资源简介

1.反比例函数的图象与性质
反比例函数
的符号
图象
图象位置 第一、第三象限 第二、第四象限
性质 增减性 在同一支上，y随x的增大而减小；在两支上，第一象限y值大于第三象限y值 在同一支上，y随x的增大而增大；在两支上，第二象限y值大于第四象限y值
对称性 关于直线，成轴对称； 关于原点成中心对称.
【注意】
①因为反比例函数和反比例函数图象都关于原点对称，故在同一直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象若有交点，则两个交点关于原点对称
②反比例函数图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交
③反比例函数的图象不是连续的，其增减性只能在每个象限内讨论.
2.比例系数k的几何意义
（1）如图，过反比例函数图象上任一点分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,与坐标轴围成的矩形PMON的面积为定值，即.
（2）如图，过双曲线上的任意一点作轴，垂足为，连接，则，即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为.
【注意】因为中有正、负之分，所以在上图中矩形面积为，三角形的面积为，不要漏掉绝对值符号.
3.反比例函数与一次函数的综合
已知一次函数和反比例函数值的大小关系，根据图象确定自变量取值范围的方法
（1）定点：确定两个函数图象的交点坐标.
（2）选段：当横坐标一致时，函数图象在上方时所对应的函数值大于函数图象在下方时所对应的函数值.
（3）确定范围：根据选段确定自变量的取值范围，要特别注意反比例函数中自变量不能为0.
4.常见的反比例函数在实际生活中应用的实例：
类型 关系 公式
路程型 当路程一定时，时间与平均速度成反比例 （是常数）
面积型 矩形 当矩形面积一定时，长与宽成反比例 （是常数）
三角形 当三角形面积一定时，三角形的一边与该边上的高成反比例 （是常数）
物理应用型 做功型 当功一定时，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例 （是常数）
压强型 当压力一定时，压强与受力面积成反比例 （是常数）
电流型 在电路中，当电压一定时，电流与电阻成反比例 （是常数）
1.反比例关系与反比例函数的区别和联系：
（1）如果（为常数，），那么与这两个量成反比例关系，这里和既可以代表单项式，也可以代表多项式.例如：若与反比例，则（为常数，）；若与成反比例，则（为常数，）.
（2）成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系.如表示与成反比例，但不是关于的反比例函数.
2.与比例系数k有关的面积模型
模型 图示 面积
一点一垂线
一点两垂线
两点一垂线
两点两垂线
两双曲线值符号相同
两双曲线值符号相反
一条双曲线上有两点
1.解反比例函数的定义问题
形如（为常数，）的函数叫做反比例函数.解关于反比例函数的定义的问题，要充分利用反比例函数及其另一种表示形式（自变量的指数式）列关于未知数的不等式或方程解之即可.
2.解反比例函数的图象和性质的应用问题
反比例函数（为常数，）的图象是双曲线.当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大.
反比例函数图像的位置和函数的增减性，都是由常数的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.
3.判断点是否在反比例函数图象上的方法
（1）将点的横坐标作为的值代入解析式，计算出的值，看点的纵坐标是否与所求的值相等；（2）看点的横、纵坐标之积是否等于反比例函数的比例系数.
4.比较反比例函数值的大小方法
比较反比例函数的函数值时，在同一分支上的点可以利用函数的增减性通过其横坐标的大小来判断函数值的大小；不在同一分支上的点，依据与轴的相对位置（在轴上方或轴下方）来进行函数值大小的比较.另外，图象法和特殊值法也是解决此类问题的常用方法，图象法形象直观，特殊法简单直接.
5.解反比例函数与一次函数的图象共存问题
此类题分两种情况：（1）已知两个函数中系数的取值范围，直接根据函数中系数的图象位置的关系进行判断；（2）不知两个函数中系数的取值范围，可先根据一种函数图象的位置来确定其系数的取值范围，然后根据该系数来确定另一个函数的图象是否符合要求.
6.解反比例函数中的几何意义问题
根据反比例函数系数的几何意义可知，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，两垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积等于.矩形的对角线把矩形分成两个全等的三角形，其面积都等于，并且矩形（或三角形）的面积不随该点的位置变化而变化.通常利用的几何意义来求有关图形的面积，或利用图形的面积求反比例函数的解析式.
7.解反比例函数与一次函数图象的交点问题
此类题目主要是求两个函数图象的交点坐标或根据交点坐标求两个函数的解析式，以及根据两个函数图象的交点坐标求有关不等式的解集.解此类问题的依据有：① 函数图象的交点坐标满足两函数的解析式；② 不等式的解集就是其所对应函数的图象上满足条件的所有点的横坐标的集合.

展开更多......

收起↑