C. 12　 D. 18
【答案】BCD
8. 如图是某地夏天从8～14时用电量变化的曲线，其近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b.
(1) 这一天的最大用电量为_____万度，最小用电量为_____万度；
8. 如图是某地夏天从8～14时用电量变化的曲线，其近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b.
(2) 这段曲线的函数解析式为_________________．
【解答】由函数易知，ymax＝30，即最高温度为30℃，ymin＝10，即最低温度为10℃，所以最大温差为20 ℃.
(1) 求函数h(t)的解析式；
(2) 当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80 m的时长．
11. “广佛之眼”摩天轮半径为50 m，成为佛山地标建筑之一，被称作天空之眼摩天轮．如图，圆心O距地面的高度为60 m，已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15 min转动一圈，游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱，则游客进舱10 min时他距离地面的高度为_____m.
【答案】85
【答案】AD

展开更多......

收起↑