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习题课5　“等时圆”模型与传送带模型
核心 目标 1．理解等时圆原理，能处理物块在等时圆上运动的问题．
2．理解物块在水平、倾斜传送带上的运动特征．
模型1　“等时圆”模型
1．模型特征
(1) 质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示．
甲
乙
丙
(2) 质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示．
(3) 两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示．
2．思维模板
　(2024·安徽马鞍山二中)如图所示，球壳内有三条弦OA、OB、OC，O为球内的最低点，它们与水平面间的夹角分别为60°、45°、30°．三个光滑的小环分别从A、B、C处由静止沿所在弦下滑，运动到最低点所用的时间分别为tA、tB、tC，则三者之间大小关系为(　A　)
A．tA＝tB＝tC B．tA＜tB＜tC
C．tA＞tB＞tC D．tA＝tC＞tB
解析：设弦与竖直方向夹角为θ，球的半径为R，由小环沿弦做匀加速运动有2R cos θ＝gt2cos θ，解得运动时间为t＝2，与θ无关，所以小环运动到最低点的时间相等，故选A．
模型2　水平传送带
类型 物体运动情况
(1) 可能一直加速 (2) 可能先加速，后匀速
(1) v0＞v时，可能一直减速，也可能先减速，再匀速 (2) v0＝v时，一直匀速 (3) v0＜v时，可能一直加速，也可能先加速，再匀速
(1) 传送带较短时，物体一直减速到达左端 (2) 传送带足够长，①v≥v0时，物体先向左减速，再向右加速回到右端 ②v＜v0时，物体先向左减速，再向右加速，最后匀速，回到右端时速度大小为v
　(2025·大湾区期末)如图所示，水平放置的传送带沿顺时针方向以速度v＝4 m/s运行，现将一物体(可视为质点)轻轻地放在传送带A端，物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，若A端与B端相距8 m，则物体由A端到B端的时间是(取g＝10 m/s2)(　B　)
A．2 s B．3 s
C．4 s D．5 s
解析：共速前，物体做匀加速运动，根据牛顿第二定律可知，其加速度为a＝＝μg＝2 m/s2，物体匀加速运动的时间t1＝＝2 s，物体匀加速运动的位移x1＝at2＝4 m，故物体匀速运动的时间t2＝＝1 s，故物体由A端到B端的时间t＝t1＋t2＝3 s，故选B．
　(2024·阳江期末)(多选)如图所示，足够长的传送带绷紧后以恒定速率v1＝2 m/s运行，其右端与等高的足够长的光滑水平面平滑连接．一小物块以v2＝4 m/s的速度从传送带右端滑上传送带．已知传送带与小物块间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2，小物块滑上传送带右端后(　ACD　)
A．向左运动的最大距离为1.6 m
B．减速到零时所用时间为0.4 s
C．再次回到传送带右端所用的时间为1.8 s
D．在3 s内的位移大小为2.4 m
解析：小物块滑上传送带后加速度a＝μg＝5 m/s2，向左运动的最大距离x1＝＝1.6 m，A正确；小物块滑上传送带后减速到零所用时间t1＝＝0.8 s，B错误；此后小物块加速到和传送带共速所用时间t2＝＝0.4 s，此过程向右位移x2＝＝0.4 m，再向右运动x1－x2回到传送带右端，此过程用时t3＝＝0.6 s，所以再次回到传送带右端所用的时间为t＝t1＋t2＋t3＝1.8 s，C正确；依题意，小物块回到传送带右端后，将继续在光滑水平面上做匀速运动，则3 s内的位移x＝v1(3－t)＝2.4 m，D正确．
求解传送带问题的策略
模型3　倾斜传送带
类型 物体运动情况
(1)可能一直加速 (2)可能先加速，后匀速
(1)可能一直加速 (2)可能先加速，后匀速 (3)可能先以a1加速，后以a2加速
(1)可能一直加速 (2)可能先加速，后匀速 (3)可能一直匀速 (4)可能先以a1加速，后以a2加速 (5)可能先减速，后匀速
(1) 可能一直加速 (2) 可能一直匀速 (3) 可能一直减速 (4) 可能先减速，后反向加速
　(2024·广州番禺期末质监)(多选)如图所示，飞机场运输行李的传送带保持恒定的速率运行，将行李箱无初速度地放在传送带底端，传送带将它送入飞机货舱．此过程中行李箱的速度为 v、加速度为 a、摩擦力为 f、位移为 x，设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，下列图像可能正确的有(　AC　)
　　　　　　　　　
A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D
解析：行李箱先向上做匀加速运动，此时的v－t图像是倾斜的直线，x－t图像为曲线，a－t图像是平行于t轴的直线；当与传送带共速后做匀速运动，则此时的v－t线是平行于t轴的直线，x－t图像是倾斜的直线，加速度a为零，A正确，B、D错误；加速时传送带对行李箱的摩擦力f1＝mg sin θ＋ma，匀速时 f2＝mg sin θ＜f1，C正确．
　如图所示，传送带与地面倾角θ＝37°，从A到B长度为16 m，传送带以10 m/s的速度逆时针转动．在传送带上端A无初速地放一个质量m＝0.5 kg的黑色煤块，它与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5，煤块在传送带上经过会留下黑色划痕．取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2．
(1) 求煤块从A到B运动的时间．
(2) 若传送带逆时针运转的速度可以调节，求煤块从A点到达B点的最短时间．
(3) 求煤块从A到B的过程中，传送带上形成划痕的长度．
答案：(1) 2 s　(2) s　(3) 5 m
解析：(1) 开始阶段，由牛顿第二定律得
mg sin θ＋μmg cos θ＝ma1
所以a1＝g sin θ＋μg cos θ
解得a1＝10 m/s2
煤块加速至与传送带速度相等时需要的时间为t1＝＝ s＝1 s
煤块加速至与传送带速度相等时，煤块的位移为
x1＝a1t＝5 m＜16 m
所以煤块加速到10 m/s时仍未到达B点，此时摩擦力方向改变．
第二阶段有mg sin θ－μmg cos θ＝ma2
解得a2＝2 m/s2
设第二阶段煤块滑动到B的时间为t2，则LAB－x1＝vt2＋a2t
解得t2＝1 s
煤块从A到B的时间 t＝t1＋t2＝2 s
(2) 若增加传送带的速度，煤块一直以加速度a1做匀加速运动时，从A运动到B的时间最短，则有LAB＝a1t
解得tmin＝ s
(3) 第一阶段煤块的速度小于传送带速度，煤块相对传送带向上移动，煤块与传送带的相对位移大小为
Δx1＝vt1－x1＝10×1 m－5 m＝5 m
故煤块相对于传送带上移5 m
第二阶段煤块的速度大于传送带速度，煤块相对传送带向下移动，煤块相对于传送带的位移大小为
Δx2＝(LAB－x1)－vt2
解得Δx2＝1 m，即煤块相对传送带下移1 m
故传送带表面留下黑色炭迹的长度为s＝Δx1＝5 m
划痕问题的求解方法
滑块与传送带的划痕长度Δs等于滑块与传送带的相对位移的大小，若有两次相对运动且两次相对运动方向相同，Δs＝Δs1＋Δs2(如图甲所示)；若两次相对运动方向相反，Δs等于较长的相对位移大小(如图乙所示)．
甲
乙
1．如图所示，四根光滑杆AB、BC、AD、DC被固定成一个平行四边形ABCD．四个顶点恰好位于同一个圆上，且A、C两点是圆的最高点和最低点，圆的半径为R．四个相同的光滑圆环a、b、c、d分别套在四根杆的上端由静止释放，不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　C　)
A．圆环a滑到B端的时间比圆环b滑到C端的时间短
B．圆环b滑到C端的时间比圆环d滑到C端的时间长
C．四个圆环到达各自杆的底端所用时间都相同
D．四个圆环到达各自杆的底端所用时间各不相同
解析：设杆AB长为l，与水平方向的夹角为θ，圆环的质量为 m，对圆环a，根据牛顿第二定律可得mg sin θ＝ma，可得a＝g sin θ，由运动学公式可得l＝at2，由几何关系可知l＝2R sin θ，解得t＝，则圆环的下滑时间与杆的倾角和杆长无关，同理可得圆环b、c、d的下滑时间同为t＝，故选C．
2．(2025·潮州期末)如图所示，一足够长的水平传送带以恒定的速度顺时针运行．将一物体轻轻放在传送带的左端，以v、a、x、Ff表示物体速度大小、加速度大小、位移大小和所受摩擦力的大小．下列选项可能正确的是(　A　)
　　　　　　　　　
A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D
解析：在前t1内物体受到向右的滑动摩擦力而做匀加速直线运动，加速度不变，速度与时间的关系为v＝at，v－t图像是倾斜的直线，物体的速度与传送带相同后，做匀速直线运动，加速度为0，故A正确，B错误；x和t关系先满足x＝at2，后满足x＝vt，故C错误；摩擦力先恒定，提供加速度，后为零，故D错误．
3．(2025·阳江期末)如图所示，传送带与水平面之间的夹角θ＝30°，其上A、B两点间的距离L＝5 m，传送带在电动机的带动下以v＝2 m/s的速率匀速运动．现将一小物体(可视为质点)轻放在传送带的A点，已知小物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝，取g＝10 m/s2，在传送带将小物体从A点传送到B点的过程中，求：
(1) 小物体刚开始运动时的加速度大小．
(2) 小物体从A点运动到B点经过的时间．
答案：(1) 2.5 m/s2　(2) 2.9 s
解析：(1) 物体加速过程，根据牛顿第二定律有
μmg cos θ－mg sin θ＝ma
则物体刚开始运动时的加速度大小a＝2.5 m/s2
(2) 当物体的速度增加到v＝2 m/s时，通过的位移
x1＝＝0.8 m
由v＝at得t1＝＝0.8 s
由于μmg cos θ＞mg sin θ，所以物体的速度达到2 m/s后将与传送带以相同速度匀速运动，物体匀速运动的位移
x2＝L－x1＝4.2 m
匀速运动的时间t2＝＝2.1 s
故物体从A运动到B经过的时间t＝t1＋t2＝2.9 s
1．(2024·福建泉州期末)如图所示，ad、bd、cd是竖直平面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为圆周的最低点．每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，三个滑环A、B、C分别从a、b、c处由静止开始释放，用t1、t2、t3依次表示滑环A、B、C到达d点所用的时间，则(　D　)
A．t1＜t2＜t3 B．t1＞t2＞t3
C．t3＞t1＞t2 D．t1＝t2＝t3
解析：如图所示，滑环在下滑过程中受到重力mg和杆的支持力FN作用．设杆与水平方向的夹角为θ，根据牛顿第二定律有mg sin θ＝ma，得加速度大小a＝g sin θ．设圆周的直径为D，则滑环沿杆滑到d点的位移大小x＝D sin θ，由x＝at2，解得t＝．可见滑环滑到d点的时间t与杆的倾角θ无关，即三个滑环滑到d点所用的时间相等，故D正确．
2．(2025·深圳期末)自动化分拣为快递行业发展起到很大的促进作用，而物品的自动传输需要依靠传送带进行．如图所示为某水平传送带示意图，传送带以v＝4 m/s的速度匀速运动，将物品从左端P处由静止释放，之后被传送到右端Q处．已知P、Q之间的距离为6 m，物品与传送带间的动摩擦因数为0.4，取g＝10 m/s2，物品匀速运动的位移大小为(　C　)
A．2 m B．3 m
C．4 m D．5 m
解析：由牛顿第二定律得物品匀加速运动的加速度为a＝＝μg＝4 m/s2，由运动学公式v2＝2ax得物品达到与传送带有共同速度运动的位移x＝＝ m＝2 m，则物品匀速运动的位移大小为Δx＝L－x＝6 m－2 m＝4 m，故选C．
3．(2025·广州九区期末)传送带输送线是物流搬运和输送的常见设备，图甲、乙中货物的重力均为G，匀速转动的传送带斜面的倾角为θ，箭头代表传送带的运动方向，货物均与传送带保持相对静止，且传送带均足够长．下列说法中正确的是(　C　)
甲
乙
A．图甲中的货物受到的摩擦力方向沿传送带斜面向下
B．图乙中的货物相对于传送带有向上运动的趋势
C．图甲、乙中传送带给货物的作用力的大小都为G
D．若图乙中的传送带突然停止转动，货物受到的摩擦力方向不会改变
解析：货物均与传送带保持相对静止，即图甲中货物向下做匀速直线运动，根据平衡条件可知，货物受到的摩擦力方向沿传送带斜面向上，故A错误；货物均与传送带保持相对静止，即图乙中货物向上做匀速直线运动，根据平衡条件可知，货物受到的摩擦力方向沿传送带斜面向上，则货物相对于传送带有向下运动的趋势，故B错误；对货物进行分析，货物受到重力、传送带的支持力与摩擦力，根据平衡条件可知，支持力与摩擦力的合力大小与重力相等，方向与重力方向相反，即图甲、乙中传送带给货物的作用力的大小都为G，故C正确；若图乙中的传送带突然停止转动，货物相对于传送带向上运动，货物受到沿传送带向下的滑动摩擦力，即货物受到的摩擦力方向会改变，故D错误．
4．(2024·惠州期末)图甲为应用于机场和火车站的安全检查仪，其传送装置可简化为图乙所示的模型．紧绷的传送带始终以v＝1 m/s的恒定速率运行，旅客将行李无初速度地放在A处时，也以v＝1 m/s的恒定速度平行于传送带运动到B处取行李，A、B间的距离为3 m，行李与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s2，则(　C　)
甲
乙
A．行李在传送带上一直做匀加速直线运动
B．乘客与行李同时到达B处
C．乘客提前0.25 s到达B处
D．行李提前0.25 s到达B处
解析：将行李无初速度地放在A处时，行李在传送带上开始做匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得μmg＝ma，解得a＝2 m/s2，行李与传送带达到共速所用时间，由速度时间公式可得t1＝＝0.5 s，由位移时间公式可得行李的位移为x1＝at＝0.25 m＜3 m，可知行李与传送带达到共速后，随传送带一起做匀速运动，做匀速运动的时间为t2＝＝2.75 s，行李从A到B的时间为t＝t1＋t2＝3.25 s，乘客一直做匀速直线运动，从A到B的时间为t′＝＝3 s，可知乘客提前0.25 s到达B处， 故C正确．
5．(2025·东莞期末)东莞目前已开通地铁，为保障旅客安全出行，地铁部门须对乘客所携带的物品实施安全检查．如图所示，水平传送带以v＝1.2 m/s的速度匀速转动，一包裹无初速度地放在传送带上，包裹在传送带上先做匀加速直线运动，之后随传送带一起做匀速直线运动．已知该包裹和传送带之间的动摩擦因数为0.2，取g＝10 m/s2．(　C　)
A．包裹与传送带相对静止时受到静摩擦力
B．包裹在传送带上做匀加速直线运动的时间为6 s
C．包裹初始阶段受与运动方向相同的摩擦力作用
D．包裹做匀加速直线运动过程中相对地面的位移大小为0.18 m
解析：当包裹与传送带相对静止时物体与传送带做匀速直线运动，两者之间没有要发生相对运动的趋势，故包裹不受静摩擦力，A错误；包裹匀加速运动时，根据牛顿第二定律则有f＝μmg＝ma，解得包裹的加速度大小为a＝2 m/s2，故包裹匀加速运动的时间t＝＝0.6 s，包裹相对于地面的位移大小为x＝vt＝0.36 m，B、D错误；包裹无初速度地刚放在传送带上，包裹相对于传送带有向后滑动的趋势，摩擦力的作用阻碍了包裹的相对运动，故包裹初始阶段受与运动方向相同的摩擦力作用而做加速运动，C正确．
6．某快递总站，需要将物件由地下仓库靠传送带运送到地面上进行分类．如图所示，传送带与水平面的夹角为θ＝37°，以速度v沿顺时针运行．工作人员将物件以初速度v0从底部滑上传送带，已知物件与传动带之间的动摩擦因数为0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法中正确的是(　C　)
A．若v＞v0，则物件将一直做匀加速运动
B．若v＜v0，则物件先做匀减速运动，后做匀加速运动
C．若v＝v0，则物件一直做匀速运动
D．物件不可能在传送带上做减速运动
解析：因为物件与传动带之间的动摩擦因数为0.8，所以0.8mg cos 37°＞mg sin 37°，若v＞v0，开始一段时间内物件受到沿传送带向上的滑动摩擦力而做匀加速运动，当物件加速到v时，物件受沿传送带向上的静摩擦力与重力沿传送带向下的分力平衡而做匀速运动，但是传送带长度不明确，物件可能一直做匀加速运动，也可能先做匀加速运动，后做匀速运动，故A错误；若v＜v0，开始一段时间内物件所受的合力沿传送带向下而做匀减速运动，当物件减速到v时，物件受沿传送带向上的静摩擦力与重力沿传送带向下的分力平衡而做匀速运动，但是传送带长度不明确，物件可能一直做匀减速运动，也可能先做匀减速运动，后做匀速运动，B、D错误；若v＝v0，物件受沿传送带向上的静摩擦力与重力沿传送带向下的分力平衡而做匀速运动，C正确．
7．(多选)一水平传送带沿逆时针方向以5 m/s的速度匀速转动，传送带上表面长6 m．一质量为1 kg的物体以6 m/s的速度水平向右从传送带左侧冲上传送带，物体与传送带间的动摩擦因数为0.4，取g＝10 m/s2．下列说法中正确的是(　BD　)
A．物体将从传送带右侧离开传送带
B．物体向右运动的最大距离为4.5 m
C．物体离开传送带时的速度大小为6 m/s
D．物体向右做减速运动的时间为1.5 s
解析：物体滑上传送带后做匀减速运动，设物体从开始滑上传送带到速度减至零时通过的位移为x，根据牛顿第二定律得，物体的加速度大小为a＝＝μg＝4 m/s2，由运动学公式得0－v＝－2ax，所以x＝＝4.5 m＜L＝6 m，物体的速度减至零后将向左运动，所以物体将从传送带左侧离开传送带，可知物体向右运动的最大距离是4.5 m，A错误，B正确；设物体向左运动后经过位移x′时速度与传送带速度相等，则x′＝＝3.125 m＜x＝4.5 m，说明物体与传送带共速时还没有到达传送带左侧，此后物体随传送带做匀速运动，物体离开传送带时的速度大小为5 m/s，C错误；物体向右做减速运动的时间为t＝＝ s＝1.5 s，D正确．
8．(2024·安徽铜陵期末)如图所示，圆1和圆2外切，它们的圆心在同一竖直线上，有三块光滑的板，它们的一端搭在墙上，另一端搭在圆2上，三块板都通过两圆的切点，A在圆上，B在圆内，C在圆外．从A、B、C三处同时由静止释放一个小球，它们都沿光滑板运动，则最先到达圆2上的球是(　B　)
A．从A处释放的球
B．从B处释放的球
C．从C处释放的球
D．从A、B、C三处释放的球同时到达
解析：设经过切点的板两端点分别在圆1、圆2上，板与竖直方向的夹角为α，圆1的半径为r，圆2的半径为R，则圆内轨道的长度s＝2(r＋R)cos α，下滑时小球的加速度a＝g cos α，根据位移时间公式得s＝at2，则t＝＝＝，即当板的端点在圆上时，小球沿不同板下滑到底端所用的时间相同．由题意可知，A在圆上，B在圆内，C在圆外，则从B处释放的球下滑的时间最短，B正确．
9．(2025·汕头期末)(多选)在民航机场和火车站可以看到用于对行李进行安全检查的水平传送带．旅客把行李放到传送带上时，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始运动，随后它们保持相对静止，行李随传送带一起前进，其简化情景如图所示．若足够长的传送带匀速前进的速度为v＝0.25 m/s，某次将一质量为20 kg的木箱(可视为质点)轻轻地放置于传送带的最左端，该木箱与传送带之间的动摩擦因数为0.4，取g＝10 m/s2，下列说法中正确的是(　BD　)
A．木箱处于超重状态
B．经过0.062 5 s木箱与传送带达到相同速度
C．木箱与传送带达到相同速度前，木箱对传送带的摩擦力水平向右，大小为80 N
D．木箱在传送带上留下的划痕长约为7.8 mm
解析：木箱在竖直方向受到的支持力等于重力，故不存在超重现象，A错误；木箱与传送带达到相同速度前的加速度大小a＝＝μg＝4 m/s2，达到共速的时间t＝＝0.062 5 s，B正确；木箱与传送带达到相同速度前，木箱受传送带的摩擦力水平，向右大小为80 N，由牛顿第三定律可知木箱对传送带的摩擦力水平向左，C错误；木箱在传送带上留下的划痕长Δx＝vt－vt＝×0.25×0.062 5 m＝7.8×10－3 m＝7.8 mm，D正确．
10．(2025·华师大附中)如图所示，在竖直平面内有半径为R和2R的两个圆，两圆的最高点相切，切点为A，B和C分别是小圆和大圆上的两个点，其中AB长为R，AC长为2R．现沿AB和AC建立两条光滑轨道，自A处由静止释放小球，已知小球沿AB轨道运动到B点所用时间为t1，沿AC轨道运动到C点所用时间为t2，则t1与t2之比为多少？
答案：1∶
11．(2025·惠州期末)如图所示，在分拣快递的车间里，与水平面夹角θ＝37°的传送带正以v0＝2 m/s的速度沿顺时针方向匀速运行，A、B为传送带的最低点和最高点，两点相距l＝11.8 m．现每隔2.5 s把质量m＝1 kg的工件(视为质点)轻放在传送带A点，在传送带的带动下，工件向上运动，工件与传送带间的动摩擦因数μ＝0.85，取g＝10 m/s2, sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8．
(1) 工件刚刚放上去时的加速度是多大？
(2) 一个工件上传过程中留下的痕迹长度是多少？
(3) 满载与空载相比，传送带至少需要增加的驱动力是多大？(只需考虑工件与皮带之间的摩擦力)
答案：(1) 0.8 m/s2　(2) 2.5 m　(3) 18.8 N
解析：(1) 设工件在传送带加速运动时的加速度大小为a，则μmg cos θ－mg sin θ＝ma
代入数据解得a＝0.8 m/s2
(2) 工件加速时间为t1＝＝2.5 s
工件加速过程的位移x＝＝2.5 m
因为x＜l，故工件先做匀加速直线运动，再做匀速直线运动到B端，只有加速阶段留下痕迹，此时传送带的位移
x0＝v0t1＝5 m
痕迹长度Δx＝x0－x＝2.5 m
(3) 工件从A到B匀速运动的时间t2＝＝4.65 s
工件从A到B运动的总时间 t＝t1＋t2＝7.15 s
即满载时，有1个工件在做加速运动，有2个相对传送带静止．
做加速运动的工件对传送带的滑动摩擦力
f1＝μmg cos θ＝6.8 N
每个与传送带相对静止的工件受到静摩擦力
f0＝mg sin θ＝6 N
2个匀速运动的工件对传送带的总静摩擦力f2＝2f0
与空载相比，传送带需增大的牵引力F＝f1＋f2＝18.8 N(共54张PPT)
第四章
运动和力的关系
习题课5　“等时圆”模型与传送带模型
核心 目标 1．理解等时圆原理，能处理物块在等时圆上运动的问题．
2．理解物块在水平、倾斜传送带上的运动特征．
能力提升 典题固法
“等时圆”模型
1．模型特征
(1) 质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示．
(2) 质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示．
模型
1
(3) 两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示．
甲　　　　　乙　　　　丙
2．思维模板
　　　(2024·安徽马鞍山二中)如图所示，球壳内有三条弦OA、OB、OC，O为球内的最低点，它们与水平面间的夹角分别为60°、45°、30°．三个光滑的小环分别从A、B、C处由静止沿所在弦下滑，运动到最低点所用的时间分别为tA、tB、tC，则三者之间大小关系为 (　　)
A．tA＝tB＝tC B．tA＜tB＜tC
C．tA＞tB＞tC D．tA＝tC＞tB
1
A
水平传送带
模型
2
类型 物体运动情况
(1) 可能一直加速
(2) 可能先加速，后匀速
(1) v0＞v时，可能一直减速，也可能先减速，再匀速
(2) v0＝v时，一直匀速
(3) v0＜v时，可能一直加速，也可能先加速，再匀速
类型 物体运动情况
(1) 传送带较短时，物体一直减速到达左端
(2) 传送带足够长，①v≥v0时，物体先向左减速，再向右加速回到右端
②v＜v0时，物体先向左减速，再向右加速，最后匀速，回到右端时速度大小为v
　　　(2025·大湾区期末)如图所示，水平放置的传送带沿顺时针方向以速度v＝4 m/s运行，现将一物体(可视为质点)轻轻地放在传送带A端，物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，若A端与B端相距8 m，则物体由A端到B端的时间是(取g＝10 m/s2) (　　)
A．2 s B．3 s
C．4 s D．5 s
2
B
　　　(2024·阳江期末)(多选)如图所示，足够长的传送带绷紧后以恒定速率v1＝2 m/s运行，其右端与等高的足够长的光滑水平面平滑连接．一小物块以v2＝4 m/s的速度从传送带右端滑上传送带．已知传送带与小物块间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2，小物块滑上传送带右端后 (　　　)
A．向左运动的最大距离为1.6 m
B．减速到零时所用时间为0.4 s
C．再次回到传送带右端所用的时间为1.8 s
D．在3 s内的位移大小为2.4 m
3
ACD
求解传送带问题的策略
倾斜传送带
模型
3
类型 物体运动情况
(1)可能一直加速
(2)可能先加速，后匀速
(1)可能一直加速
(2)可能先加速，后匀速
(3)可能先以a1加速，后以a2加速
类型 物体运动情况
(1)可能一直加速
(2)可能先加速，后匀速
(3)可能一直匀速
(4)可能先以a1加速，后以a2加速
(5)可能先减速，后匀速
(1) 可能一直加速
(2) 可能一直匀速
(3) 可能一直减速
(4) 可能先减速，后反向加速
　　　(2024·广州番禺期末质监)(多选)如图所示，飞机场运输行李的传送带保持恒定的速率运行，将行李箱无初速度地放在传送带底端，传送带将它送入飞机货舱．此过程中行李箱
4
的速度为v、加速度为a、摩擦力为f、位移为x，设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，下列图像可能正确的有 (　 　)
AC
解析：行李箱先向上做匀加速运动，此时的v－t图像是倾斜的直线，x－t图像为曲线，a－t图像是平行于t轴的直线；当与传送带共速后做匀速运动，则此时的v－t线是平行于t轴的直线，x－t图像是倾斜的直线，加速度a为零，A正确，B、D错误；加速时传送带对行李箱的摩擦力f1＝mg sin θ＋ma，匀速时 f2＝mg sin θ＜f1，C正确．
　　　如图所示，传送带与地面倾角θ＝37°，从A到B长度为16 m，传送带以10 m/s的速度逆时针转动．在传送带上端A无初速地放一个质量m＝0.5 kg的黑色煤块，它与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5，煤块在传送带上经过会留下黑色划痕．取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2．
(1) 求煤块从A到B运动的时间．
答案：(1) 2 s
5
解析：(1) 开始阶段，由牛顿第二定律得mg sin θ＋μmg cos θ＝ma1
所以a1＝g sin θ＋μg cos θ
解得a1＝10 m/s2
所以煤块加速到10 m/s时仍未到达B点，此时摩擦力方向改变．
第二阶段有mg sin θ－μmg cos θ＝ma2
解得a2＝2 m/s2
解得t2＝1 s
煤块从A到B的时间 t＝t1＋t2＝2 s
(3) 求煤块从A到B的过程中，传送带上形成划痕的长度．
答案：(3) 5 m
解析：(3) 第一阶段煤块的速度小于传送带速度，煤块相对传送带向上移动，煤块与传送带的相对位移大小为
Δx1＝vt1－x1＝10×1 m－5 m＝5 m
故煤块相对于传送带上移5 m
第二阶段煤块的速度大于传送带速度，煤块相对传送带向下移动，煤块相对于传送带的位移大小为
Δx2＝(LAB－x1)－vt2
解得Δx2＝1 m，即煤块相对传送带下移1 m
故传送带表面留下黑色炭迹的长度为s＝Δx1＝5 m
划痕问题的求解方法
滑块与传送带的划痕长度Δs等于滑块与传送带的相对位移的大小，若有两次相对运动且两次相对运动方向相同，Δs＝Δs1＋Δs2(如图甲所示)；若两次相对运动方向相反，Δs等于较长的相对位移大小(如图乙所示)．
甲
乙
随堂内化 即时巩固
1．如图所示，四根光滑杆AB、BC、AD、DC被固定成一个平行四边形ABCD．四个顶点恰好位于同一个圆上，且A、C两点是圆的最高点和最低点，圆的半径为R．四个相同的光滑圆环a、b、c、d分别套在四根杆的上端由静止释放，不计空气阻力，则下列说法中正确的是 (　　)
A．圆环a滑到B端的时间比圆环b滑到C端的时间短
B．圆环b滑到C端的时间比圆环d滑到C端的时间长
C．四个圆环到达各自杆的底端所用时间都相同
D．四个圆环到达各自杆的底端所用时间各不相同
C
2．(2025·潮州期末)如图所示，一足够长的水平传送带以恒定的速度顺时针运行．将一物体轻轻放在传送带的左端，以v、a、x、Ff表示物体速度大小、加速度大小、位移大小和所受摩擦力的大小．下列选项可能正确的是 (　　)
A
(1) 小物体刚开始运动时的加速度大小．
答案：(1) 2.5 m/s2
解析：(1) 物体加速过程，根据牛顿第二定律有
μmg cos θ－mg sin θ＝ma
则物体刚开始运动时的加速度大小a＝2.5 m/s2
(2) 小物体从A点运动到B点经过的时间．
答案：(2) 2.9 s
配套新练案
1．(2024·福建泉州期末)如图所示，ad、bd、cd是竖直平面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为圆周的最低点．每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，三个滑环A、B、C分别从a、b、c处由静止开始释放，用t1、t2、t3依次表示滑环A、B、C到达d点所用的时间，则 (　　)
A．t1＜t2＜t3 B．t1＞t2＞t3
C．t3＞t1＞t2 D．t1＝t2＝t3
D
2．(2025·深圳期末)自动化分拣为快递行业发展起到很大的促进作用，而物品的自动传输需要依靠传送带进行．如图所示为某水平传送带示意图，传送带以v＝4 m/s的速度匀速运动，将物品从左端P处由静止释放，之后被传送到右端Q处．已知P、Q之间的距离为6 m，物品与传送带间的动摩擦因数为0.4，取g＝10 m/s2，物品匀速运动的位移大小为 (　　)
A．2 m B．3 m
C．4 m D．5 m
C
3．(2025·广州九区期末)传送带输送线是物流搬运和输送的常见设备，图甲、乙中货物的重力均为G，匀速转动的传送带斜面的倾角为θ，箭头代表传送带的运动方向，货物均与传送带保持相对静止，且传送带均足够长．下列说法中正确的是(　　)
A．图甲中的货物受到的摩擦力方向沿传送带斜面向下
B．图乙中的货物相对于传送带有向上运动的趋势
C．图甲、乙中传送带给货物的作用力的大小都为G
D．若图乙中的传送带突然停止转动，货物受到的摩擦力方向不会改变
C
甲
乙
解析：货物均与传送带保持相对静止，即图甲中货物向下做匀速直线运动，根据平衡条件可知，货物受到的摩擦力方向沿传送带斜面向上，故A错误；货物均与传送带保持相对静止，即图乙中货物向上做匀速直线运动，根据平衡条件可知，货物受到的摩擦力方向沿传送带斜面向上，则货物相对于传送带有向下运动的趋势，故B错误；对货物进行分析，货物受到重力、传送带的支持力与摩擦力，根据平衡条件可知，支持力与摩擦力的合力大小与重力相等，方向与重力方向相反，即图甲、乙中传送带给货物的作用力的大小都为G，故C正确；若图乙中的传送带突然停止转动，货物相对于传送带向上运动，货物受到沿传送带向下的滑动摩擦力，即货物受到的摩擦力方向会改变，故D错误．
4．(2024·惠州期末)图甲为应用于机场和火车站的安全检查仪，其传送装置可简化为图乙所示的模型．紧绷的传送带始终以v＝1 m/s的恒定速率运行，旅客将行李无初速度地放在A处时，也以v＝1 m/s的恒定速度平行于传送带运动到B处取行李，A、B间的距离为3 m，行李与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s2，则 (　　)
A．行李在传送带上一直做匀加速直线运动
B．乘客与行李同时到达B处
C．乘客提前0.25 s到达B处
D．行李提前0.25 s到达B处
C
乙
甲
5．(2025·东莞期末)东莞目前已开通地铁，为保障旅客安全出行，地铁部门须对乘客所携带的物品实施安全检查．如图所示，水平传送带以v＝1.2 m/s的速度匀速转动，一包裹无初速度地放在传送带上，包裹在传送带上先做匀加速直线运动，之后随传送带一起做匀速直线运动．已知该包裹和传送带之间的动摩擦因数为0.2，取g＝10 m/s2． (　　)
A．包裹与传送带相对静止时受到静摩擦力
B．包裹在传送带上做匀加速直线运动的时间为6 s
C．包裹初始阶段受与运动方向相同的摩擦力作用
D．包裹做匀加速直线运动过程中相对地面的位移大小为0.18 m
C
6．某快递总站，需要将物件由地下仓库靠传送带运送到地面上进行分类．如图所示，传送带与水平面的夹角为θ＝37°，以速度v沿顺时针运行．工作人员将物件以初速度v0从底部滑上传送带，已知物件与传动带之间的动摩擦因数为0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法中正确的是 (　　)
A．若v＞v0，则物件将一直做匀加速运动
B．若v＜v0，则物件先做匀减速运动，后做匀加速运动
C．若v＝v0，则物件一直做匀速运动
D．物件不可能在传送带上做减速运动
C
解析：因为物件与传动带之间的动摩擦因数为0.8，所以0.8mg cos 37°＞mg sin 37°，若v＞v0，开始一段时间内物件受到沿传送带向上的滑动摩擦力而做匀加速运动，当物件加速到v时，物件受沿传送带向上的静摩擦力与重力沿传送带向下的分力平衡而做匀速运动，但是传送带长度不明确，物件可能一直做匀加速运动，也可能先做匀加速运动，后做匀速运动，故A错误；若v＜v0，开始一段时间内物件所受的合力沿传送带向下而做匀减速运动，当物件减速到v时，物件受沿传送带向上的静摩擦力与重力沿传送带向下的分力平衡而做匀速运动，但是传送带长度不明确，物件可能一直做匀减速运动，也可能先做匀减速运动，后做匀速运动，B、D错误；若v＝v0，物件受沿传送带向上的静摩擦力与重力沿传送带向下的分力平衡而做匀速运动，C正确．
7．(多选)一水平传送带沿逆时针方向以5 m/s的速度匀速转动，传送带上表面长6 m．一质量为1 kg的物体以6 m/s的速度水平向右从传送带左侧冲上传送带，物体与传送带间的动摩擦因数为0.4，取g＝10 m/s2．下列说法中正确的是 (　 　)
A．物体将从传送带右侧离开传送带
B．物体向右运动的最大距离为4.5 m
C．物体离开传送带时的速度大小为6 m/s
D．物体向右做减速运动的时间为1.5 s
BD
8．(2024·安徽铜陵期末)如图所示，圆1和圆2外切，它们的圆心在同一竖直线上，有三块光滑的板，它们的一端搭在墙上，另一端搭在圆2上，三块板都通过两圆的切点，A在圆上，B在圆内，C在圆外．从A、B、C三处同时由静止释放一个小球，它们都沿光滑板运动，则最先到达圆2上的球是 (　　)
A．从A处释放的球
B．从B处释放的球
C．从C处释放的球
D．从A、B、C三处释放的球同时到达
B
9．(2025·汕头期末)(多选)在民航机场和火车站可以看到用于对行李进行安全检查的水平传送带．旅客把行李放到传送带上时，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始运动，随后它们保持相对静止，行李随传送带一起前进，其简化情景如图所示．若足够长的传送带匀速前进的速度为v＝0.25 m/s，某次将一质量为20 kg的木箱(可视为质点)轻轻地放置于传送带的最左端，该木箱与传送带之间的动摩擦因数为0.4，取g＝10 m/s2，下列说法中正确的是 (　 　)
A．木箱处于超重状态
B．经过0.062 5 s木箱与传送带达到相同速度
C．木箱与传送带达到相同速度前，木箱对传送带的摩擦力水平向右，大小为80 N
D．木箱在传送带上留下的划痕长约为7.8 mm
BD
11．(2025·惠州期末)如图所示，在分拣快递的车间里，与水平面夹角θ＝37°的传送带正以v0＝2 m/s的速度沿顺时针方向匀速运行，A、B为传送带的最低点和最高点，两点相距l＝11.8 m．现每隔2.5 s把质量m＝1 kg的工件(视为质点)轻放在传送带A点，在传送带的带动下，工件向上运动，工件与传送带间的动摩擦因数μ＝0.85，取g＝10 m/s2, sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8．
(1) 工件刚刚放上去时的加速度是多大？
答案：(1) 0.8 m/s2
解析：(1) 设工件在传送带加速运动时的加速度大小为a，则μmg cos θ－mg sin θ＝ma
代入数据解得a＝0.8 m/s2
(2) 一个工件上传过程中留下的痕迹长度是多少？
答案：(2) 2.5 m
因为x＜l，故工件先做匀加速直线运动，再做匀速直线运动到B端，只有加速阶段留下痕迹，此时传送带的位移x0＝v0t1＝5 m
痕迹长度Δx＝x0－x＝2.5 m
(3) 满载与空载相比，传送带至少需要增加的驱动力是多大？(只需考虑工件与皮带之间的摩擦力)
答案：(3) 18.8 N
工件从A到B运动的总时间 t＝t1＋t2＝7.15 s
即满载时，有1个工件在做加速运动，有2个相对传送带静止．
做加速运动的工件对传送带的滑动摩擦力f1＝μmg cos θ＝6.8 N
每个与传送带相对静止的工件受到静摩擦力f0＝mg sin θ＝6 N
2个匀速运动的工件对传送带的总静摩擦力f2＝2f0
与空载相比，传送带需增大的牵引力F＝f1＋f2＝18.8 N
谢谢观赏习题课5　“等时圆”模型与传送带模型
核心 目标 1．理解等时圆原理，能处理物块在等时圆上运动的问题．
2．理解物块在水平、倾斜传送带上的运动特征．
模型1　“等时圆”模型
1．模型特征
(1) 质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示．
甲
乙
丙
(2) 质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示．
(3) 两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示．
2．思维模板
　(2024·安徽马鞍山二中)如图所示，球壳内有三条弦OA、OB、OC，O为球内的最低点，它们与水平面间的夹角分别为60°、45°、30°．三个光滑的小环分别从A、B、C处由静止沿所在弦下滑，运动到最低点所用的时间分别为tA、tB、tC，则三者之间大小关系为(　　)
A．tA＝tB＝tC B．tA＜tB＜tC
C．tA＞tB＞tC D．tA＝tC＞tB
模型2　水平传送带
类型 物体运动情况
(1) 可能一直加速 (2) 可能先加速，后匀速
(1) v0＞v时，可能一直减速，也可能先减速，再匀速 (2) v0＝v时，一直匀速 (3) v0＜v时，可能一直加速，也可能先加速，再匀速
(1) 传送带较短时，物体一直减速到达左端 (2) 传送带足够长，①v≥v0时，物体先向左减速，再向右加速回到右端 ②v＜v0时，物体先向左减速，再向右加速，最后匀速，回到右端时速度大小为v
　(2025·大湾区期末)如图所示，水平放置的传送带沿顺时针方向以速度v＝4 m/s运行，现将一物体(可视为质点)轻轻地放在传送带A端，物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，若A端与B端相距8 m，则物体由A端到B端的时间是(取g＝10 m/s2)(　　)
A．2 s B．3 s
C．4 s D．5 s
　(2024·阳江期末)(多选)如图所示，足够长的传送带绷紧后以恒定速率v1＝2 m/s运行，其右端与等高的足够长的光滑水平面平滑连接．一小物块以v2＝4 m/s的速度从传送带右端滑上传送带．已知传送带与小物块间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2，小物块滑上传送带右端后(　　)
A．向左运动的最大距离为1.6 m
B．减速到零时所用时间为0.4 s
C．再次回到传送带右端所用的时间为1.8 s
D．在3 s内的位移大小为2.4 m
求解传送带问题的策略
模型3　倾斜传送带
类型 物体运动情况
(1)可能一直加速 (2)可能先加速，后匀速
(1)可能一直加速 (2)可能先加速，后匀速 (3)可能先以a1加速，后以a2加速
(1)可能一直加速 (2)可能先加速，后匀速 (3)可能一直匀速 (4)可能先以a1加速，后以a2加速 (5)可能先减速，后匀速
(1) 可能一直加速 (2) 可能一直匀速 (3) 可能一直减速 (4) 可能先减速，后反向加速
　(2024·广州番禺期末质监)(多选)如图所示，飞机场运输行李的传送带保持恒定的速率运行，将行李箱无初速度地放在传送带底端，传送带将它送入飞机货舱．此过程中行李箱的速度为 v、加速度为 a、摩擦力为 f、位移为 x，设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，下列图像可能正确的有(　　)
　　　　　　　　　
A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D
　如图所示，传送带与地面倾角θ＝37°，从A到B长度为16 m，传送带以10 m/s的速度逆时针转动．在传送带上端A无初速地放一个质量m＝0.5 kg的黑色煤块，它与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5，煤块在传送带上经过会留下黑色划痕．取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2．
(1) 求煤块从A到B运动的时间．
(2) 若传送带逆时针运转的速度可以调节，求煤块从A点到达B点的最短时间．
(3) 求煤块从A到B的过程中，传送带上形成划痕的长度．
划痕问题的求解方法
滑块与传送带的划痕长度Δs等于滑块与传送带的相对位移的大小，若有两次相对运动且两次相对运动方向相同，Δs＝Δs1＋Δs2(如图甲所示)；若两次相对运动方向相反，Δs等于较长的相对位移大小(如图乙所示)．
甲
乙
1．如图所示，四根光滑杆AB、BC、AD、DC被固定成一个平行四边形ABCD．四个顶点恰好位于同一个圆上，且A、C两点是圆的最高点和最低点，圆的半径为R．四个相同的光滑圆环a、b、c、d分别套在四根杆的上端由静止释放，不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　)
A．圆环a滑到B端的时间比圆环b滑到C端的时间短
B．圆环b滑到C端的时间比圆环d滑到C端的时间长
C．四个圆环到达各自杆的底端所用时间都相同
D．四个圆环到达各自杆的底端所用时间各不相同
2．(2025·潮州期末)如图所示，一足够长的水平传送带以恒定的速度顺时针运行．将一物体轻轻放在传送带的左端，以v、a、x、Ff表示物体速度大小、加速度大小、位移大小和所受摩擦力的大小．下列选项可能正确的是(　　)
　　　　　　　　　
A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D
3．(2025·阳江期末)如图所示，传送带与水平面之间的夹角θ＝30°，其上A、B两点间的距离L＝5 m，传送带在电动机的带动下以v＝2 m/s的速率匀速运动．现将一小物体(可视为质点)轻放在传送带的A点，已知小物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝，取g＝10 m/s2，在传送带将小物体从A点传送到B点的过程中，求：
(1) 小物体刚开始运动时的加速度大小．
(2) 小物体从A点运动到B点经过的时间．
1．(2024·福建泉州期末)如图所示，ad、bd、cd是竖直平面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为圆周的最低点．每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，三个滑环A、B、C分别从a、b、c处由静止开始释放，用t1、t2、t3依次表示滑环A、B、C到达d点所用的时间，则(　　)
A．t1＜t2＜t3 B．t1＞t2＞t3
C．t3＞t1＞t2 D．t1＝t2＝t3
2．(2025·深圳期末)自动化分拣为快递行业发展起到很大的促进作用，而物品的自动传输需要依靠传送带进行．如图所示为某水平传送带示意图，传送带以v＝4 m/s的速度匀速运动，将物品从左端P处由静止释放，之后被传送到右端Q处．已知P、Q之间的距离为6 m，物品与传送带间的动摩擦因数为0.4，取g＝10 m/s2，物品匀速运动的位移大小为(　　)
A．2 m B．3 m
C．4 m D．5 m
3．(2025·广州九区期末)传送带输送线是物流搬运和输送的常见设备，图甲、乙中货物的重力均为G，匀速转动的传送带斜面的倾角为θ，箭头代表传送带的运动方向，货物均与传送带保持相对静止，且传送带均足够长．下列说法中正确的是(　　)
甲
乙
A．图甲中的货物受到的摩擦力方向沿传送带斜面向下
B．图乙中的货物相对于传送带有向上运动的趋势
C．图甲、乙中传送带给货物的作用力的大小都为G
D．若图乙中的传送带突然停止转动，货物受到的摩擦力方向不会改变
4．(2024·惠州期末)图甲为应用于机场和火车站的安全检查仪，其传送装置可简化为图乙所示的模型．紧绷的传送带始终以v＝1 m/s的恒定速率运行，旅客将行李无初速度地放在A处时，也以v＝1 m/s的恒定速度平行于传送带运动到B处取行李，A、B间的距离为3 m，行李与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s2，则(　　)
甲
乙
A．行李在传送带上一直做匀加速直线运动
B．乘客与行李同时到达B处
C．乘客提前0.25 s到达B处
D．行李提前0.25 s到达B处
5．(2025·东莞期末)东莞目前已开通地铁，为保障旅客安全出行，地铁部门须对乘客所携带的物品实施安全检查．如图所示，水平传送带以v＝1.2 m/s的速度匀速转动，一包裹无初速度地放在传送带上，包裹在传送带上先做匀加速直线运动，之后随传送带一起做匀速直线运动．已知该包裹和传送带之间的动摩擦因数为0.2，取g＝10 m/s2．(　)
A．包裹与传送带相对静止时受到静摩擦力
B．包裹在传送带上做匀加速直线运动的时间为6 s
C．包裹初始阶段受与运动方向相同的摩擦力作用
D．包裹做匀加速直线运动过程中相对地面的位移大小为0.18 m
6．某快递总站，需要将物件由地下仓库靠传送带运送到地面上进行分类．如图所示，传送带与水平面的夹角为θ＝37°，以速度v沿顺时针运行．工作人员将物件以初速度v0从底部滑上传送带，已知物件与传动带之间的动摩擦因数为0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法中正确的是(　　)
A．若v＞v0，则物件将一直做匀加速运动
B．若v＜v0，则物件先做匀减速运动，后做匀加速运动
C．若v＝v0，则物件一直做匀速运动
D．物件不可能在传送带上做减速运动
7．(多选)一水平传送带沿逆时针方向以5 m/s的速度匀速转动，传送带上表面长6 m．一质量为1 kg的物体以6 m/s的速度水平向右从传送带左侧冲上传送带，物体与传送带间的动摩擦因数为0.4，取g＝10 m/s2．下列说法中正确的是(　　)
A．物体将从传送带右侧离开传送带
B．物体向右运动的最大距离为4.5 m
C．物体离开传送带时的速度大小为6 m/s
D．物体向右做减速运动的时间为1.5 s
8．(2024·安徽铜陵期末)如图所示，圆1和圆2外切，它们的圆心在同一竖直线上，有三块光滑的板，它们的一端搭在墙上，另一端搭在圆2上，三块板都通过两圆的切点，A在圆上，B在圆内，C在圆外．从A、B、C三处同时由静止释放一个小球，它们都沿光滑板运动，则最先到达圆2上的球是(　　)
A．从A处释放的球
B．从B处释放的球
C．从C处释放的球
D．从A、B、C三处释放的球同时到达
9．(2025·汕头期末)(多选)在民航机场和火车站可以看到用于对行李进行安全检查的水平传送带．旅客把行李放到传送带上时，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始运动，随后它们保持相对静止，行李随传送带一起前进，其简化情景如图所示．若足够长的传送带匀速前进的速度为v＝0.25 m/s，某次将一质量为20 kg的木箱(可视为质点)轻轻地放置于传送带的最左端，该木箱与传送带之间的动摩擦因数为0.4，取g＝10 m/s2，下列说法中正确的是(　　)
A．木箱处于超重状态
B．经过0.062 5 s木箱与传送带达到相同速度
C．木箱与传送带达到相同速度前，木箱对传送带的摩擦力水平向右，大小为80 N
D．木箱在传送带上留下的划痕长约为7.8 mm
10．(2025·华师大附中)如图所示，在竖直平面内有半径为R和2R的两个圆，两圆的最高点相切，切点为A，B和C分别是小圆和大圆上的两个点，其中AB长为R，AC长为2R．现沿AB和AC建立两条光滑轨道，自A处由静止释放小球，已知小球沿AB轨道运动到B点所用时间为t1，沿AC轨道运动到C点所用时间为t2，则t1与t2之比为多少？
11．(2025·惠州期末)如图所示，在分拣快递的车间里，与水平面夹角θ＝37°的传送带正以v0＝2 m/s的速度沿顺时针方向匀速运行，A、B为传送带的最低点和最高点，两点相距l＝11.8 m．现每隔2.5 s把质量m＝1 kg的工件(视为质点)轻放在传送带A点，在传送带的带动下，工件向上运动，工件与传送带间的动摩擦因数μ＝0.85，取g＝10 m/s2, sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8．
(1) 工件刚刚放上去时的加速度是多大？
(2) 一个工件上传过程中留下的痕迹长度是多少？
(3) 满载与空载相比，传送带至少需要增加的驱动力是多大？(只需考虑工件与皮带之间的摩擦力)

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