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2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第4章 相似三角形 单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C D A C A D D C
1．D
本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
、四个数排序后为3、4、6、8，因为，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意；
故选：D．
2．A
本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．利用得比例式，与已知图形作对比，可以得出结论．
解：∵，
∴或．
第一个图作出的为，故符合题意；
第二个图作出的为，但x是所求线段，所以图形不能画出，故不符合题意；
第三个图作出的为，但x是所求线段，所以图形不能画出，故不符合题意；
第四个图作出的为，即，故不符合题意；
综上所述，列作图正确的有1个．
故选：A．
3．C
本题考查坐标与位似，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此进行计算即可．
解：以坐标原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，
则：点E的对应点的坐标是或，即：或；
故选C．
4．D
本题主要考查了相似图形的定义，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案，解题的关键是正确理解边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．
解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；
锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；
正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件；
故选：．
5．A
依题意补全图形，判定△FPC是等腰直角三角形及△AFG∽△ABC，从而得比例式，设CP=CF=x，将相关线段的值或含x的代数式代入比例式，求解即可．
解：依题意补全图形，如图：
由题可知，GF⊥AC，△GFP是以GF为斜边的等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，BC⊥AC，
∴GF∥BC，
∴∠GFP=∠FPC=45°，
∵∠C=90°，
∴∠PFC=∠FPC=45°，
∴△FPC是等腰直角三角形，
设CP=CF=x，则，
∵AC=3，
∴AF=3-x，
∵GF∥BC，
∴△AFG∽△ABC，
∴，即，
解得：，
故选：A．
本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的判定与性质，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
6．C
由，可得，根据比例的性质可得，即，由于规定为单位线段1，则，即可解答．
解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵规定为单位线段1，
∴．
故选：C．
本题考查相似三角形的性质，比例的性质，读懂题意，正确使用比例的性质是解题的关键．
7．A
本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可．
解：A.该选项两个三角形不相似，符合题意；
B.根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意；
C.根据两个角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意；
D. 根据两个角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意；
故选：A．
8．D
本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
解：∵，
∴，
即，
A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；
故选：D．
9．D
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．由平行四边形可得，，进而找出等角，判断相似三角形即可．
解：四边形是平行四边形，
，，
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
图中的相似三角形共有6对，
故选：D．
10．C
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解题的关键．
把点代入反比例函数的解析式，求出的值，再由点在反比例函数的图象上设，过作轴，过作于，则，，，用表示出及的长，判定，由相似三角形的对应边成比例即可得出的值，进而得出点坐标．
解：点在反比例函数，
，
，
反比例函数的解析式为，
设，
过作轴，过作于，，
，
，
，
，
，即，
解得，（舍去），
故选：C．
11．相似
根据相似三角形的判定方法解答即可.
∵，，
∴∠C=180°-65°-42°=73°.
∵，，
∴∠A=∠D, ∠C=∠F,
∴△DEF 与△ABC相似.
故答案为相似.
本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.
12．
本题考查的是等边三角形性质、勾股定理及坐标与图形，先求出等边三角形边长，以点B为坐标原点，所在直线为横轴建立坐标系，作轴于点H，求出，，进而求出结论．
解：，， ，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
以点B为坐标原点，所在直线为横轴建立坐标系，作轴于点H，
，
，
设，
，
，
∴，
，
解得：，
∴，
，
，
，
故答案为：．
13．
本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质，由矩形的性质可得，，由矩形矩形，可得，再进一步求解即可．
解：∵矩形矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
14．①②④⑤
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，相似三角形的判定；延长至点，使，通过证明，，然后结合全等三角形的性质判断①②，当时，根据角平分线的性质可得，即可判断③ ，根据，，即可得出结论④，根据正方形的性质以及已知条件可得，结合对顶角相等，即可证明．
解：如图，延长至点，使，
正方形中，，，
，
，，
又，
，
，
，
，
，，
，故①正确；
；故②正确；
∵，
∴
当时，
又，
，故③不一定正确；
，，
的周长
，故④正确；
四边形是正方形，是对角线，
，
，
，
又，
．故⑤正确
故答案为：①②④⑤．
15．1
此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
根据勾股定理求出，以及平行线分线段成比例进行解答即可．
解：在矩形中，，，
∴ ， ，
∴ ，
∴，
故答案为：1．
16．
本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接，交于点，过点作于点，根据勾股定理求出，得到，根据菱形的面积公式求出，再根据勾股定理求出，即可求出，延长交的延长线于点，过点作于点， 作于点， 证明四边形是矩形，得到，证明，得到，设，则，求出，得到，即可求出的面积，掌握相关知识是解题的关键．
解：连接，交于点，过点作于点，如图：
∵四边形是菱形，
∴，，，，
在中，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
延长交的延长线于点，过点作于点， 作于点，如图：
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴共线，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：，．
17．(1)见解析
(2)、、
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定：
（1）证明，即可求证；
（2）根据相似三角形的判定定理解答即可．
（1）证明：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
同理，
综上所述，与相似的三角形有、、．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)和是关于点为位似中心的位似图形
本题主要考查了位似变换以及平移变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键．
（1）利用平移变换规律得出对应点坐标，进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出位似中心，进而得出答案．
（1）解：如图所示．
（2）解：如图所示，
（3）解：和是关于点为位似中心的位似图形．
19．(1)旗杆的高度为6米
(2)小水坑F到小明的距离的长为米
本题考查了相似三角形的应用．
（1）证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）证明，利用相似三角形的性质求解即可．
（1）解： ，
．
，
．
．
，
．
．
．
经检验，是原分式方程的解．
答：旗杆的高度为6米．
（2）解：由题意得：
，，
．
．
．
．
即
经检验：是原分式方程的解．
答：小水坑F到小明的距离的长为米．
20．(1)见解析；
(2)．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余．
根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据垂直定义可证，利用可证；
根据全等三角形的性质可得：，，利用对顶角相等可知，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证：，根据相似三角形的性质可得：，设，则，从而可得：，解方程求出的值，即为的长．
（1）证明：，
，
，
，
，
，
又，，
，
在和中，，
；
（2）解：由可知，
，
，
，
，，
，
，
设，则，
，
解得：，
．
21．(1)见解析
(2)见解析
（1）根据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似判断画图即可．
（2）连接，，设格点B右侧相邻格点为E，格点N右侧相邻格点为F，根据题意，得，证明即可得证．
本题考查了网格作图，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
（1）解：根据题意，画图如下：
则即为所求．
（2）解：如图，连接，，设格点B右侧相邻格点为E，格点N右侧相邻格点为F，根据题意，得，
∵，
∴，
同理可证，，
根据网格图，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
设与交于点Q，
则，
故，
则点Q即为所求．
22．(1)
(2)
本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线的判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
（1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，求出即可．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，， ，
∴ ，
∴，
解得： .
23．(1)见解析
(2)
本题考查的是相似多边形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
（1）根据相似多边形的性质得到，，证明根据相似三角形的对应角相等证明结论；
（2）根据相似多边形的面积比等于相似比的平方列出方程，解方程即可．
（1）∵矩形矩形，
∴，，
∴，即，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
，
解得：．
24．(1)
(2)见解析
(3)
（1）由得到，由得到，，根据旋转得到，因此，从而根据三角形的内角和定理可求解．
（2）延长至点G，使得，则，由垂直平分线的性质得到
，因此，根据等腰三角形的性质得到，进而得到，从而有，证明得到，即可得证．
（3）连接，由等腰三角形的“三线合一”与角平分线的定义得到，得出是等腰直角三角形，，即可证明，得到，从而，则是等腰直角三角形，．设，则，在中，根据勾股定理构造方程，求解得到，，证明，则在中，．由（2）得到，则，由是等腰直角三角形，得到，因此在中，求得，证明，得到，即可求得．过点Q作，交的延长线于点H，根据角平分线的性质得到，即可求得，再根据即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
由旋转得，
∴，
∴；
（2）证明：延长至点G，使得，则，连接，
∵，即，
∴，
∴，
∵，点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∵，
，
∴；
（3）解：连接，
∵，
∴，
∵，点D是的中点，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由（2）可知，
∴设，则，
∵在中，，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）有，
∴，
∴，
由（1）有，又，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴在中，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
过点Q作，交的延长线于点H，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴．
本题考查三角形的内角和定理，旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，角平分线的性质，勾股定理等，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．(共6张PPT)
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第4章 相似三角形 单元测试·巩固卷
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 成比例线段
2 0.85 由平行判断成比例的线段
3 0.65 求位似图形的对应坐标
4 0.65 相似多边形
5 0.65 相似三角形的综合问题
6 0.75 比例的性质；证明三角形的对应线段成比例
7 0.75 相似三角形的判定综合
8 0.64 选择或补充条件使两个三角形相似；利用两角对应相等判定相似；利用三边对应成比例判定相似；利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似
9 0.64 利用两角对应相等判定相似；利用平行四边形的性质求解
10 0.55 反比例函数与几何综合；相似三角形的判定与性质综合；求反比例函数解析式
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 相似三角形的判定综合
12 0.75 等边三角形的性质；坐标与图形综合；用勾股定理解三角形
13 0.65 根据矩形的性质求线段长；相似多边形的性质
14 0.65 根据正方形的性质证明；利用两角对应相等判定相似；全等的性质和SAS综合（SAS）；角平分线的性质定理
15 0.65 用勾股定理解三角形；由平行截线求相关线段的长或比值
16 0.4 利用菱形的性质求线段长；相似三角形的判定与性质综合；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用两角对应相等判定相似；等腰三角形的性质和判定
18 0.65 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形；在坐标系中画位似图形；平移(作图)
19 0.75 相似三角形的判定与性质综合；相似三角形实际应用
20 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；相似三角形的判定综合；直角三角形的两个锐角互余
21 0.64 相似三角形的判定与性质综合；在网格中画与已知三角形相似的三角形；无刻度直尺作图
22 0.64 由平行截线求相关线段的长或比值
23 0.4 相似三角形的判定与性质综合；相似多边形的性质
24 0.4 全等三角形综合问题；等腰三角形的性质和判定；根据旋转的性质求解；相似三角形的判定与性质综合2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第4章 相似三角形 单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1、2、3、5 B．2、3、6、8 C．3、4、5、6 D．4、3、8、6
2．已知，求作，那么下列作图正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，点，以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是( )
A． B．或 C．或 D．
4．如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（ ）
A．正六边形 B．矩形和正六边形
C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形
5．如图，中，，，，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点．若是以GF为斜边的等腰直角三角形．则此时PC长为（ ）．
A． B． C． D．
6．《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形中，F是边上的点，连接交于点E，延长交的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
10．如图，点、点均在反比例函数的图象上，分别连结、，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．ΔABC与△DEF中，，，，，，，，，，，则△DEF 与△ABC
12．如图，D为等边外一点，，，，过点A作于点E，过点C作于点F，连接，则的长为 ．
13．如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，，则线段的长为 ．
14．如图，在正方形中，已知，分别是边，上的点，且满足，，分别与对角线交于点，，连接，点在线段上．以下结论：①；②；③；④的周长等于；⑤．其中结论正确的是： ．(填序号)
15．如图，在矩形中，若，则的长为 ．
16．如图，四边形是菱形，是边延长线上一点，，连接，若，则长为 ；平分交于点，则的面积为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，中，，于点，于点E，交于点F．
(1)求证：；
(2)在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形．
18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；
(2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为；
(3)判断和是否是位似图形（直接写结果），若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标．
19．小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米．
(1)求旗杆的高度；
(2)小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长．
20．如图，，，于点，于点．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长．
21．如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按下列要求作图．
(1)在图①中画一个面积最大的格点三角形，使；
(2)在图②中画一条线段（点P在格点上），交于点Q，使；
22．如图，已知在中，．
(1)求的长；
(2)当时，求的长
23．如图，矩形矩形分别为它们的短边，点F在上，．

(1)求证：．
(2)若两个矩形的面积之和为650cm2，求矩形的面积．
24．如图，为等腰三角形，，，点为边的中点．过点作，连接交边于点，且．将绕着点顺时针旋转，使得点与延长线上的点重合，交边于点．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图1，求证：；
(3)如图2，平分交延长线于点，连接，当时，请直接写出四边形的面积．

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