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第十四章全等三角形--解答题型分层练习
2025-2026学年度人教版（2024）广东省八年级数学第一学期
第十四章 全等三角形--解答题分层练习
1． 如图，已知，则，请说明理由．（填空）
解：在中，
2． 如图， 在 中， 点 D 是 BC 的中点，点 E 在AD 上.找出图中的全等三角形，并证明它们全等.
3． 如图，△ABC≌△A'B'C'， AD， A'D'分别是△ABC， △A'B'C'的对应角的平分线. 求证AD=A'D'.
4． 如图， AC⊥CB，DB⊥CB， 垂足分别为C， B， AB=DC. 求证∠ABD=∠ACD.
5． 如图， 在△ABC 中， AB=AC， AD 是高. 求证： BD=CD，∠BAD=∠CAD.
6．已知，如图，点、、、在同一直线上，，，
（1）求证：；
（2）当，求的度数.
7． 如图， 点B，E，C，F 在一条直线上， AB=DE， AC=DF， BE=CF. 求证∠A=∠D.
8． 如图， AB=CD， AE⊥BC， DF⊥BC， 垂足分别为E， F， CE=BF.求证AE=DF.
9． 如图， 在△ABC 中， D 是BC的中点， DE⊥AB， DF⊥AC， 垂足分别为E，F， BE=CF. 求证： AD 是△ABC的角平分线.
10． 如图， ∠B=∠C=90°， E是BC的中点， DE平分∠ADC . 求证： AE 平分∠DAB.(提示： 过点E 作EF⊥AD， 垂足为 F.)
1．如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，BE＝AC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．
（1）求证：DE＝DC；
（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．
2．如图，在中，且 已知 .
（1）求证：
（2）设 ，连结DE，求DE的值.
3．如图，在四边形中，，．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接．求证：点是的中点．
4．如图，点是中的平分线和边的垂直平分线的交点，于点，交的延长线于点，求证：．
5． 如图，已知. 的两条高AD，CE相交于点F，且.
（1）求证：
（2）若 求CF的长.
6．如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若．
（1）求证：≌；
（2）若，求的度数．
7．如图，已知，，相交于点，，．
（1）求证：．
（2）求证：．
8． 如图， △ABC 是等腰三角形， AC=BC，△BCD 和△ACE 是等边三角形， AE与BD 相交于点F，连接CF 并延长，交AB于点G.求证：G为AB的中点.
1．如图①，在中，，，，，动点从点出发；沿着边运动，回到点停止，速度为；设运动时间为．
（1）当时，用含的代数式表示的长；
（2）当为何值时，的面积等于面积的？
（3）如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中，某一时刻恰好与全等，点的运动速度为___________．
2．如图①，P 是线段 AB 上的一点，在 AB 的同侧作△APC 和△BPD，使∠APC=∠BPD，PC=PA，PD=PB，连接CD，点E，F，G，H 分别是AC，AB，BD，CD 的中点，顺次连接E，F，G，H.
（1）猜想四边形 EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由.
（2）当点 P 在线段AB 的上方时，如图②，在△APB 的外部作△APC 和△BPD，其他条件不变，(1)中结论还成立吗 说明理由.
（3）如果(2)中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图③，再判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由.
3．
（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC 的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE.分别取 BD，CE，BC 的中点M，N，G，连接GM，GN.小明发现：线段GM 与GN 的数量关系是　 　；位置关系是　 　.
（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考，把等腰三角形ABC 换为一般的锐角三角形，其中AB>AC，其他条件不变.小明发现的上述结论还成立吗 请说明理由.
（3）深入探究：如图③，小明在(2)的基础上，又作了进一步探究，向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其他条件不变.试判断△GMN 的形状，并给予证明.
4．如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，．
（1）如图1，若为的中点，求证：．
（2）如图2，若不是的中点，过点作，交于点．
①求证：是等边三角形；
②判断与是否相等，并说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点D是的中点，以为边，在x轴上方作正方形．动点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点C运动．设点P运动时间为t秒，三角形的面积为S（），解答下列问题．
（1）点B的坐标为______；当点P在线段上时，的长度为______（用含t的代数式表示）；
（2）当时，三角形的面积为______；
（3）求点P运动过程中三角形的面积S和运动时间t之间的数量关系（用含t的代数式表示S）；
（4）当是等腰三角形时，直接写出t的值．
6． 已知，均为等腰直角三角形，
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，在图1的基础上延长和相交于点，过点作于点，若，，求的长；
（3）如图3，点，分别在上，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，求证：．
7． 在 中，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别为AC，AB上的点，连接AD，DE，EF，FD.
（1）【探究发现】如图①，若AB=BC，F为AB的中点， 求证：AB=AF+AE；
（2）【类比猜想】如图②，若 ，试说明AB，AE，AF之间的数量关系；
（3）【拓展延伸】如图③，若 求AB 的长度.
8．【积累经验】我们在第十四章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题.例如：我们在解决：“如图①，在 中， 线段DE 经过点 C，且. 于点 D， 于点E.求证：AD=CE，CD=BE.”这个问题时，只要证明 即可得到解决.
（1）请写出证明过程：
（2）【类比应用】如图②， 在平面直角坐标系中，A为x轴上一点， 点 B的坐标为（0，1)，点C的坐标为（（-4，4)，求点A 的坐标；
（3）【拓展提升】如图③，在平面直角坐标系中，点A（2，0)，点B（5，1)均在小正方形网格格点上，以AB为一边构造等腰直角 ，请直接写出第一象限内满足条件的所有点 C 的坐标.
9．（1）如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是边 BC 的中点，∠AEF=90°，且EF 交正方形的外角∠DCG 的角平分线CF 于点 F.求证：AE=EF.
（2）变式思考：
⑴从特殊到一般
如图，当E 为 BC 上的任意一点或 BC 延长线上一点(除B 点外)，其余条件不变，结论“AE=EF”还成立吗
⑵推广原题
如图，将“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC”，F 为∠ACG 的平分线上一点，则当∠AEF 等于多少时，结论“AE=EF”成立
⑶考查逆命题
如图，已知正方形边 BC 在直线MN 上，E 是 BC 上一点，以 AE为边在直线MN 的上方作正方形AEFG，连接FC，求证：∠FCN=45°.
参考答案
考点一：
1．【答案】证明： 在中，

2．【答案】解：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，理由如下：
∵D是BC的中点
∴BD=DC，AB=AC，AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∵AB=AC，点D为BC的中点
∴AE为∠BAC的平分线，即∠BAE=∩CAE
在△ABE和△ACE中
∴△ABE≌△ACE（SAS）
∴BE=CE
在△BDE和△CDE中
∴△BDE≌△CDE（SSS）
3．【答案】证明：∵ △ABC≌△A'B'C'，AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的对应角的平分线，
∴∠ABD=∠A'B'D'，AB=A'B'，∠BAD=∠B'A'D'，
∴△ABD≌△A'B'D'(ASA)，
∴AD=A'D'
4．【答案】证明：在 Rt△ABC和Rt△DCB中，
∴ Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).
∴∠ABC=∠DCB，
∴ ∠ABD=∠ACD.
5．【答案】证明：在 Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，
∴∠BAD=∠CAD.
6．【答案】（1）证明：∵AD=BE，
∴AD+DB=BE+DB，
∴AB=DE，
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS）.
（2）解：由（1）可知，△ABC≌△EDF，
∴∠HBD=∠HDB，
∵∠CHD=∠HBD+∠HDB，∠CHD=120°，
∴∠HBD=∠CHD=×120°=60°，
答：的度数为60°.
7．【答案】证明：∵ BE=CF，
∴BE+EC=CF+CE，即BC=EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠A=∠D.
8．【答案】证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°.
∵CE=BF，
∴CE-EF=BF-EF，即CF=BE.
在 Rt△ABE 和Rt△DCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
∴AE=DF
9．【答案】证明：∵ D是BC的中点，
∴BD=CD.
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD 是∠BAC的平分线，故AD 是△ABC的角平分线.
10．【答案】证明：过点 E作EF⊥AD 于 F，
∵∠B=∠C=90°，
∴DC⊥EC，EB⊥AB.
∵ DE 平分∠ADC，
∴EC=EF.
∵E是BC的中点，
∴EC=EB，
∴EF=EB，
又∵ EF⊥AD，EB⊥AB，
∴点E在∠BAD的平分线上，即AE平分∠DAB.
考点二：
1．【答案】（1）证明：先证△BDE≌△ADC（HL），∴DE=DC
（2）解：再证△BFE≌△CFM（SAS） ∴CM=BE=AC，八字形导角∠ANE=∠BDE=90°
∴AC=MC，AC⊥MC
2．【答案】（1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠DBC=∠ECB，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ADB和△ACE中
，
∴△ADB≌△ACE(SAS)；
（2）解：∵△ADB≌△ACE，AD=4，
∴∠DAB=∠CAE，AE=AD=4，
∵∠ABC=∠ACB=2∠BAC，
∴5∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵∠DAC=63°，∠BAC=36°，
∴∠DAB=∠CAE=27°，
∴∠DAE=90°，
在Rt△ADE中，
3．【答案】（1）解：如图所示，则射线为所求：
（2）证明：过点E作于点H，连接，如下图：
∵，
∴，
又∵平分，
∴
又∵
∴
∴
又∵ ，
∴
又∵，
∴
又∵
∴
∴，
∴点是的中点．
4．【答案】证明：如图，连接，，
是线段垂直平分线上的点，
，
是平分线上的点，，，
，，
在和中，
，
∴，
∴．
5．【答案】（1）证明：∵的两条高AD，CE相交于点F ，
∴∠BEC=90°，∠ADB=90°，
∴∠B+∠BCE=90°，∠B+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BCE.
（2）解：∵∠AEC=∠BEC=90°，∠BAD=∠BCE，
又
∴△AEF≌△CEB(AAS)
∴CE=AE=8，EF=BE=5，
∴CF=CE-EF=8-5=3
6．【答案】（1）证明：于点E，于点F，相交于点D，
，，
在和中，
，
≌
（2）解：，，
，
由得≌，
，
于点F，于点E，且，
点D在的平分线上，
平分，
，
的度数是
7．【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
．
（2）证明：如图，令交于点O，
，
，
，
，
．
【答案】证明：∵ AC = BC，
∴∠CAB =∠CBA，
∵△BDC 和△ACE 为等 边 三 角形，
∴∠CAE = ∠CBD，
∴∠FAB=∠FBA.
∴ FA =FB，
在△AFC与△BFC中：
A F = B F ，
A C = B C ，
C F =CF，
∴△AFC≌△BFC（SSS），
∴∠ACF=∠BCF，
∴AG=GB，
∴ G为AB的中点.
考点三：
1．【答案】（1）当时，；当时，
（2）或6
（3）或或或
2．【答案】（1）解：四边形EFGH是菱形.
如图所示，连接AD，BC，
∵∠APC=∠BPD
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，即∠APD=∠BPC，
又∵PC=PA，PD=PB，
∴△PAD≌△PCB，
∴AD=BC，
∵点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，
∴，，
∴EH=FG=EF=HG，
∴四边形EFGH是菱形
（2）解：成立，连AD，BC，
∵∠APC=∠BPD，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD.
即∠APD=∠CPB.
又∵PA=PC，PD=PB
∴△APD≌△CPB(SAS)
∴AD=CB.
∵E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，
∴EF，FG，GH，EH分别是△ABC，△ABD，△BCD，△ACD的中位线.
∴，，，.
∴EF=FG=CH=EH，
∴四边形EFGH是菱形
（3）解：补全图形，如图，
判断四边形EFGH是正方形
理由：连接AD，BC.
∵(2)中已证：△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB.
∵∠APC=90°，
∴∠PAD+∠1=90°.
又∵∠1=∠2，
∴∠PCB+∠2=90°，
∴∠3=90°.
∵由(2)知GH，EH分别是△BCD，△ACD的中位线，
∴GH//BC，EH//AD.
∴∠EHG=90°.
又∵(2)中已证四边形EFGH是菱形，
∴·菱形EFGH是正方形
3．【答案】（1）GM=GN；GM⊥GN
（2）解：结论仍然成立.
理由：连接BE、CD交于点H，如图，
同(1)的方法得：MG=NG，MG⊥NG
（3）解：△GMN 为等腰直角三角形.
证明如下：
如图，连接EB，DC，并延长相交于点 H.
同(1)，得△ABE≌△ADC，MG=NG，
∴∠AEB=∠ACD，
∴∠CEH +∠ECH =∠AEH - ∠AEC +180°-∠ACD -
∴∠DHE=90°.
同(1)，得 MG⊥NG.
∴△GMN 为等腰直角三角形
4．【答案】（1）证明：是等边三角形，
，．
为的中点，
，．
，
，
．
，
，
，
（2）解：①证明：，是等边三角形，
，，，
是等边三角形．
②解：相等．
理由：，是等边三角形，
，，．
，，
，，，
，．
，
，
，
5．【答案】（1）；；
（2）2；
（3）；
（4）1或或2
6．【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
∴△ABE △ACD(SAS)，
∴BE=CD
（2）解：连接AG，作AN⊥DG于点N，
由(1)知，△BAE≌△CAD，
∴∠AEB=∠ADC，
∵AE=AD，∠AFE=∠AND=90°，
∴△AEF≌△ADN (AAS)
∴AF=AN，EF=DN，∠EAF=∠NAC，
∴∠FAN=∠DAE=90°，
∴四边形AFGN为正方形
∴FG=GN.
同理△ABF≌△ACN(AAS)
∴BF=CN.
设BF=x，则CN=x.
∴FG=GN=CG+CN=2+x，
∴x+2+x=7，
∴x=2.5
∴BF=2.5
（3）证明：在CE上取点M，使得EM=DG，连接AM，
∵DH⊥CE.
∴∠DHE=90°
∵∠BAC=90°
∴∠ADH+∠AEH=180°
∵∠ADH+∠ADG=180°
∴∠ADG=∠AEM，
在△ADG与△AEM中
∴△ADG≌△AEM(SAS)，
∴AG=AM，∠GAD=∠MAE
∵AG//BC
∴∠GAD=∠ACB=45°
∴∠GAD=∠DAM，
在△ACG与△ACM中
∴△ACG≌△ACM(SAS)
∴CG=CM.
∴CG+DG=CM+EM=CE
6．【答案】（1）证明：∵AB=AC，AB=BC，
∴AB=AC=BC，
∴ △ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠C=60°.
∵∠EDF=60°，
∴ ∠EDC+∠FDB=180°-60°=120°，
∴∠EDC=∠BFD，
∵D为BC的中点，
∵ F为AB的中点，
∵AB=BC，
∴AF=BF=BD=CD，
∴△BDF≌△CED(ASA)，
∴CE=BD=BF，
∴AE=CE=BF，
∴AB=AF+BF=AF+AE；
（2）解：AB=AF+AE，理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠BAD=∠B=∠CAD，
∴AD=BD.
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∵∠ADF+∠BDF=90°，
∴∠ADE=∠BDF，
∴△BFD≌△AED(ASA)，
∴AE=BF，
∴AB=AF+BF=AF+AE
（3）解：如图，取AC的中点 G，连接DG，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B=∠C，
∵∠BAC=120°，
∴ ∠C=30°，∠DAC=∠DAB=60°
∴AG=AD，
∴△ADG为等边三角形，
∴AD=GD，∠ADG=∠AGD=60°，
∴ ∠ADE+∠GDE=60°，∠FAD=∠EGD=60°.
∵∠EDF=60°，
∴∠ADF+∠ADE=60°，
∴∠ADF=∠GDE.
在△AFD和△GED中，
∴△AFD≌△GED(ASA)，
∴EG=FA，
∵AE+AF=12，
∴AB=24.
7．【答案】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠D=∠E=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB.
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE；
（2）解：如解图，过点 C 作y轴的垂线 CN，过点 A作x轴的垂线AM，交 NC延长线于点 M，
由题意得：AM⊥MN，ON⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∴∠ACM+∠MAC=90°.
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠NCB=90°，
∴∠MAC=∠NCB.
在△ACM 和△CBN中，
∴△ACM≌△CBN(AAS)，
∴CM=BN，AM=CN，
∵点B的坐标为(0，1)，点 C 的坐标为(-4，4)，
∴点N的坐标为(0，4)，
∴CM=BN=4-1=3，
设点A 的坐标为(a，b)，
则a=-4-3=-7，b=0，
∴A(-7，0)；
（3）解：(1，3)或(4，4)或(3，2)
8．【答案】（1）证明：如图，取AB的中点G，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90°且AB=BC
∵E是BC的中点，G是BA的中点，BA=BC，
∴CE=AG=BE=BG，
∴∠BGE=45°
∴∠EGA=135
∵∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠EGA=∠ECF
∵∠AEF=90°，
∴∠CEF+∠AEB=90°
∵∠BAE+∠AEB=90°
∴∠CEF=∠BAE.
∵∠CEF=∠BAE，CE=AG，∠FCE=∠EGA
∴△FEC≌△EAG.
∴AE=EF
（2）解：①AE=EF仍然成立，理由如下：
在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，如图所示，
则BN=BE，△BEN是等腰直角三角形，
∴∠N=∠NEC=45°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCE=45°，
∴∠N=∠ECF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BE，
∴∠DAE=∠BEA，
即∠DAE+90°=∠BEA+90°，
∴∠NAE=∠CEF，
在△ANE和△ECF中，
∴△ANE≌△ECF(ASA)
∴AE=EF；
②当∠AEF=60°时，结论“AE=EF”成立；理由如下：
作EH//AC交AB于H，如图所示：
则△BEH是等边三角形，
∴BH=EH=BE，∠BHE=60°，
∴∠AHE=120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
∴AH=EC，
∵∠AEF=60°，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠B+HAE，
∴∠CEF=∠HAE，
∵∠ACG=180°-∠ACB=120°，CF平分∠ACG，
∴∠ACF=60°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=120°，
∴∠AHE=∠ECF，
在△AEH和△EFC中，
∴ △AEH≌△EFC(ASA)，
∴ AE=EF；
③证明：作FH⊥CN于H，如图所示：
则∠FHE=90°，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴ ∠B=∠AEF=90°，AB=BC，AE=EF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠HEF=90°，
∴ ∠BAE=∠HEF，
在△ABE和△EHF中，
∴△ABE≌△EHF(AAS)，
∴AB=EH，BE=HF，
∵AB=BC，
∴BC=EH，
∴BE=CH，
∴CH=FH，
∴△CFH是等腰直角三角形
∴ ∠FCN=45°

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