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习题课4　整体法与隔离法　平衡中的临界、极值问题
核心 目标 1．理解整体法、隔离法的选用原则，会根据情境，恰当选择研究对象，选择适当方法求解平衡问题．
2．理解临界、极值问题的特征，会运用物理和数学的方法求解简单的临界、极值问题．
类型1　用整体法与隔离法处理平衡问题
1．整体法和隔离法选用的原则
整体法 隔离法
选用原则 研究系统外的物体对系统整体的作用力 研究系统内物体之间的相互作用力
注意问题 进行受力分析时不需再考虑系统内物体间的相互作用 一般隔离受力__较少__的物体
说明 解决问题时常交替使用整体法与隔离法
2．分析多物体的平衡问题，关键是研究对象的选取，若一个系统中涉及两个或两个以上的物体，在选取研究对象时，要灵活运用整体法和隔离法．对于多物体问题，如果不求物体间的相互作用力，我们优先采用__整体法__，这样涉及的研究对象少，未知量少，求解简便．
　(2025·汕头期末)用三根细线a、b、c将重力均为G的两个小球1和2连接，并悬挂如图所示．两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线c水平．则细线b对小球2的拉力大小为(　A　)
　
A．G B．G
C．G D．G
解析：将两球和细线b看成一个整体，对整体受力分析，如图所示．根据共点力的平衡条件有Fc＝2G tan 30°＝2×G×＝G，对小球2，根据受力平衡有，细线b对小球2的拉力大小F＝＝G，故选A．
　(2025·广州期末)如图所示，两个相同的物块m用两根长度相等的轻杆连接，轻杆连接处可自由活动，将物块放在挡板间，在轻杆的连接处O点悬挂一个物块M，三个物块组成的系统处于静止状态．若在M上粘上一小物体，系统仍静止，则(　C　)
A．轻杆受到的力变小
B．m受到的摩擦力不变
C．挡板对m的支持力变大
D．挡板对m的支持力不变
解析：将三物块看成一个整体，如图(a)所示，则有f＝，若在M上放上一小物体，则G变大，摩擦力f也变大，B错误；对连接点O进行受力分析，如图(b)所示，当G变大时，由F＝，则杆受到的力也变大，A错误；对左侧物块进行受力分析，如图(c)所示，则有FN＝F′sin θ，由于F′变大，则FN也变大，C正确，D错误．
(a)
(b)
(c)
类型2　平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
(1) 临界状态：物体的平衡状态将要发生变化的状态．
(2) 临界问题：涉及临界状态的问题，临界问题的描述中经常出现“刚好”、“恰好”等词语．
(3) 分析方法：处理这类问题常用假设推理法，也就是先假设，再根据平衡条件及有关知识列平衡方程，最后求解．
(4) 常见的临界状态
状态 临界条件
两接触物体脱离与不脱离 相互作用力为__0__
绳子断与不断 绳中张力达到__最大__
绳子绷紧与松弛 绳中张力为__0__
存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止 静摩擦力达到__最大__
2．解决临界、极值问题时应注意的问题
(1) 求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点．
(2) 临界条件应在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个量推向极端，即极大或极小，并依此做出推理分析，给出判断或导出结论．
　(2024·江门期末)如图所示，解放军战士在水平地面上拉着轮胎进行负荷训练，运动过程中保持绳子与水平面间的夹角θ恒为53°，轮胎质量m为50 kg，取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6．
(1) 当轮胎做匀速直线运动时，若地面对轮胎的阻力大小为150 N，求绳中的拉力T大小和轮胎对地面的压力大小．
(2) 若训练的过程中，为确保轮胎不飞离地面，求绳中拉力的最大值Tm的大小．
答案：(1) 250 N　300 N　(2) 625 N
解析：(1) 轮胎做匀速直线运动，根据平衡条件可得
T cos θ＝f，FN＋T sin θ＝mg
解得T＝250 N，FN＝300 N
根据牛顿第三定律，轮胎对地面的压力大小为
F′N＝FN＝300 N
(2) 为确保轮胎不飞离地面，有
FN＋Tmsin θ＝mg，FN≥0
可得Tm≤625 N
绳中拉力的最大值大小为Tm＝625 N
求解平衡问题中临界、极值的方法
解析法 根据物体的平衡条件列方程，在解方程时，有时采用数学知识求极值，有时根据物理临界条件求极值
图解法 根据物体的平衡条件作出物体的受力分析图，画出平行四边形或矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值
极限法 极限法是指通过恰当选取某个变化的量将问题推向极端，把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化
1．(2024·东莞期末)如图所示，倾角为α、质量为M的斜面体静止在水平桌面上，质量为m的木块静止在斜面体上，下列说法中正确的是(重力加速度为g)(　D　)
A．木块受到的摩擦力大小是mg cos α
B．木块受到斜面体的支持力大小是mg sin α
C．桌面对斜面体的摩擦力大小是mg sin αcos α
D．桌面对斜面体的支持力大小是(M＋m)g
解析：先对木块受力分析，如图所示，受重力mg、支持力FN和静摩擦力f，根据平衡条件有f＝mg sin α，FN＝mg cos α，故A、B错误；对木块和斜面体整体受力分析，受重力和支持力，二力平衡，故桌面对斜面体的支持力为FN＝(M＋m)g，摩擦力为零，故C错误，D正确．
2．如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R，C的质量为m，A、B的质量都为，与地面间的动摩擦因数均为μ．现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面．整个过程中B保持静止．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g．求：
(1) 未拉A时，B对C的作用力大小F．
(2) 满足题中条件的μ的最小值μmin．
答案：(1) mg　(2)
解析：(1) C受力平衡，如图所示
根据平衡条件可得2Fcos 30°＝mg
解得C受到B作用力的大小为F＝mg
(2) C恰好降落到地面时，B对C支持力最大为Fm，如图所示
则根据力的平衡可得2Fmcos 60°＝mg
解得Fm＝mg
所以最大静摩擦力至少为fm＝Fmcos 30°＝mg
B对地面的压力为FN＝mBg＋mCg＝mg
B受地面的摩擦力为f＝μFN＝μmg
根据题意有fm＝f
解得μ＝
所以动摩擦因数的最小值为μmin＝
1．(2025·安徽黄山期末)如图甲为明朝《天工开物》记载测量“弓弦”张力的插图，图乙为示意图，弓的质量为m＝5 kg，弦的质量忽略不计，悬挂点为弦的中点．当在弓的中点悬挂质量为M＝15 kg的重物，弦的张角为θ＝120°，取g＝10 m/s2，则弦的张力为(　C　)
甲
乙
A．50 N B．150 N
C．200 N D．200 N
解析：以弓和弓的中点悬挂重物为整体，根据受力平衡可得2T cos 60°＝(m＋M)g，解得弦的张力为T＝200 N，故选C．
2．如图所示的风向测试仪上有五个浮球彼此用轻绳连接，悬挂于空中．假设风力水平稳定，测试仪发生倾斜，绳与竖直方向的夹角为30°，设每个浮球的质量为m．由上往下第一只浮球对第二只浮球的拉力的大小为(　C　)
A．2mg B．mg
C．mg D．8mg
解析：根据受力分析，设风力为F，第一只浮球对第二只浮球的拉力为T，把下面四个浮球看作一个整体，对其受力分析，可列出平衡方程T cos 30°＝4mg，解得T＝mg，故选C．
3．(多选)如图所示，人的重力为 600 N，木板重力为400 N，人与木板、木板与地面间的动摩擦因数皆为0.2．现在人用水平力拉绳，使他与木板一起向右匀速运动，则(　BC　)
A．人拉绳的力是200 N
B．人拉绳的力是100 N
C．人的脚给木板的摩擦力向右
D．人的脚给木板的摩擦力向左
解析：把人与木板看成一个整体，绳拉人与绳拉木板的力都为T，根据平衡条件有2T＝μFN＝μ(G1＋G2)，所以T＝100 N，即人拉绳的力也是100 N，故A错误，B正确；以人为研究对象，人处于平衡状态，其中绳对人的拉力向右，因而木板对人的静摩擦力向左，人对木板的静摩擦力方向向右，故C正确，D错误．
4．(2024·安徽合肥一中)如图所示，工地上的建筑工人用砖夹搬运四块相同的砖，假设每块砖的质量均为m，砖与砖夹间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当砖处于平衡状态时，则右边砖夹对砖施加的水平力最小为(　C　)
A． B．
C． D．
解析：以四块砖为研究对象，进行受力分析，砖处于平衡状态，则砖受到的摩擦力与其重力大小相等，即f1＋f2＝4mg，当砖恰好处于平衡状态时，砖夹对砖施加的力最小，则有f1＝f2＝μF，联立两式可得F＝，即右边砖夹对砖施加的水平力最小为F＝，C正确．
5．(2024·中山期末统考)(多选)如图所示，重力为G的休闲吊椅，质量分布均匀，用两竖直链条悬挂在天花板上，竖直链条的下部各自固定另一链条对称地连接到吊椅上，底部链条两侧夹角为θ＝60°，吊椅呈水平状态，不计链条重力，则(　BD　)
A．任一竖直链条中的拉力大小为G
B．任一竖直链条中的拉力大小为 G
C．任一底部链条中的拉力大小为 G
D．任一底部链条中的拉力大小为 G
解析：两竖直链条的拉力大小相等，方向竖直向上，根据平衡条件可得，任一竖直链条中的拉力大小为G，故A错误，B正确；底部链条两侧夹角为θ＝60°，则根据平衡条件有G＝2F cos ，解得任一底部链条中的拉力大小为F＝G，故C错误，D正确．
6．如图所示，两段等长细线串接着两个质量相等的小球a、b，悬挂于O点．在两个小球上分别加上水平方向的外力，其中作用在b球上的力大小为F，作用在a球上的力大小为2F，则此装置平衡时的位置可能是下列哪幅图(　B　)
　　　　　　
A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　D
解析：对a、b整体，受重力、上边绳拉力、F和2F，四力平衡，因此上边绳向右偏．假设Oa间细线与竖直方向夹角为α，a、b间细线与竖直方向夹角为β，对a、b整体受力分析，可得tan α＝，tan β＝，因此α＜β，故B正确，A、C、D错误．
7．将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线l悬挂于O点，如图所示．用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线l与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F的最小值为(　B　)
A．mg B．mg
C．mg D．mg
解析：将两小球视为整体受力分析，并合成矢量三角形，可知当F与绳子拉力垂直时，有最小值，Fmin＝2mg sin 30°＝mg，B正确，A、C、D错误．
8．(2025·深圳宝安期中)用三根细线a、b、c将两个小球1和2连接并悬挂，如图所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为37°，细线c水平，小球1和小球2的质量均为2m，重力加速度为g．取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1) 细线a、c分别对小球1和2的拉力大小．
(2) 细线b对小球2的拉力大小．
答案：(1) 5mg　3mg　(2) mg
解析：(1) 以两个小球整体为研究对象，受力分析如图所示
则根据平衡条件可知
Fa＝＝5mg，Fc＝4mg tan 37°＝3mg
(2) 以小球2为研究对象，受力分析如图所示
则Fb＝＝mg
9．(2025·安徽马鞍山期末)一根轻质细绳上端固定，串联着三个质量不同的小球，从上到下小球的质量分别为2 kg、3 kg、1 kg，三个小球均受到水平向左且大小恒定相等的风力．当三个小球稳定静止时，其实际形态最接近的是(　A　)
　　　　　　
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
解析：令m1＝2m、m2＝3m、m3＝m，绳子与竖直方向夹角如图所示，则tan θ1＝＝＝，tan θ2＝＝＝，tan θ3＝＝，所以θ1＝θ2＜θ3，故选A．
10．如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行．A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为(　C　)
A． B．
C． D．
11．(2025·惠州期末)2024年11月，在中国教育学会物理教学专业委员会举办的科学晚会中，图(a)所示的节目《拱形的奥秘》揭示了拱形结构在建筑中的广泛应用，图(b)是两位老师搭建的拱桥模型简化图，整个模型静止在水平桌面上．构件1与构件3相对正中央的构件2左右对称，假设构件2的左右两侧面与竖直方向夹角均为θ＝37°，构件1、2、3质量均为m，构件1、3与水平桌面间动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其余摩擦力忽略不计，重力加速度大小为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
图(a)
图(b)
(1) 构件1对构件2的弹力大小．
(2) 构件1对水平桌面的压力大小．
(3) 构件1、3与桌面间动摩擦因数μ的最小值．
答案：(1) mg　(2) 1.5mg　(3)
解析：(1) 由对称性可知，构件1、3对构件2的弹力大小相等，设为F．
对构件2受力分析如图所示
由平衡条件可得2F sin 37°＝mg
解得F＝mg
(2) 由对称性可知，桌面对构件1、3的支持力大小相等，对构件1、3的摩擦力大小也相等．把三块构件看成一个整体，受力分析如图所示，由平
衡条件可得2FN＝3mg
解得FN＝1.5mg
(3) 对构件1受力分析如图所示，由平衡条件可得
f＝F′cos 37°＝F cos 37°
若系统刚好静止，μ最小，则f＝μ minFN
解得μ min＝(共45张PPT)
第三章
相互作用——力
习题课4　整体法与隔离法　平衡中的临界、极值问题
核心 目标 1．理解整体法、隔离法的选用原则，会根据情境，恰当选择研究对象，选择适当方法求解平衡问题．
2．理解临界、极值问题的特征，会运用物理和数学的方法求解简单的临界、极值问题．
能力提升 典题固法
用整体法与隔离法处理平衡问题
1．整体法和隔离法选用的原则
类型
1
整体法 隔离法
选用原则 研究系统外的物体对系统整体的作用力 研究系统内物体之间的相互作用力
注意问题 进行受力分析时不需再考虑系统内物体间的相互作用 一般隔离受力　较少　的物体
说明 解决问题时常交替使用整体法与隔离法 2．分析多物体的平衡问题，关键是研究对象的选取，若一个系统中涉及两个或两个以上的物体，在选取研究对象时，要灵活运用整体法和隔离法．对于多物体问题，如果不求物体间的相互作用力，我们优先采用　整体法　，这样涉及的研究对象少，未知量少，求解简便．
　　　(2025·汕头期末)用三根细线a、b、c将重力均为G的两个小球1和2连接，并悬挂如图所示．两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线c水平．则细线b对小球2的拉力大小为 (　　)
1
A
　　　(2025·广州期末)如图所示，两个相同的物块m用两根长度相等的轻杆连接，轻杆连接处可自由活动，将物块放在挡板间，在轻杆的连接处O点悬挂一个物块M，三个物块组成的系统处于静止状态．若在M上粘上一小物体，系统仍静止，则 (　　)
A．轻杆受到的力变小
B．m受到的摩擦力不变
C．挡板对m的支持力变大
D．挡板对m的支持力不变
2
C
(a) 　　　(b) 　　　(c)
平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
(1) 临界状态：物体的平衡状态将要发生变化的状态．
(2) 临界问题：涉及临界状态的问题，临界问题的描述中经常出现“刚好”、“恰好”等词语．
(3) 分析方法：处理这类问题常用假设推理法，也就是先假设，再根据平衡条件及有关知识列平衡方程，最后求解．
类型
2
(4) 常见的临界状态
状态 临界条件
两接触物体脱离与不脱离 相互作用力为　0　.
绳子断与不断 绳中张力达到　最大　.
绳子绷紧与松弛 绳中张力为　0　.
存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止 静摩擦力达到　最大　.
2．解决临界、极值问题时应注意的问题
(1) 求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点．
(2) 临界条件应在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个量推向极端，即极大或极小，并依此做出推理分析，给出判断或导出结论．
　　　(2024·江门期末)如图所示，解放军战士在水平地面上拉着轮胎进行负荷训练，运动过程中保持绳子与水平面间的夹角θ恒为53°，轮胎质量m为50 kg，取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6．
3
(1) 当轮胎做匀速直线运动时，若地面对轮胎的阻力大小为150 N，求绳中的拉力T大小和轮胎对地面的压力大小．
答案：(1) 250 N　300 N
解析：(1) 轮胎做匀速直线运动，根据平衡条件可得
T cos θ＝f，FN＋T sin θ＝mg
解得T＝250 N，FN＝300 N
根据牛顿第三定律，轮胎对地面的压力大小为
F′N＝FN＝300 N
(2) 若训练的过程中，为确保轮胎不飞离地面，求绳中拉力的最大值Tm的大小．
答案：(2) 625 N
解析：(2) 为确保轮胎不飞离地面，有FN＋Tmsin θ＝mg，FN≥0
可得Tm≤625 N
绳中拉力的最大值大小为Tm＝625 N
求解平衡问题中临界、极值的方法
解析法 根据物体的平衡条件列方程，在解方程时，有时采用数学知识求极值，有时根据物理临界条件求极值
图解法 根据物体的平衡条件作出物体的受力分析图，画出平行四边形或矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值
极限法 极限法是指通过恰当选取某个变化的量将问题推向极端，把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化
随堂内化 即时巩固
1．(2024·东莞期末)如图所示，倾角为α、质量为M的斜面体静止在水平桌面上，质量为m的木块静止在斜面体上，下列说法中正确的是(重力加速度为g)(　　)
A．木块受到的摩擦力大小是mg cos α
B．木块受到斜面体的支持力大小是mg sin α
C．桌面对斜面体的摩擦力大小是mg sin αcos α
D．桌面对斜面体的支持力大小是(M＋m)g
D
解析：先对木块受力分析，如图所示，受重力mg、支持力FN和静摩擦力f，根据平衡条件有f＝mg sin α，FN＝mg cos α，故A、B错误；对木块和斜面体整体受力分析，受重力和支持力，二力平衡，故桌面对斜面体的支持力为FN＝(M＋m)g，摩擦力为零，故C错误，D正确．
(1) 未拉A时，B对C的作用力大小F．
解析：(1) C受力平衡，如图所示
根据平衡条件可得2Fcos 30°＝mg
(2) 满足题中条件的μ的最小值μmin．
解析：(2) C恰好降落到地面时，B对C支持力
最大为Fm，如图所示
则根据力的平衡可得2Fmcos 60°＝mg
解得Fm＝mg
配套新练案
1．(2025·安徽黄山期末)如图甲为明朝《天工开物》记载测量“弓弦”张力的插图，图乙为示意图，弓的质量为m＝5 kg，弦的质量忽略不计，悬挂点为弦的中点．当在弓的中点悬挂质量为M＝15 kg的重物，弦的张角为θ＝120°，取g＝10 m/s2，则弦的张力为 (　　)
C
甲
乙
解析：以弓和弓的中点悬挂重物为整体，根据受力平衡可得2T cos 60°＝(m＋M)g，解得弦的张力为T＝200 N，故选C．
2．如图所示的风向测试仪上有五个浮球彼此用轻绳连接，悬挂于空中．假设风力水平稳定，测试仪发生倾斜，绳与竖直方向的夹角为30°，设每个浮球的质量为m．由上往下第一只浮球对第二只浮球的拉力的大小为 (　　)
C
3．(多选)如图所示，人的重力为 600 N，木板重力为400 N，人与木板、木板与地面间的动摩擦因数皆为0.2．现在人用水平力拉绳，使他与木板一起向右匀速运动，则 (　 　)
A．人拉绳的力是200 N B．人拉绳的力是100 N
C．人的脚给木板的摩擦力向右 D．人的脚给木板的摩擦力向左
BC
解析：把人与木板看成一个整体，绳拉人与绳拉木板的力都为T，根据平衡条件有2T＝μFN＝μ(G1＋G2)，所以T＝100 N，即人拉绳的力也是100 N，故A错误，B正确；以人为研究对象，人处于平衡状态，其中绳对人的拉力向右，因而木板对人的静摩擦力向左，人对木板的静摩擦力方向向右，故C正确，D错误．
4．(2024·安徽合肥一中)如图所示，工地上的建筑工人用砖夹搬运四块相同的砖，假设每块砖的质量均为m，砖与砖夹间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当砖处于平衡状态时，则右边砖夹对砖施加的水平力最小为 (　　)
C
5．(2024·中山期末统考)(多选)如图所示，重力为G的休闲吊椅，质量分布均匀，用两竖直链条悬挂在天花板上，竖直链条的下部各自固定另一链条对称地连接到吊椅上，底部链条两侧夹角为θ＝60°，吊椅呈水平状态，不计链条重力，则
(　 　)
BD
6．如图所示，两段等长细线串接着两个质量相等的小球a、b，悬挂于O点．在两个小球上分别加上水平方向的外力，其中作用在b球上的力大小为F，作用在a球上的力大小为2F，则此装置平衡时的位置可能是下列哪幅图 (　　)
B
A　　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　D
7．将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线l悬挂于O点，如图所示．用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线l与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F的最小值为 (　　)
B
解析：将两小球视为整体受力分析，并合成矢量三角形，可知当F与绳子拉力垂直时，有最小值，Fmin＝2mg sin 30°＝mg，B正确，A、C、D错误．
8．(2025·深圳宝安期中)用三根细线a、b、c将两个小球1和2连接并悬挂，如图所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为37°，细线c水平，小球1和小球2的质量均为2m，重力加速度为g．取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1) 细线a、c分别对小球1和2的拉力大小．
答案：(1) 5mg　3mg
(2) 细线b对小球2的拉力大小．
解析：(2) 以小球2为研究对象，受力分析如图所示
9．(2025·安徽马鞍山期末)一根轻质细绳上端固定，串联着三个质量不同的小球，从上到下小球的质量分别为2 kg、3 kg、1 kg，三个小球均受到水平向左且大小恒定相等的风力．当三个小球稳定静止时，其实际形态最接近的是 (　　)
A
A　　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　D
10．如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行．A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为 (　　)
C
11．(2025·惠州期末)2024年11月，在中国教育学会物理教学专业委员会举办的科学晚会中，图(a)所示的节目《拱形的奥秘》揭示了拱形结构在建筑中的广泛应用，图(b)是两位老师搭建的拱桥模型简化图，整个模型静止在水平桌面上．构件1与构件3相对正中央的构件2左右对称，假设构件2的左右两侧面与竖直方向夹角均为θ＝37°，构件1、2、3质量均为m，构件1、3与水平桌面间动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其余摩擦力忽略不计，重力加速度大小为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
图(a)
图(b)
(1) 构件1对构件2的弹力大小．
图(a)
图(b)
解析：(1) 由对称性可知，构件1、3对构件2的弹力大小相等，设为F．
对构件2受力分析如图所示
由平衡条件可得2F sin 37°＝mg
(2) 构件1对水平桌面的压力大小．
答案：(2) 1.5mg
图(a)
图(b)
解析：(2) 由对称性可知，桌面对构件1、3的支持力大小相等，对构件1、3的摩擦力大小也相等．把三块构件看成一个整体，受力分析如图所示，由平衡条件可得2FN＝3mg
解得FN＝1.5mg
(3) 构件1、3与桌面间动摩擦因数μ的最小值．
图(a)
图(b)
解析：(3) 对构件1受力分析如图所示，由平衡条件可得
f＝F′cos 37°＝F cos 37°
若系统刚好静止，μ最小，则f＝μ minFN
谢谢观赏习题课4　整体法与隔离法　平衡中的临界、极值问题
核心 目标 1．理解整体法、隔离法的选用原则，会根据情境，恰当选择研究对象，选择适当方法求解平衡问题．
2．理解临界、极值问题的特征，会运用物理和数学的方法求解简单的临界、极值问题．
类型1　用整体法与隔离法处理平衡问题
1．整体法和隔离法选用的原则
整体法 隔离法
选用原则 研究系统外的物体对系统整体的作用力 研究系统内物体之间的相互作用力
注意问题 进行受力分析时不需再考虑系统内物体间的相互作用 一般隔离受力__较少__的物体
说明 解决问题时常交替使用整体法与隔离法
2．分析多物体的平衡问题，关键是研究对象的选取，若一个系统中涉及两个或两个以上的物体，在选取研究对象时，要灵活运用整体法和隔离法．对于多物体问题，如果不求物体间的相互作用力，我们优先采用__整体法__，这样涉及的研究对象少，未知量少，求解简便．
　(2025·汕头期末)用三根细线a、b、c将重力均为G的两个小球1和2连接，并悬挂如图所示．两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线c水平．则细线b对小球2的拉力大小为(　　)
　
A．G B．G
C．G D．G
　(2025·广州期末)如图所示，两个相同的物块m用两根长度相等的轻杆连接，轻杆连接处可自由活动，将物块放在挡板间，在轻杆的连接处O点悬挂一个物块M，三个物块组成的系统处于静止状态．若在M上粘上一小物体，系统仍静止，则(　　)
A．轻杆受到的力变小
B．m受到的摩擦力不变
C．挡板对m的支持力变大
D．挡板对m的支持力不变
类型2　平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
(1) 临界状态：物体的平衡状态将要发生变化的状态．
(2) 临界问题：涉及临界状态的问题，临界问题的描述中经常出现“刚好”、“恰好”等词语．
(3) 分析方法：处理这类问题常用假设推理法，也就是先假设，再根据平衡条件及有关知识列平衡方程，最后求解．
(4) 常见的临界状态
状态 临界条件
两接触物体脱离与不脱离 相互作用力为__0__
绳子断与不断 绳中张力达到__最大__
绳子绷紧与松弛 绳中张力为__0__
存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止 静摩擦力达到__最大__
2．解决临界、极值问题时应注意的问题
(1) 求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点．
(2) 临界条件应在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个量推向极端，即极大或极小，并依此做出推理分析，给出判断或导出结论．
　(2024·江门期末)如图所示，解放军战士在水平地面上拉着轮胎进行负荷训练，运动过程中保持绳子与水平面间的夹角θ恒为53°，轮胎质量m为50 kg，取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6．
(1) 当轮胎做匀速直线运动时，若地面对轮胎的阻力大小为150 N，求绳中的拉力T大小和轮胎对地面的压力大小．
(2) 若训练的过程中，为确保轮胎不飞离地面，求绳中拉力的最大值Tm的大小．
求解平衡问题中临界、极值的方法
解析法 根据物体的平衡条件列方程，在解方程时，有时采用数学知识求极值，有时根据物理临界条件求极值
图解法 根据物体的平衡条件作出物体的受力分析图，画出平行四边形或矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值
极限法 极限法是指通过恰当选取某个变化的量将问题推向极端，把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化
1．(2024·东莞期末)如图所示，倾角为α、质量为M的斜面体静止在水平桌面上，质量为m的木块静止在斜面体上，下列说法中正确的是(重力加速度为g)(　　)
A．木块受到的摩擦力大小是mg cos α
B．木块受到斜面体的支持力大小是mg sin α
C．桌面对斜面体的摩擦力大小是mg sin αcos α
D．桌面对斜面体的支持力大小是(M＋m)g
2．如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R，C的质量为m，A、B的质量都为，与地面间的动摩擦因数均为μ．现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面．整个过程中B保持静止．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g．求：
(1) 未拉A时，B对C的作用力大小F．
(2) 满足题中条件的μ的最小值μmin．
1．(2025·安徽黄山期末)如图甲为明朝《天工开物》记载测量“弓弦”张力的插图，图乙为示意图，弓的质量为m＝5 kg，弦的质量忽略不计，悬挂点为弦的中点．当在弓的中点悬挂质量为M＝15 kg的重物，弦的张角为θ＝120°，取g＝10 m/s2，则弦的张力为(　　)
甲
乙
A．50 N B．150 N
C．200 N D．200 N
2．如图所示的风向测试仪上有五个浮球彼此用轻绳连接，悬挂于空中．假设风力水平稳定，测试仪发生倾斜，绳与竖直方向的夹角为30°，设每个浮球的质量为m．由上往下第一只浮球对第二只浮球的拉力的大小为(　　)
A．2mg B．mg
C．mg D．8mg
3．(多选)如图所示，人的重力为 600 N，木板重力为400 N，人与木板、木板与地面间的动摩擦因数皆为0.2．现在人用水平力拉绳，使他与木板一起向右匀速运动，则(　　)
A．人拉绳的力是200 N
B．人拉绳的力是100 N
C．人的脚给木板的摩擦力向右
D．人的脚给木板的摩擦力向左
4．(2024·安徽合肥一中)如图所示，工地上的建筑工人用砖夹搬运四块相同的砖，假设每块砖的质量均为m，砖与砖夹间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当砖处于平衡状态时，则右边砖夹对砖施加的水平力最小为(　)
A． B．
C． D．
5．(2024·中山期末统考)(多选)如图所示，重力为G的休闲吊椅，质量分布均匀，用两竖直链条悬挂在天花板上，竖直链条的下部各自固定另一链条对称地连接到吊椅上，底部链条两侧夹角为θ＝60°，吊椅呈水平状态，不计链条重力，则(　　)
A．任一竖直链条中的拉力大小为G
B．任一竖直链条中的拉力大小为 G
C．任一底部链条中的拉力大小为 G
D．任一底部链条中的拉力大小为 G
6．如图所示，两段等长细线串接着两个质量相等的小球a、b，悬挂于O点．在两个小球上分别加上水平方向的外力，其中作用在b球上的力大小为F，作用在a球上的力大小为2F，则此装置平衡时的位置可能是下列哪幅图(　　)
　　　　　　
A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　D
7．将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线l悬挂于O点，如图所示．用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线l与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F的最小值为(　　)
A．mg B．mg
C．mg D．mg
8．(2025·深圳宝安期中)用三根细线a、b、c将两个小球1和2连接并悬挂，如图所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为37°，细线c水平，小球1和小球2的质量均为2m，重力加速度为g．取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1) 细线a、c分别对小球1和2的拉力大小．
(2) 细线b对小球2的拉力大小．
9．(2025·安徽马鞍山期末)一根轻质细绳上端固定，串联着三个质量不同的小球，从上到下小球的质量分别为2 kg、3 kg、1 kg，三个小球均受到水平向左且大小恒定相等的风力．当三个小球稳定静止时，其实际形态最接近的是(　　)
　　　　　　
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
10．如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行．A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为(　　)
A． B．
C． D．
11．(2025·惠州期末)2024年11月，在中国教育学会物理教学专业委员会举办的科学晚会中，图(a)所示的节目《拱形的奥秘》揭示了拱形结构在建筑中的广泛应用，图(b)是两位老师搭建的拱桥模型简化图，整个模型静止在水平桌面上．构件1与构件3相对正中央的构件2左右对称，假设构件2的左右两侧面与竖直方向夹角均为θ＝37°，构件1、2、3质量均为m，构件1、3与水平桌面间动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其余摩擦力忽略不计，重力加速度大小为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
图(a)
图(b)
(1) 构件1对构件2的弹力大小．
(2) 构件1对水平桌面的压力大小．
(3) 构件1、3与桌面间动摩擦因数μ的最小值．

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