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2025-2026扬州市邗江区第一中学高一上学期10月检测
数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知命题p：，，则命题p的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，若，则实数a组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
4．下列是“”成立的必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知二次函数的图像与轴交于两点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（ ）
A．1 B． C． D．2
10．下列叙述正确的是（ ）
A．已知a，b，c是实数，则“”成立的充分不必要条件是“”
B．命题“若，则x，y中至少有1个大于2”为真命题
C．“且”是“”的充分不必要条件
D．“”是的必要不充分条件
11．已知a，b均为正数，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．的最小值是16
C．的最大值是 D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12． .
13．不等式||≥1的解集是
14．若不等式 对任意实数均成立，则实数的取值范围是
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
16．已知集合或，，，
(1)已知，求实数的取值范围；
(2)已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围.
17．几年国家出台的惠民政策越来越多，政府出资的“旧房改造”工程使得许多老旧校区旧貌换新颜，从根本上提高了百姓的生活质量.如图，在改造某小区时，要在一处公共区域搭建一间背面靠墙（墙长7米）的房屋，图形所示为房屋俯视图，房屋地面面积为房屋正面的造价为600元，侧面的造价为200元，顶部总造价为4800元，如果墙面高为3m，不计房屋背面和地面的费用，设总造价为元.
(1)请将总造价表示为正面边长的函数，怎样设计房屋边长能使总造价最低？最低总造价是多少？
(2)如果所需总费用不超过22800元，求房屋正面边长的取值范围是多少？
18．已知命题p：关于实数x的方程有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程无实根．
（1）命题p和q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围．
（2）若关于x的不等式的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为当时，求实数m的取值范围．
19．已知二次函数，其中.
(1)若，解关于的不等式；
(2)若且不等式对一切实数恒成立，求的最小值参考答案（详解）
1．D
所以命题p： R，的否定是： R，．
故选D．
2．C
【分析】先求出集合，然后再求两集合的交集.
【详解】由，得或，
所以或，
因为，
所以，
故选：C
3．D
【分析】根据题意分和两种情况运算求解，注意集合的互异性.
【详解】，则有或，解得 或或，
实数a组成的集合为.
故选：D
4．B
【分析】求出不等式的解集，然后根据必要不充分条件的定义分析可得．
【详解】，分析各选项，只有B是必要不充分条件．
故选：B．
5．B
【分析】将转化为，利用不等式性质和基本不等式判断即可.
【详解】因为，即，
所以，，（因为，所以等号取不到），
即①④正确，②③错误，
故选：B
6．A
【分析】先求得，然后解一元二次不等式求得正确答案.
【详解】由题意得的两根为，
所以由韦达定理得，即，
此时有，解得．
故选：A
7．D
【分析】由，得，则化简后利用基本不等式可求出其最小值为4，从而得，解不等式可求得答案.
【详解】由，，可得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立．
因为不等式有解,
所以，解得或，
所以实数的取值范围是．
故选：D．
8．B
【分析】对二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一端点的范围，从而得到实数的取值范围.
【详解】由恰有两个整数解，即恰有两个整数解，
所以，解得或，
①当时，不等式的解集为，因为，
所以两个整数解，则，即，解得；
②当时，不等式的解集为，因为，
所以两个整数解，则，即，解得，
综上所述，实数的取值范围为或.
故选：B.
9．ABD
【分析】将四个选项逐一代入验证是否满足集合的三个特性即可.
【详解】当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，A错；
当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，B错；
当时，对应的值分别为，元素满足的互异性，能构成集合，C对；
当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，D错.
故选：ABD
10．BCD
【分析】A选项，举出反例；B选项，反证法进行证明；C选项，且或且，C正确；D选项，，解得或，故D正确.
【详解】A选项，，若，则，不能得到，充分性不成立，A错误；
B选项，假设x，y均不大于2，则，与条件矛盾，故假设不成立，
所以命题“若，则x，y中至少有1个大于2”为真命题，B正确；
C选项，且，但且或且，
“且”是“”的充分不必要条件，C正确；
D选项，，解得或，所以，但，
故“”是的必要不充分条件，D正确.
故选：BCD
11．BCD
【分析】通过取特值代入检验排除A项，利用常值代换法可得B项，直接利用基本不等式可得C项，利用基本不等式的变形公式即得D项.
【详解】对于A，取满足题意，但显然不成立，故A错误；
对于B，由，因a，b均为正数，
则，
当且仅当时，即，，等号成立，故B正确；
对于C，由基本不等式可知，即，
当且仅当，时，等号成立，故C正确；
对于D，由基本不等式可知，则，
当且仅当，时，等号成立，故D正确.
故选：BCD.
12．
【分析】根据指数幂的运算性质即可求解.
【详解】.
故答案为：
13．；【分析】不等式||≥1 （x+1）2≥（x﹣1）2≠0，解得即可；
【详解】不等式||≥1 （x+1）2≥（x﹣1）2≠0，解得x＞0且x≠1，
因此原不等式的解集是（0，1）∪（1，+∞）；
故答案为（0，1）∪（1，+∞）
14．
【分析】将原不等式转化为，对分成和两种情况进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.
【详解】由题意，不等式恒成立，可化为恒成立，当，即时，不等式恒成立，符合题意；
当时，要使不等式恒成立，需 ，
解得，综上所述，所以的取值范围为．
故答案为：
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式恒成立问题的求解，属于中档题.
15．(1)
(2)
【分析】（1）当时，求出集合，再求出集合在上的补集，再求即可；
（2）由题意得，分和两种情况讨论即可.
【详解】（1）当时，.
，，
.
（2），
.
当时，符合题意，此时有，解得；
当时，要使，只需，解得.
综上，.
故实数的取值范围为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据并集的定义即可求解；
（2）由题意可得，根据参数的取值分类讨论即可求解.
【详解】（1），或，
因，故，
即实数的取值范围为.
（2）由于是的必要条件，所以，
因，
① 当时，，此时，符合题意；
② 当时，，由，可得，解得，
③ 当时，，由，可得，解得，
综上所述：，
即实数的取值范围为.
17．(1)，当正面墙长为4m时造价最低，最低总造价为19200元.
(2)
【分析】（1）写出函数后运用基本不等式可得结果.
（2）解分式型不等式可得结果.
【详解】（1）设房屋正面墙长为，侧面边长为，总造价为元，则，
∴
∴，
当且仅当即“”时上式取等号.
答：当正面墙长为4m时造价最低，最低总造价为19200元.
（2）∵
∴，
又∵
∴不等式变为：，，
∴
答：房屋正面边长的取值范围是.
18．（1）或；（2）.
【分析】先计算得命题p为真时，命题q为真时，
（1）分别计算当p真q假和p假q真时的范围，即可得解；
（2）由，结合不等式的范围列式求解即可.
【详解】若命题p：关于实数x的方程有两个不等的负根为真命题，
则，解得，
若命题q：关于实数x的方程无实根为真命题，
则，解得，
（1）命题p和q有且只有一个真命题，
当p真q假时，解得
当p假q真时，解得，
综上：或.
（2）解得：，即，
当时，，
所以，解得.
19．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集；
（2）利用判别式消元，放缩目标式，然后分子分母同时除以a，再换元，由基本不等式可解.
【详解】（1）因为，则，又，
所以不等式，即，即，
当时原不等式即，解得，
当时原不等式即，
若，即时解得；
若，即时解得或；
若，即时解得或；
当时原不等式即，解得，
综上可得当时原不等式的解集为，
当时原不等式的解集为，
当时原不等式的解集为，
当时原不等式的解集为，
当时原不等式的解集为.
（2）因为对任意，不等式恒成立，
所以，所以，
所以（当判别式等于0时等号成立）
令，则，因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以当且时，有最小值

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