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章复习　能力整合与素养提升
要点梳理系统整合
1. 三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质 同角三角函数关系 sin2α＋cos2α＝1，＝tan α
诱导公式 360°±α，180°±α，－α，90°±α，270°±α，“奇变偶不变，符号看象限”
性质 周期 奇偶性 对称中心 对称轴
y＝ A sin (ωx＋φ) T＝ 非奇非偶函数 (k∈Z) x＝ (k∈Z)
y＝ A cos (ωx＋φ) T＝ 非奇非偶函数 (k∈Z) x＝(k∈Z)
y＝tan x T＝ 奇函数 (k∈Z) 无
图象变换 平移变换 上下 平移 y＝f(x)图象向上或向下平移|k|个单位长度得y＝f(x)＋k图象，k>0向上，k<0向下
左右 平移 y＝f(x)图象向左或向右平移|φ|个单位长度得y＝f(x＋φ)图象，φ>0向左，φ<0向右
伸缩变换 x轴方向 将y＝f(x)图象各点横坐标变为原来的ω倍，得y＝f的图象
y轴方向 将y＝f(x)图象各点纵坐标变为原来的A倍，得y＝Af(x)的图象
2. 三角恒等变换
三角恒等变换 和差角公式 倍角公式 sin2α＝ cos2α＝ sin2α＝ cos2α＝
正弦 sin (α±β)＝sin αcos β± cos αsin β sin 2α＝2sin αcos α
余弦 cos (α±β)＝cos αcos β sin αsin β cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
正切 tan(α±β)＝ tan 2α＝
引入 辅助角 a sin α＋b cos α＝＝sin (α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，tan φ＝
考法聚焦素养养成
考法1　三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
例1　已知f(α)＝.
(1) 化简f(α)；
(2) 已知－<α<，f(α)＝，求tan α.
【题组训练】
1. 已知角θ终边经过点(3，－4)，则＝(　 　)
A. 　 B.
C. －　 D. －
2. 已知2sin α＝cos α，则＝(　 　)
A. 4　 B. －4
C. －3　 D. 3
3. 已知sin α＋cos α＝，且α∈(0，π)，则sin α－cos α的值为(　 　)
A. －　 B. －
C. 　 D. 或－
4. 已知α为第二象限角，cos －2sin (π＋α)＝，则cos α＝ ．
考法2　三角函数的图象与性质
例2　设函数f(x)＝sin＋sin ，其中0<ω<3，且f＝0.
(1) 求ω的值；
(2) 将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
【题组训练】
1. 函数y＝sin 的值域为(　 　)
A. [0，1]　 B.
C. 　 D.
2. 已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　 　)
(第2题)
A. ω＝，φ＝　 B. ω＝，φ＝－
C. ω＝2，φ＝　 D. ω＝2，φ＝－
3. 把函数f(x)＝sin 的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位长度可以得到函数g(x)的图象，若g(x)是偶函数，则φ的值为(　 　)
A. 　 B.
C. 或　 D. 或
4. (2024·新高考Ⅱ卷)(多选)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　 　)
A. f(x)与g(x)有相同的零点
B. f(x)与g(x)有相同的最大值
C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D. f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
考法3　三角函数的化简与求值
例3　已知α为锐角，cos ＝.
(1) 求tan 的值；
(2) 求sin 的值．
【题组训练】
1. 已知sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝，那么cos 2β的值为(　 　)
A. 　 B.
C. －　 D. －
2.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2，1)，则tan ＝(　 　)
A. －7　 B. －
C. 　 D. 7
3. 如图，单位圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α.若BC＝1，则cos2－sincos －的值为(　 　)
(第3题)
A. 　 B.
C. －　 D. －
考法4　三角函数中的新定义题
例4　英国数学家泰勒发现了如下公式：sin x＝x－＋－＋…，cos x＝1－＋－＋…，其中n！＝1×2×3×4×…×n.已知a＝sin ，b＝cos ，则下列说法正确的是(　 　)
A. ab
C. a＝b　 D. 无法判断二者大小
变式　公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割．在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec (角)表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc (角)表示．则csc 20°－sec 20°＝(　 　)
A. 　 B. 2
C. 4　 D. 8章复习　能力整合与素养提升
要点梳理系统整合
1. 三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质 同角三角 函数关系 sin2α＋cos2α＝1，＝tan α
诱导公式 360°±α，180°±α，－α，90°±α，270°±α，“奇变偶不变，符号看象限”
性质 周期 奇偶性 对称中心 对称轴
y＝A sin (ωx＋φ) T＝ 非奇非偶 函数 (k∈Z) x＝ (k∈Z)
y＝A cos (ωx＋φ) T＝ 非奇非偶 函数 (k∈Z) x＝(k∈Z)
y＝tan x T＝ 奇函数 (k∈Z) 无
图象变换 平移变换 上下平移 y＝f(x)图象向上或向下平移|k|个单位长度得y＝f(x)＋k图象，k>0向上，k<0向下
左右平移 y＝f(x)图象向左或向右平移|φ|个单位长度得y＝f(x＋φ)图象，φ>0向左，φ<0向右
伸缩变换 x轴方向 将y＝f(x)图象各点横坐标变为原来的ω倍，得y＝f的图象
y轴方向 将y＝f(x)图象各点纵坐标变为原来的A倍，得y＝Af(x)的图象
2. 三角恒等变换
三角恒等变换 和差角公式 倍角公式 sin2α＝ cos2α＝ sin2α＝ cos2α＝
正弦 sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β sin 2α＝2sin αcos α
余弦 cos (α±β)＝cos αcos β sin αsin β cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
正切 tan(α±β)＝ tan 2α＝
引入 辅助角 a sin α＋b cos α＝＝sin (α＋φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝，tan φ＝
考法聚焦素养养成
考法1　三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
例1　已知f(α)＝.
(1) 化简f(α)；
【解答】f(α)＝＝＝cos α.
(2) 已知－<α<，f(α)＝，求tan α.
【解答】因为f(α)＝，所以cos α＝.当0<α<时，sin α＝＝，所以tanα＝＝；当－<α<0时，sin α＝－＝－，所以tanα＝＝－.综上，tan α＝±.
【题组训练】
1. 已知角θ终边经过点(3，－4)，则＝(　A　)
A. 　 B.
C. －　 D. －
【解析】因为角θ终边经过点(3，－4)，所以tan θ＝－，则＝＝－＝.
2. 已知2sin α＝cos α，则＝(　C　)
A. 4　 B. －4
C. －3　 D. 3
【解析】因为2sin α＝cos α，所以tan α＝＝，所以＝＝＝－3.
3. 已知sin α＋cos α＝，且α∈(0，π)，则sin α－cos α的值为(　C　)
A. －　 B. －
C. 　 D. 或－
【解析】将sin α＋cos α＝两边同时平方可得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝，可得
sin α·cos α＝－.又α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0.易知(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝，可得sin α－cos α＝±.又sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α＝.
4. 已知α为第二象限角，cos －2sin (π＋α)＝，则cos α＝__－__．
【解析】因为cos －2sin (π＋α)＝sin α＋2sin α＝3sin α＝，所以sin α＝.因为α为第二象限角，所以cos α＝－＝－.
考法2　三角函数的图象与性质
例2　设函数f(x)＝sin＋sin ，其中0<ω<3，且f＝0.
(1) 求ω的值；
【解答】因为f(x)＝sin ＋sin ＝sin ωx－cos ωx－cos ωx＝sin ωx－cos ωx＝＝sin .由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z，故ω＝6k＋2，k∈Z.又0<ω<3，所以ω＝2.
(2) 将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
【解答】由(1)得f(x)＝sin ，所以g(x)＝sin ＝sin .因为x∈，所以x－∈，当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.
【题组训练】
1. 函数y＝sin 的值域为(　C　)
A. [0，1]　 B.
C. 　 D.
【解析】由0≤x≤，得≤2x＋≤，则y＝sin ∈
2. 已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　C　)
(第2题)
A. ω＝，φ＝　 B. ω＝，φ＝－
C. ω＝2，φ＝　 D. ω＝2，φ＝－
【解析】由图象知T＝－＝，即T＝π，则ω＝＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋φ).因为点在f(x)的图象上，所以2×＋φ＝2kπ＋π，即φ＝2kπ＋，因为<，所以φ＝.
3. 把函数f(x)＝sin 的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位长度可以得到函数g(x)的图象，若g(x)是偶函数，则φ的值为(　D　)
A. 　 B.
C. 或　 D. 或
【解析】把函数f(x)＝sin 的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位长度，可以得到函数g(x)＝sin 的图象，若g(x)是偶函数，则2φ－＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，所以分别令k＝0，k＝1，可得φ＝，φ＝.
4. (2024·新高考Ⅱ卷)(多选)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　BC　)
A. f(x)与g(x)有相同的零点
B. f(x)与g(x)有相同的最大值
C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D. f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
【解析】对于A，令f(x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)＝sin ＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x)，g(x)零点不同，A错误；对于B，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B正确；对于C，根据周期公式，f(x)，g(x)的周期均为＝π，C正确；对于D，根据正弦函数的性质知f(x)的对称轴满足2x＝kπ＋，解得x＝＋，k∈Z，g(x)的对称轴满足2x－＝kπ＋，解得x＝＋，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D错误．
考法3　三角函数的化简与求值
例3　已知α为锐角，cos ＝.
(1) 求tan 的值；
【解答】因为α∈，所以α＋∈，所以sin ＝＝，所以tan＝＝2.
(2) 求sin 的值．
【解答】因为sin ＝sin ＝2sin cos ＝，cos ＝cos ＝2cos2－1＝－，所以sin＝sin ＝sin ·
cos －cos sin ＝.
【题组训练】
1. 已知sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝，那么cos 2β的值为(　A　)
A. 　 B.
C. －　 D. －
【解析】因为sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝sin [(α－β)－α]＝sin (－β)＝，所以sin β＝－，cos 2β＝1－2sin2β＝.
2.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2，1)，则tan ＝(　A　)
A. －7　 B. －
C. 　 D. 7
【解析】由角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2，1)，可得x＝2，y＝1，tan α＝＝，所以tan 2α＝＝＝，所以tan＝＝＝－7.
3. 如图，单位圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α.若BC＝1，则cos2－sincos －的值为(　B　)
(第3题)
A. 　 B.
C. －　 D. －
【解析】因为点B的坐标为，设∠AOB＝θ，所以sin (2π－θ)＝－，cos (2π－θ)＝，即sin θ＝，cos θ＝.因为∠AOC＝α，BC＝1，所以θ＋α＝，则α＝－θ，则cos2－sincos －＝cos α－sin α＝cos ＝cos ＝sin θ＝.
考法4　三角函数中的新定义题
例4　英国数学家泰勒发现了如下公式：sin x＝x－＋－＋…，cos x＝1－＋－＋…，其中n！＝1×2×3×4×…×n.已知a＝sin ，b＝cos ，则下列说法正确的是(　A　)
A. ab
C. a＝b　 D. 无法判断二者大小
【解析】由题意可知sin ＝－＋－＋…<，cos ＝1－＋－＋…>1－＝，所以a变式　公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割．在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec (角)表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc (角)表示．则csc 20°－sec 20°＝(　C　)
A. 　 B. 2
C. 4　 D. 8
【解析】依题意，20°角可视为某直角三角形的内角，由锐角三角函数定义及已知得
csc 20°＝，sec 20°＝，所以csc 20°－sec 20°＝－＝＝＝4.(共27张PPT)
第五章 三角函数
章复习　能力整合与素养提升
要点梳理 系统整合
1. 三角函数的图象与性质
2. 三角恒等变换
考法聚焦 素养养成
1
三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
考法
1
A
C
C
2
三角函数的图象与性质
考法
2
C
C
D
【答案】BC
3
三角函数的化简与求值
考法
3
A
A
【答案】B
4
三角函数中的新定义题
考法
4
A
变式　
C
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2
0
π3
13元
X
12
VA
C
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O
X
B

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