资源简介

微专题6　三角函数中ω的取值范围问题
典例剖析素养初现
拓展1　三角函数的周期T与ω的关系
例1　若函数y＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　 　)
A. 98π　 B. π
C. π　 D. 100π
拓展2　三角函数的单调性、最值与ω的关系
例2-1　已知函数f(x)＝sin (ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　 　)
A. [2，5]　 B. [1，14]
C. [9，10]　 D. [10，11]
已知f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)在给定区间[x1，x2]上的单调性，求ω的取值范围：
①根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T，解得0＜ω≤；②以单调递增为例，利用[ωx1＋φ，ωx2＋φ] (k∈Z)，解得ω的范围；③结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω(不含参数)的取值范围．
例2-2　已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，若f为奇函数，f为偶函数，且f(x)在上没有最小值，则ω的最大值是(　 　)
A. 14　 B. 10
C. 7　 D. 6
最值与“ω”结合的问题，可以画出简图，利用三角函数的最值或周期，列出关于ω的不等式，通过解不等式求参数的最值或范围．
变式　若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是 ．
拓展3　三角函数的对称性与ω的关系
例3　若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为(　 　)
A. (5，8)　 B. (5，8]
C. (5，11]　 D. [5，11)
若已知三角函数的对称性(奇偶性)，则根据三角函数的对称性(奇偶性)研究其周期性，进而运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而求出ω的取值范围．
变式　(1) 已知f(x)＝sin ωx－cos ωx，若f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是 ．
(2) 已知f(x)＝2sin ωx在上的最小值为－2，则ω的取值范围是 ．
拓展4　三角函数的零点与ω的关系
例4　已知函数f(x)＝sin2＋sinωx－(ω>0)，x∈R.若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是(　 　)
A. 　 B. ∪
C. 　 D. ∪
已知零点个数求ω的取值范围：对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关；若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值．
随堂内化及时评价
1. 若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)的两个相邻的最值点，则ω等于(　 　)
A. 2　 B. C. 1　 D.
2. 已知ω＞0，f(x)＝sin 在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　 　)
A. 　 B. 　　　　
C. 　 D. (0，2]
3. 已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝ ．
(第3题)
4. 若x＝是函数f(x)＝sin (x∈R)的一个零点，且0＜ω＜10，则函数f(x)的最小正周期为 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知直线x＝是f(x)＝sin2＋sinωx－(0<ω≤8)图象的一条对称轴，则ω等于(　 　)
A. 2　 B. 4
C. 6　 D. 8
2. (2025·宿迁期末)已知函数f(x)＝tan (ω>0)，若f(x)在区间(0，π)上单调递增，则ω的取值范围为(　 　)
A. 　 B.
C. 　 D.
3. 若函数f(x)＝sin ωx＋cos x的最大值为2，则常数ω的取值可以为(　 　)
A. 1　 B.
C. 　 D.
4. 已知函数f(x)＝sin (ω>0)的图象关于点中心对称，且f(x)在上单调，则ω的取值集合为(　 　)
A. {2}　 B. {8}
C. {2，8}　 D. {2，8，14}
二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝sin ，则下列说法正确的是(　 　)
A. f(x)在上单调递增
B. 若f(x1)＝f(x2)＝，则x2－x1＝，k∈Z
C. 函数f(x)的图象可以由y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到
D. 若函数y＝f(ω>0)在上恰有两个最大值点，则ω∈(7，13]
6. 已知函数f(x)＝2sin (ω>0)，若方程f(x)＝1在区间[0，2π]上恰有3个实根，则ω的取值可能是(　 　)
A. 　 B. 1
C. 　 D.
三、 填空题
7. 若函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)在x＝处取得最大值，且f(x)的图象在(0，π)上有4个对称中心，则ω的取值范围为 ．
8. 已知f(x)＝sin (ω>0)在区间上单调递增，且存在唯一x0∈，使得f(x0)＝1，则ω的取值范围为 ．
9. 已知函数f(x)＝sin (ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f(x)在上没有最小值，则ω＝ ．
10. 已知f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)满足f＝1，f＝0，且f(x)在上单调，则ω的最大值为 ．微专题6　三角函数中ω的取值范围问题
典例剖析素养初现
拓展1　三角函数的周期T与ω的关系
例1　若函数y＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　B　)
A. 98π　 B. π
C. π　 D. 100π
【解析】由题意，至少出现50次最大值，即至少需有49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.
拓展2　三角函数的单调性、最值与ω的关系
例2-1　已知函数f(x)＝sin (ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　D　)
A. [2，5]　 B. [1，14]
C. [9，10]　 D. [10，11]
【解析】当x∈时，ωx＋∈，因为f(x)在上单调递增，所以(k∈Z)，解得(k∈Z)，又ω>0，所以解得已知f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)在给定区间[x1，x2]上的单调性，求ω的取值范围：
①根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T，解得0＜ω≤；②以单调递增为例，利用[ωx1＋φ，ωx2＋φ] (k∈Z)，解得ω的范围；③结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω(不含参数)的取值范围．
例2-2　已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，若f为奇函数，f为偶函数，且f(x)在上没有最小值，则ω的最大值是(　D　)
A. 14　 B. 10
C. 7　 D. 6
【解析】依题意，f＝sin ＝sin ，由f为奇函数，得－ω＋φ＝k1π，k1∈Z①.f＝sin ＝sin ，由f为偶函数，得ω＋φ＝＋k2π，k2∈Z②.由①②两式相加得φ＝＋π，而|φ|<，则φ＝或φ＝－.当φ＝时，－ω＋＝k1π，k1∈Z，且ω＋＝＋k2π，k2∈Z，则ω＝2－8k1，k1∈Z，且ω＝2＋8k2，k2∈Z，而ω>0，因此ω＝2＋8k，k∈N，当x∈时，ωx＋∈，由f(x)在上没有最小值，得ω＋≤，0<ω≤，此时k＝0，ωmax＝2；当φ＝－时，－ω－＝k1π，k1∈Z，且ω－＝＋k2π，k2∈Z，则ω＝－2－8k1＝6－8(k1＋1)，k1∈Z，且ω＝6＋8k2，k2∈Z，而ω>0，因此ω＝6＋8k，k∈N，当x∈时，ωx－∈，由f(x)在上没有最小值，得ω－≤，0<ω≤，此时k＝0，ωmax＝6，所以ω的最大值是6.
最值与“ω”结合的问题，可以画出简图，利用三角函数的最值或周期，列出关于ω的不等式，通过解不等式求参数的最值或范围．
变式　若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是__∪__．
【解析】由题知2kπ－≤ωx≤2kπ＋(k∈Z)，即≤x≤(k∈Z)，故 (k∈Z).依题易知k≥0，当k＝0时，≤，解得ω∈.当k＝1时，解得ω∈.当k＝2时，此时ω不存在．同理，易知当k＞2时，ω不存在．综上，ω∈∪.
拓展3　三角函数的对称性与ω的关系
例3　若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为(　B　)
A. (5，8)　 B. (5，8]
C. (5，11]　 D. [5，11)
【解析】由题意，函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin ，因为x∈，所以＜ωx＋＜(1＋ω)，要使得函数f(x)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足π＜(1＋ω)≤，解得5＜ω≤8，所以ω的取值范围为(5，8].
若已知三角函数的对称性(奇偶性)，则根据三角函数的对称性(奇偶性)研究其周期性，进而运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而求出ω的取值范围．
变式　(1) 已知f(x)＝sin ωx－cos ωx，若f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是____．
【解析】f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin ，令ωx－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z).当k＝0时，≤π，即≤ω；当k＝1时，＋≥2π，即ω≤.综上，≤ω≤.
(2) 已知f(x)＝2sin ωx在上的最小值为－2，则ω的取值范围是__ω≤－2或ω≥}__．
【解析】显然ω≠0，分两种情况：若ω＞0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω.因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.若ω＜0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2.综上所述，ω≤－2或ω≥.
拓展4　三角函数的零点与ω的关系
例4　已知函数f(x)＝sin2＋sinωx－(ω>0)，x∈R.若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是(　D　)
A. 　 B. ∪
C. 　 D. ∪
【解析】由题设有f(x)＝＋sin ωx－＝sin ，令f(x)＝0，则有ωx－＝kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z.因为f(x)在区间(π，2π)内没有零点，故存在整数k，使得≤π<2π≤，即因为ω>0，所以k≥－1且k＋≤＋，故k＝－1或k＝0，所以0<ω≤或≤ω≤.
已知零点个数求ω的取值范围：对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关；若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值．
随堂内化及时评价
1. 若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)的两个相邻的最值点，则ω等于(　A　)
A. 2　 B.
C. 1　 D.
【解析】因为x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)的两个相邻的最值点，所以T＝2＝π＝，所以ω＝2.
2. 已知ω＞0，f(x)＝sin 在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　A　)
A. 　 B. 　　　　
C. 　 D. (0，2]
【解析】由≤x≤π，得ω＋≤ωx＋≤πω＋，由题意 (k∈Z).当k＝0时，由得≤ω≤.
3. 已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝__－．
(第3题)
【解析】由题意可得T＝－＝，所以ω＝＝2.当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z).则f(x)＝2cos＝2cos ，f＝2cos ＝2cos ＝－.
4. 若x＝是函数f(x)＝sin (x∈R)的一个零点，且0＜ω＜10，则函数f(x)的最小正周期为__π__．
【解析】依题意知f ＝sin ＝0，即－＝kπ，k∈Z，整理得ω＝8k＋2，k∈Z.又因为0＜ω＜10，所以0＜8k＋2＜10，得－＜k＜1.而k∈Z，所以k＝0，ω＝2，所以f(x)＝sin ，最小正周期为π.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知直线x＝是f(x)＝sin2＋sinωx－(0<ω≤8)图象的一条对称轴，则ω等于(　B　)
A. 2　 B. 4
C. 6　 D. 8
2. (2025·宿迁期末)已知函数f(x)＝tan (ω>0)，若f(x)在区间(0，π)上单调递增，则ω的取值范围为(　A　)
A. 　 B.
C. 　 D.
【解析】当00，则－<ωx－<πω－，因为f(x)＝tan 在区间(0，π)上单调递增，则 ，所以解得0<ω≤，因此ω的取值范围为.
3. 若函数f(x)＝sin ωx＋cos x的最大值为2，则常数ω的取值可以为(　D　)
A. 1　 B.
C. 　 D.
【解析】因为函数y＝cos x的最大值为1，y＝sin ωx的最大值为1，由题意可知，y＝cos x取得最大值1时，y＝sin ωx也取得最大值1，即当x＝2kπ，k∈Z时，ω·2kπ＝＋2k′π，k，k′∈Z，解得ω＝＋，k，k′∈Z，k≠0.当k＝1，k′＝0时，ω＝，其他选项的值不满足等式．
4. 已知函数f(x)＝sin (ω>0)的图象关于点中心对称，且f(x)在上单调，则ω的取值集合为(　C　)
A. {2}　 B. {8}
C. {2，8}　 D. {2，8，14}
【解析】因为f(x)的图象关于点中心对称，所以sin ＝0，所以ω－＝kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z①.由0二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝sin ，则下列说法正确的是(　BD　)
A. f(x)在上单调递增
B. 若f(x1)＝f(x2)＝，则x2－x1＝，k∈Z
C. 函数f(x)的图象可以由y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到
D. 若函数y＝f(ω>0)在上恰有两个最大值点，则ω∈(7，13]
【解析】令－<2x＋<，则－6. 已知函数f(x)＝2sin (ω>0)，若方程f(x)＝1在区间[0，2π]上恰有3个实根，则ω的取值可能是(　BC　)
A. 　 B. 1
C. 　 D.
【解析】由f(x)＝1，得sin ＝，解得ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋，k∈Z，当x∈[0，2π]时，ωx＋∈，则ωx＋的可能取值为，，，，…，由f(x)＝1在[0，2π]上恰有3个实根，得≤2ωπ＋<，解得1≤ω<，所以ω的取值范围是，结合选项知ω的取值可能是1，.
三、 填空题
7. 若函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)在x＝处取得最大值，且f(x)的图象在(0，π)上有4个对称中心，则ω的取值范围为__(3，5]__．
【解析】依题知2sin ＝2，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝2sin ＝2cos .因为ω>0，所以当x∈时，ω∈，依题知<≤，解得3<ω≤5.
8. 已知f(x)＝sin (ω>0)在区间上单调递增，且存在唯一x0∈，使得f(x0)＝1，则ω的取值范围为____．
【解析】令2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤ωx≤2kπ＋(k∈Z).因为f(x)在上单调递增，所以k∈Z，则k∈Z.又ω＞0，所以0＜ω≤.又存在唯一x0∈，使得f(x0)＝1，而此时ωx0＋∈，所以≤＋＜，解得≤ω＜.综上，≤ω≤.
9. 已知函数f(x)＝sin (ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f(x)在上没有最小值，则ω＝__2__．
【解析】由f(x)＝sin (ω>0)的图象关于直线x＝对称，得＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝2＋8k，k∈Z.当x∈时，ωx＋∈.因为f(x)在上没有最小值，所以＋≤，ω≤.又ω＝2＋8k，k∈Z，所以ω＝2.
10. 已知f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)满足f＝1，f＝0，且f(x)在上单调，则ω的最大值为____．
【解析】因为f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)满足f＝1，f＝0，所以－＝＋(n∈N)，即T＝(n∈N)，所以ω＝(n∈N).因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤，所以当n＝1时ω最大，最大值为.(共35张PPT)
第五章 三角函数
微专题6　三角函数中ω的取值范围问题
典例剖析 素养初现
1
三角函数的周期T与ω的关系
拓展
1
B
三角函数的单调性、最值与ω的关系
拓展
2
2－1
【答案】D
已知f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)在给定区间[x1，x2]上的单调性，求ω的取值范围：
2－2
【答案】D
最值与“ω”结合的问题，可以画出简图，利用三角函数的最值或周期，列出关于ω的不等式，通过解不等式求参数的最值或范围．
变式　
3
三角函数的对称性与ω的关系
拓展
3
B
若已知三角函数的对称性(奇偶性)，则根据三角函数的对称性(奇偶性)研究其周期性，进而运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而求出ω的取值范围．
变式　
4
三角函数的零点与ω的关系
拓展
4
【答案】D
已知零点个数求ω的取值范围：对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关；若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值．
随堂内化 及时评价
A
A
π
配套新练案
B
A
D
C
【答案】BD
BC
(3，5]
2

展开更多......

收起↑