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高二上学期数学限时练（3）
时间：60分钟 满分：75分
一、单选题
1．已知向量，，且与互相垂直，则（ ）
A． B． C． D．
2．若直线l的方向向量和平面的法向量夹角的余弦值为，则直线l与平面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
4．过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
二、多选题
5．下列说法正确的是（　　）
A．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．当点到直线的距离最大时，的值为
D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是
6．如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（ ）

A．
B．点E到直线的距离为
C．直线AE与所成角的范围为
D．二面角的大小为
三、填空题
7．已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ．
8．已知圆的圆心在轴上，并且过，两点，则圆的标准方程为 ．
9．正四面体的棱长为，若点Q是该正四面体外接球球面上的一个动点，则的最大值为 ．
四、解答题
10．已知两直线，．
(1)求直线与的交点的坐标；
(2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
(3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围．
11．如图，在三棱锥中，平面平面，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，，点是的中点.
(1)证明：；
(2)设点，，，均在球的球面上.
①证明：点O在平面内；
②求直线与平面所成角的正弦值.
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C D A B ACD ACD
1．C
【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可.
【详解】由题设，，
又与互相垂直，则，解得.
故选：C
2．D
【分析】应用向量法得线面角的正弦值，进而求正切值.
【详解】设直线l与平面所成的角为，由题意可得，
由于，得，得．
故选：D
3．A
【分析】当线段最短时，直线与直线垂直，点为直线与直线的交点.
【详解】当线段最短时，直线与直线垂直，
此时点为直线与直线的交点.
因为直线与直线垂直，
所以，直线方程为，
由得，所以.
故选：A.
4．B
【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.
【详解】动直线化为，可知定点，
动直线化为，令，
解得，可知定点，
又，
所以直线与直线垂直，为交点，
.
则，当且仅当时，等号成立.
即面积的最大值为.
故选：B.
5．ACD
【分析】应用直线平行求出参数再应用平行线间距离计算判断A，根据垂直得出参数再结合充分不必要条件定义判断B，应用直线的定点结合垂直计算求参判断C，数形结合得出有交点时的斜率范围判断D.
【详解】对于A，直线与直线平行，则，解得，
直线，即，
则与的距离为，选项A正确；
对于B，由两直线互相垂直得，，解得或，
可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误；
对于C，将直线方程变形为，由得，
则直线过定点，斜率为，
当直线与垂直时，点到直线的距离最大，
因为，所以，选项C正确；
对于D，如图，，
由图可知，当或时，直线与线段有交点，故选项D正确.
故选：ACD．
6.ABD
【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明线性垂直、求异面直线所成角判断A、C；根据正方体的结构特征及二面角的定义判断B、D.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，
对于A：，
因为，所以，即，正确；

对于B：由正方体的结构特征知，且四边形为矩形，
所以E到的距离为，正确．
对于C：，
设直线AE与所成角为，则，
显然在中，随的变大而变小，
当时，最大等于，此时最小为，
当时，最小等于0，此时最大为，
所以，即直线AE与所成角的范围为，不正确；
对于D：二面角，即二面角，
平面平面，
所以即为二面角的平面角，
在正方形中，则二面角的大小为，正确.
故选：ABD
7．
【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程.
【详解】设点关于直线的对称点为，则，
解得，故.
由于反射光线所在直线经过点和，
所以反射光线所在直线的方程为，即.
故答案为：.
(1)
【详解】因为正四面体的外接球的球心的投影在底面正的中心，
底面正的高为，故正四面体的高为，
设外接球的半径为，则，
如图所示，取中点，连接，因为，所以，
球心到的距离，
则，
因为点Q是该正四面体外接球球面上的一个动点，所以，
即，所以，
10．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标；
（2）在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为和不为两种情况讨论即可；
（3）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可.
【详解】（1）由题意得，，解得，点的坐标为．
（2）设所求直线为，
（ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得，
直线的方程为，即；
（ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得，
直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
（3）（ⅰ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得；
（ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得；
（ⅲ）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得．
综上，当，且，且时，能构成三角形．
11．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，转化为证明平面，即可证明线线垂直；
（2）①首先根据（1）的结果建立空间直角坐标系，利用坐标法求点的坐标，即可证明；
②求平面的法向量，利用坐标法求线面角的正弦值.
【详解】（1）因为平面平面，且平面平面，
且是等腰直角三角形，，点是的中点，
所以，所以平面，且平面，
所以；
（2）①因为是等边三角形，且点是的中点，
所以，
如图，以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，，，，，
设，
由条件可知，，
所以，
解得：，即，
所以点在平面内；
②，，，
设平面的一个法向量，
，令，则，
所以平面的一个法向量，
设与平面所成角为，
所以.
答案第1页，共2页

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