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2025-2026学年 初中数学九年级上册 期中测验（1-4章）（北师大版）
时间：120分钟，满分：120分
姓名： 学号： 班级： 分数：
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题(共8题；共24分)
1．（3分）下列命题正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
C．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2．（3分）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对边平行且相等 B．对角线互相垂直
C．每条对角线平分一组对角． D．四边相等
3．（3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，则代数式﹣a3+5a的值是（　　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
4．（3分）如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）据统计，2021年全国城镇居民人均消费支出约为万元，2023年提升到约万元．如果设这两年城镇居民人均消费支出的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，在中，点D是上一点(不与点A，B重合)，过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接．若已知的面积，则一定能求出（　　）
A．的面积 B．的面积
C．四边形的面积 D．的面积
8．（3分）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(共8题；共24分)
9．（3分）已知，那么　 　．
10．（3分）已知一元二次方程有一个根为2，则常数c的值是　 　．
11．（3分）已知关于的一元二次方程的常数项是0，则．
12．（3分）在边长为2的正方形中有一个最大的圆，向此正方形中任意丢一粒大米，“大米落在圆内”的概率为　 　．
13．（3分）如图，正方形和正方形的边长分别是4和2，连接，H是的中点，连接，则的长为　 　．
14．（3分）正方形，，…按如图所示的方式放置，点，，，…在直线，点，，，…在轴上，则的坐标是　 　．
15．（3分）如图，在中，，，点在上，，是线段上的一点，且满足，连接，．若，则线段的长为　 　，的值为　 　．
16．（3分）山西的四大旗舰物种是黑鹳、原麝、华北豹，褐马鸡，某校的野生动植物保护兴趣小组成员小赛和小梅计划从“黑鹳”“原麝”“华北豹”“褐马鸡”四种动物中任意选择一种调查，他们制作了四张质地大小完全相同的卡片，背面朝上洗匀后，小颖和小梅各自从中随机抽取一张来确定自己的课外调查研究内容（第一人抽完放回洗匀后另一人再抽取），则两人恰好抽取到同一旗舰物种卡片的概率为　 　．
三、解答题(共7题；共72分)
17．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程．
（1）（4分）
（2）（4分）
18．（14分）已知（a，b是常数，）①
（1）（4分）若，，求；
（2）（4分）试将等式①变形成“”形式，其中A，B表示关于a，b，t的整式；
（3）（6分）若的取值与x无关，试求a与b的数量关系.
19．（12分） 【概念学习】在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同距点. 如下图中的P(-2，3)，Q(3，2)两点即为同距点.
（1）（4分）【理解概念】如图，写出点A，B，C，D的坐标： ( ▲ ， ▲ )， ( ▲ ， ▲ )， ( ▲ ， ▲ )， ( ▲ ， ▲ )，判断点B，C，D是否是点A的同距点；
（2）（4分）【深入探索】若点E(m-1，-1)是点A的同距点，求m的值；
（3）（4分）【拓展延伸】已知点N(-2，-1)，若点F(a，b)为点N的同距点，且点F在第二象限，求出此时a，b之间的关系式.
20．（10分）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高x（单位：cm）
数据分为A、B、C、D、E五组，并制成了如下不完整的统计图表
组别 身高分组 人数
A 155≤x<160 5
B 160≤x<165 4
C 165≤x<170 m
D 170≤x<175 12
E 175≤x<180 9
根据以上信息回答：
（1）（4分）这次抽查的志愿者共有 ▲ 人，扇形统计图中A的圆心角度数是 ▲ ；请补全条形统计图。
（2）（6分）若B组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率。
21．（8分）如图，在正方形中，点E在边上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边的延长线上，连接．
（1）（4分）判断的形状，并证明；
（2）（4分）若，则的面积为___________．
22．（8分）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）（4分）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）（4分）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
23．（12分）【探究发现】
（1）如图1，已知，，，在同一直线上，若，则，请证明；
【灵活运用】
（2）如图2，在中，，，点在边上，于点，连接．若，求的值；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，若，，求的长．
答案
1． C
2． A
3． B
4． C
5． D
6． C
7． B
8． A
9．
10． 2
11．
12．
13．
14．
15． ；
16．
17． （1），；
（2），．
18． （1）解：当 ，时，
；
（2）解：将 两边都乘以 得，
，
去括号得，，
移项得，，
即.
（3）解：∵t的取值与x无关，
∴，即，
∴，即，
∴.
19． （1）解：A(-3， 1)，B(0， 4)，C(5， -1)，D(2， 2)，
对于点B(0， 4)，其到两坐标轴的距离之和为，
∴点B是点A的同距点，
对于点C(2， -1)，其到两坐标轴的距离之和为，
∴点C不是点A的同距点，
对于点D(1， 3)，其到两坐标轴的距离之和为，
∴点D是点A的同距点，
∴点B、D是点A的同距点，点C不是点A的同距点；
（2）解：∵点是点A的同距点，
∴，
当，即时，有，解得，
当 ，即 时，有 ，解得 .
∴m的值为4或-2；
（3）解：点N(-2，-1)到两坐标轴距离之和为，
∵点F(a，b)在第二象限，所以，，
点F到两坐标轴距离之和为，
又∵点F是点N的同距点，
∴，即 .
20． （1）解：40；45°；
C组的人数为40-5-4-12-9=10 (人)，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：设2名男志愿者分别记作男1，男2，2名女志愿者分别记作女1，女2
根据题意可以画出如下的树状图
、
列表法如下图
　
\ （，） （，） （，）
（，） \ （，） （，）
（，） （，） \ （，）
（，） （，） （，） \
由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2名女志愿者担任组长的是（女1，女2)和(女2，女1）的情况有两种。
P(刚好抽中2名女志愿者担任组长）
(选择任何一种方法，答题正确即可得分)
21． （1）解：是等腰直角三角形．证明：在正方形中，，．
∵ F落在边的延长线上，
∴．
∵ 将点E绕点D逆时针旋转得到点F，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，即．
∴是等腰直角三角形．
（2）8
22． （1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
根据题意，得，
解得：，（舍去），
∴该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
根据题意，得，
整理得：，
解得：，
当时，售价为，
∴，
∴购买的这种健身器材的套数为200套．
23． （1）证明：，，，
，
，，，
，
．
（2）解：过点作的延长线于点，
则，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，即
，解得，
，
，，
，
．
（3）解：在上取点，使，过点作的延长线于点，如图，
则，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
在中，，即，
解得（负值已舍去），
，，，
在中，

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