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习题课6　动力学图像与临界极值问题
核心 目标 1．理解图像的意义，能用图像法分析问题和解决动力学图像问题．
2．理解临界状态、临界条件和极值问题的分析方法，能求解简单的临界和极值问题．
类型1　动力学图像问题的求解
1．已知物体受的力随时间变化的__F－t__图像，要求分析物体的运动情况．
2．已知物体的速度、加速度随时间变化的__v－t图像__、__a－t图像__，要求分析物体的受力情况．
3．由已知条件确定某相关量的变化图像．
4．用图像求解问题：将不太清晰的物理量变化过程构建图像展示出来，再根据有关物理规律求解．
　(2025·广州九区期末)(多选)如图所示，小物块以某一初速度从斜面底端冲上固定粗糙斜面．下面给出的描述上述全过程中小物块的速度v随时间t变化和加速度a随时间t变化的图像中，可能正确的有(　ABD　)
　　　　　　
A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D
解析：设斜面的倾角为θ，小物块上滑过程中，根据牛顿第二定律有mg sin θ＋μmg cos θ＝ma1，解得a1＝g sin θ＋μg cos θ，加速度方向沿斜面向下，小物块的速度为v＝v0－a1t，速度方向沿斜面向上，若mg sin θ＜μmg cos θ，小物块最后将保持静止，加速度为零，故A正确；若mg sin θ＞μmg cos θ，小物块将下滑，小物块下滑过程中，根据牛顿第二定律有mg sin θ－μmg cos θ＝ma2，解得a2＝g sin θ－μg cos θ＜a1，加速度方向沿斜面向下，小物块的速度为v＝a2(t－t0)＝a2，速度方向沿斜面向下，故B、D正确，C错误．
　(2024·安徽芜湖一中)如图甲所示，物体原来静止在水平面上，用一水平力F拉物体，在F从0开始逐渐增大的过程中，物体加速度a随力F变化的图像如图乙所示，取g＝10 m/s2．则(　D　)
甲
乙
A．加速度a与力F成正比
B．物体在力F作用下做匀加速直线运动
C．物体的质量为1 kg
D．物体与水平面间的动摩擦因数为0.3
解析：a－F图像是不过原点的直线，所以a与F成线性关系，不是成正比，A错误；物体在力F作用下做加速度增大的变加速运动，B错误；设物体的质量为m，物体与水平面间的动摩擦因数为μ，根据牛顿第二定律有F－μmg＝ma，取图中数据代入后解得m＝2 kg，μ＝0.3，C错误，D正确．
图像问题的解题策略
1．把图像与具体的题意、情景结合起来，明确图像的物理意义，明确图像所反映的物理过程．
2．特别注意图像中的一些特殊点，如图线与横、纵坐标轴的交点，图线的转折点，两图线的交点等所表示的物理意义．注意图线的斜率、图线与横轴所围图形面积的物理意义．
3．应用物理规律列出与图像对应的函数关系式，进而明确“图像与公式”“图像与物体”的关系，以便对有关物理问题作出准确判断．
类型2　动力学的临界、极值问题
1．临界状态：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态．
2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”、“最小”、“刚好”、“恰好”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件．
3．临界问题的常见类型及临界条件
(1) 接触与脱离的临界条件：两物体间的弹力恰好为零．
(2) 相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力．
(3) 绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断裂的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是张力为零．
(4) 加速度最大、最小与速度最大、最小的临界条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度．当加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值．
　(2025·汕头期末)(多选)如图所示，A、B两个物体相互接触，但并不黏合，放置在水平面上，水平面与物体间的摩擦力可忽略，两物体的质量mA为4 kg，mB为6 kg．从t＝0开始，水平共线的两个力FA和FB分别始终作用于A、B上，FA、FB随时间的变化规律为：FA＝8－2t(N)，FB＝2＋2t(N)．在t＝0时刻，FA、FB的方向如图所示．下列说法中正确的是(　CD　)
A．在t＝1 s时刻，物体B所受外力的合力为4 N
B．8 s内物体B的加速度一直增大
C．在t＝1 s时刻，物体A、B之间的弹力大小为2 N
D．t＝0.8 s时刻，物体B的加速度大小为1 m/s2
解析：当A、B之间弹力为零时，A、B分开，此时二者加速度相同，设共同的加速度大小为a，则分别对A、B使用牛顿第二定律得FA＝8－2t＝mAa，FB＝2＋2t＝mBa，联立解得a＝1 m/s2，t＝2 s，故前2 s内，A、B受合外力不变，加速度大小始终为1 m/s2，B所受外力的合力大小等于FB合＝mBa＝6 N，故A、B错误，D正确；在t＝1 s时刻，A、B相对静止，对B由牛顿第二定律得FB＋FAB＝mBa，解得FAB＝2 N，故C正确．
　(2025·肇庆期末)(多选)如图甲所示，书桌上水平叠放着一本词典和一本课本．保持桌面不动，用水平恒力F作用于下面的课本，模型简化如图乙所示．已知词典的质量m1＝1.5 kg，课本的质量m2＝0.5 kg，课本与词典间的动摩擦因数μ1＝0.2，课本与桌面间的动摩擦因数μ2＝0.1，取g＝10 m/s2，词典与课本、课本与桌面之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．下列说法中正确的是(　AC　)
甲
乙
A．F＝1 N时，词典不受摩擦力的作用
B．F＝4 N时，词典受到的摩擦力为3 N，方向水平向右
C．F＝6 N时，词典的加速度大小为2 m/s2
D．F＝8 N时，词典的加速度大小为3 m/s2
解析：桌面对词典和课本整体的滑动摩擦力为f2＝μ2(m1＋m2)g＝2 N，即欲使词典和课本运动，拉力F必须大于2 N，所以当F＝1 N时，词典和课本保持静止，词典不受摩擦力的作用，A正确；当词典和课本将要相对滑动时，词典获得最大加速度，此时有μ1m1g＝m1a1，得a1＝2 m/s2，对整体Fm－f2＝(m1＋m2)a1，解得Fm＝6 N，可知F＝8 N时，词典的加速度为2 m/s2，D错误；当F＝4 N时，课本和词典不发生相对滑动，对整体有F－μ2(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a2，解得a2＝1 m/s2，方向水平向右，对词典有f1＝m1a2＝1.5 N，方向水平向右，B错误；当F＝6 N时，此时词典和课本将要发生相对滑动，所以词典的加速度大小为2 m/s2，C正确．
解答临界、极值问题的常用方法
1．极限法：把物理问题(或过程)推向极端，临界现象(或状态)显现出来．
2．假设法：临界问题存在多种可能，非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，常用假设法解决问题．
3．数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件．
1．(2024·山东济南中学)(多选)如图所示，已知物块A、B的质量分别为m1＝4 kg、m2＝1 kg，A、B间的动摩擦因数为μ1＝0.5，A与水平地面间的动摩擦因数为μ2＝0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g＝10 m/s2，在水平力F的推动下，要使A、B一起运动且B不下滑，则力F的大小可能是(　CD　)
A．50 N B．100 N
C．125 N D．150 N
解析：若B不下滑，对B有μ1FN≥m2g，对B由牛顿第二定律得FN＝m2a；对整体有F－μ2(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a，得F≥(m1＋m2)g＝125 N，C、D正确．
2．(2025·安徽六安期末)(多选)粗糙的水平地面上一物体在水平拉力作用下做直线运动，水平拉力F及物体的运动速度v随时间变化的图像如图甲和图乙所示．取g＝10 m/s2．则(　AD　)
甲
乙
A．前2 s内物体运动的加速度大小为2 m/s2
B．前4 s内物体运动的位移的大小为10 m
C．物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.2
D．物体的质量m为5 kg
解析：根据速度—时间图像的斜率等于加速度，知前2 s内物体的运动加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2，故A正确；前4 s内物体的位移为x＝×4×2 m＋2×4 m＝12 m，故B错误；根据牛顿第二定律得，前2 s内F1－μmg＝ma，后2 s内F2＝μmg，由图得F1＝15 N，F2＝5 N，代入解得m＝5 kg，μ＝0.1，故C错误，D正确．
1．质量为2 kg的物体在水平推力F的作用下沿水平面做直线运动，一段时间后撤去F，其运动的v－t图像如图所示，则物体与水平面间的动摩擦因数μ和水平推力F的大小分别为(取g＝10 m/s2)(　A　)
A．0.2　6 N B．0.1　6 N
C．0.2　8 N D．0.1　8 N
解析：由v－t图像知a1＝1 m/s2，a2＝2 m/s2，由F－μmg＝ma1，μmg＝ma2，解得μ＝0.2，F＝6 N，A正确．
2．(2024·深圳宝安期末调研)一物块以初速度v0冲上粗糙斜面，到达某高度后又滑回斜面底部，则该过程中滑块的速度v及加速度a(v和a均以沿斜面向上为正方向)随时间t变化的图像正确的是(　A　)
　　　　　　
A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D
解析：物块在斜面上运动过程中，取沿斜面向上为正方向，上滑过程，由牛顿第二定律有－mg sin θ－μmg cos θ＝ma1，下滑过程－mg sin θ＋μmg cos θ＝ma2，可知a1＜a2＜0，所以a－t图线都在第四象限；v－t图像斜率的绝对值表示加速度大小，所以上滑阶段图线倾斜程度大，v为正值，下滑阶段图线倾斜程度小，v为负值，故选A．
3．(多选)一人乘电梯上楼，在竖直上升过程中加速度a随时间t变化的图线如图所示，以竖直向上为a的正方向，则人对地板的压力(　AD　)
A．t＝2 s时最大 B．t＝2 s时最小
C．t＝8.5 s时最大 D．t＝8.5 s时最小
解析：由于t＝2 s时物体向上的加速度最大，故此时人对地板的压力最大，因为地板此时对人的支持力最大；而t＝8.5 s时物体向下的加速度最大，故地板对人的支持力最小，即人对地板的压力最小，故A、D正确．
4．将一质量不计的光滑杆倾斜地固定在水平面上，如图甲所示．现在杆上套一光滑的小球，小球在一沿杆向上的拉力F的作用下沿杆向上运动．该过程中小球所受的拉力以及小球的速度随时间变化的规律如图乙、丙所示．取g＝10 m/s2，则下列说法中正确的是(　C　)
甲
乙
丙
A．在2～4 s内小球的加速度大小为1 m/s2
B．小球质量为2 kg
C．杆的倾角为30°
D．小球在0～4 s内的位移为8 m
解析：v－t图像的斜率表示加速度，可知在2～4 s内小球的加速度大小为a＝＝0.5 m/s2，A错误；设杆的倾角为α，由题图乙、丙可知，在0～2 s内小球做匀速直线运动，满足F1＝mg sin α，在2～4 s内小球做匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得F2－mg sin α＝ma，联立解得m＝1 kg，α＝30°，B错误，C正确；v－t图像中图线与t轴围成的面积表示位移，可得小球在0～4 s内的位移为x＝(2×1＋×2) m＝5 m，D错误．
5．如图甲所示，倾角α＝37°的斜面体固定在水平面上，一质量为m＝1 kg的滑块放在斜面上，滑块与斜面体之间的动摩擦因数为μ＝0.5，t＝0时刻在滑块上施加一平行斜面体的外力使其由静止开始运动，滑块的加速度随时间的变化规律如图乙所示，取沿斜面体向上的方向为正．下列说法中正确的是(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6)(　D　)
甲
乙
A．0～1 s内外力与3～4 s内外力大小之比为1∶1
B．2 s末滑块速度的大小为6 m/s
C．1 s末与3 s末滑块的速度等大反向
D．滑块4 s末运动到最高点
解析：由图乙知，在0～1 s时间内，滑块加速度为 2 m/s2，做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得F1－mg sin α－μmg cos α＝ma1，解得F1＝12 N，在3～4 s时间内，滑块的加速度沿斜面体向下，大小为2 m/s2，做匀减速直线运动，由牛顿第二定律定律得mg sin α＋μmg cos α－F2＝ma2，解得F2＝8 N，则0～1 s内外力与3～4 s内外力大小之比为3∶2，A错误；a－t图像中图线与t轴围成的面积对应速度的变化量，因此由图像可得在t＝2 s时滑块的速度最大，其大小为v＝×(1＋2)×2 m/s＝3 m/s，B错误；在t＝1 s到t＝3 s时间内，滑块先加速，后减速，由图中面积关系可知，t＝1 s和t＝3 s时刻，滑块的速度大小均为2 m/s，方向均沿正方向，C错误；在0～4 s时间内，由面积关系可知，滑块运动的方向不变，先沿正方向加速运动，后沿正方向减速运动，在t＝4 s时，滑块的速度为零，此时运动到斜面体的最高点，D正确．
6．如图甲所示，一物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到如图乙所示的水平外力F作用，下列说法中正确的是(　D　)
甲
乙
A．t1时刻速度最大
B．t2时刻开始反向运动
C．t3时刻反向速度最大
D．t4时刻物体离出发点最远
解析：0～t1时间内水平外力F由零增大到最大F0，t1～t2时间内由最大F0减小到零，方向没变，由牛顿第二定律可知，物体0～t2时间内一直加速，因此t2时刻速度最大，A错误； t2时刻力F开始反向，t2时刻物体速度正方向最大，物体开始做减速运动，运动方向没变，B错误；由物体受力的对称性可知，t3时刻的速度与t1时刻的速度相等，方向没变，速度不是最大，C错误；0～t4时间内物体运动方向一直没变，所以t4时刻物体离出发点最远，D正确．
7．(2025·深圳期末)(多选)如图甲所示，物块的质量为m＝1 kg、初速度为v0＝10 m/s，在一水平向左大小不变的力F作用下从O点沿粗糙的水平面向右运动，某时刻该力F突然反向，整个过程中物块的v2－x关系图像如图乙所示，取g＝10 m/s2，则下列说法中正确的是(　AD　)
甲
乙
A．0～1 s内物块做匀减速运动
B．在t＝5 s时刻该力F反向
C．外力F的大小为8 N
D．物块与水平面间的动摩擦因数为0.3
解析：物块做减速运动的加速度为a1＝＝ m/s2＝10 m/s2，减速运动的时间为t1＝＝ s＝1 s，即0～1 s内物块做匀减速运动，在t＝1 s时刻该力F反向，A正确，B错误；减速运动时F＋μmg＝ma1，力F反向后的加速度a2＝＝ m/s2＝4 m/s2，且F－μmg＝ma2，联立解得F＝7 N，μ＝0.3，故C错误，D正确．
8．(多选)如图甲所示，一物块在t＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v－t图像如图乙所示．取g＝10 m/s2，则(　BD　)
甲
乙
A．斜面的长度L＝4 m
B．斜面的倾角θ＝30°
C．物块的质量m＝1 kg
D．物块与斜面间的动摩擦因数μ＝
解析：由图乙可知，物块先向上减速，到达最高点时再向下加速，图像与时间轴围成的面积为物块经过的位移，故可求出物块在斜面上的位移，但是不能求出斜面的长度，A错误；由图乙所示图像可知，加速度大小a1＝＝8 m/s2，a2＝＝2 m/s2，由牛顿第二定律得：上升过程mg sin θ＋μmg cos θ＝ma1，下降过程mg sin θ－μmg cos θ＝ma2，解得θ＝30°，μ＝，B、D正确；根据图乙可以求出加速度，由牛顿第二定律可以求出动摩擦因数与斜面倾角，但是无法求出物块的质量，C错误．
9．(多选)如图所示，一细线的一端固定于倾角为θ的光滑楔形滑块的顶端O处，另一端拴一质量为m的小球．重力加速度为g，不计空气阻力，当小球与滑块一起以加速度a水平向左加速运动时，细线的拉力大小可能为(　BD　)
A．m(a sin θ＋g cos θ)
B．m(g sin θ＋a cos θ)
C．m
D．m
解析：设小球对滑块的压力大小为N，在水平方向上根据牛顿第二定律有T cos θ－N sin θ＝ma，在竖直方向上根据平衡条件有T sin θ＋N cos θ＝mg，当N≠0时，联立解得T＝m(g sin θ＋a cos θ)，当N＝0且小球未脱离滑块表面时，联立解得T＝m，故选B、D．
10．(2024·惠州期末)如图所示，一旅客用F＝60 N的力拉着质量为m＝10 kg的行李箱沿水平地面运动．已知拉力F与水平方向的夹角θ＝60°，从静止开始经t＝2.0 s时行李箱移动的直线距离x＝2 m．若行李箱可看成质点，空气阻力不计，取g＝10 m/s2．求：
(1) 在拉动过程中，行李箱的加速度a的大小．
(2) 在拉动过程中，地面对行李箱的阻力f的大小．
(3) 保持拉力F方向不变，当F至少增大到多少时，行李箱会离开地面“飘”起来？
答案：(1) 1 m/s2　(2) 20 N　(3) N
解析：(1) 由运动学位移时间公式x＝at2
解得加速度大小为a＝1 m/s2
(2) 由牛顿第二定律可得F cos θ－f＝ma
解得f＝20 N
(3) 行李箱“飘”起来：是指地面对其支持力为零，对行李箱分析竖直方向受力，有F′sin θ－mg＝0
解得F′＝ N
可知F至少增大到N，行李箱会离开地面“飘”起来．
11．(2025·珠海一中)“地摊经济”为城市生活带来了方便．如图所示，某摊主的小车上面平放着物品A，右端的直杆上用轻绳悬挂着物品B，小车在与水平方向成α＝37°的拉力F作用下，沿水平地面做匀加速直线运动．已知小车质量为M＝50 kg，物品A、B的质量均为m＝5 kg，物品A与小车间的动摩擦因数为μ＝0.8，不计其他阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8．
(1) 为使得物品A与小车保持相对静止，求拉力的最大值Fm．
(2) 若轻绳与竖直方向的夹角θ＝37°，求拉力F的大小．
答案：(1) 600 N　(2) 562.5 N
解析：(1) 为使得物品A与小车保持相对静止
设小车的最大加速度为am，则 μmg＝mam
解得am＝8 m/s2
对整体有Fmcos α＝(M＋2m)am
解得Fm＝600 N
(2) 对小球B受力分析mg tan θ＝ma
解得a＝7.5 m/s2＜8 m/s2，物品A依然与小车保持相对静止．
对整体有F cos α＝(M＋2m)a
解得F＝562.5 N(共44张PPT)
第四章
运动和力的关系
习题课6　动力学图像与临界极值问题
核心 目标 1．理解图像的意义，能用图像法分析问题和解决动力学图像问题．
2．理解临界状态、临界条件和极值问题的分析方法，能求解简单的临界和极值问题．
能力提升 典题固法
动力学图像问题的求解
1．已知物体受的力随时间变化的　F－t　图像，要求分析物体的运动情况．
2．已知物体的速度、加速度随时间变化的　v－t图像　、　a－t图像　，要求分析物体的受力情况．
3．由已知条件确定某相关量的变化图像．
4．用图像求解问题：将不太清晰的物理量变化过程构建图像展示出来，再根据有关物理规律求解．
类型
1
　　　(2025·广州九区期末)(多选)如图所示，小物块以某一初速度从斜面底端冲上固定粗糙斜面．下面给出的描述上述全过程中小物块的速度v随时间t变化和加速度a随时间t变化的图像中，可能正确的有 (　　　)
1
ABD
A　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　D
　　　(2024·安徽芜湖一中)如图甲所示，物体原来静止在水平面上，用一水平力F拉物体，在F从0开始逐渐增大的过程中，物体加速度a随力F变化的图像如图乙所示，取g＝10 m/s2．则 (　　)
A．加速度a与力F成正比
B．物体在力F作用下做匀加速直线运动
C．物体的质量为1 kg
D．物体与水平面间的动摩擦因数为0.3
2
D
甲
乙
解析：a－F图像是不过原点的直线，所以a与F成线性关系，不是成正比，A错误；物体在力F作用下做加速度增大的变加速运动，B错误；设物体的质量为m，物体与水平面间的动摩擦因数为μ，根据牛顿第二定律有F－μmg＝ma，取图中数据代入后解得m＝2 kg，μ＝0.3，C错误，D正确．
图像问题的解题策略
1．把图像与具体的题意、情景结合起来，明确图像的物理意义，明确图像所反映的物理过程．
2．特别注意图像中的一些特殊点，如图线与横、纵坐标轴的交点，图线的转折点，两图线的交点等所表示的物理意义．注意图线的斜率、图线与横轴所围图形面积的物理意义．
3．应用物理规律列出与图像对应的函数关系式，进而明确“图像与公式” “图像与物体”的关系，以便对有关物理问题作出准确判断．
动力学的临界、极值问题
1．临界状态：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态．
2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”、“最小”、“刚好”、“恰好”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件．
类型
2
3．临界问题的常见类型及临界条件
(1) 接触与脱离的临界条件：两物体间的弹力恰好为零．
(2) 相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力．
(3) 绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断裂的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是张力为零．
(4) 加速度最大、最小与速度最大、最小的临界条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度．当加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值．
　　　(2025·汕头期末)(多选)如图所示，A、B两个物体相互接触，但并不黏合，放置在水平面上，水平面与物体间的摩擦力可忽略，两物体的质量mA为4 kg，mB为6 kg．从t＝0开始，水平共线的两个力FA和FB分别始终作用于A、B上，FA、FB随时间的变化规律为：FA＝8－2t(N)，FB＝2＋2t(N)．在t＝0时刻，FA、FB的方向如图所示．下列说法中正确的是 (　 　)
A．在t＝1 s时刻，物体B所受外力的合力为4 N
B．8 s内物体B的加速度一直增大
C．在t＝1 s时刻，物体A、B之间的弹力大小为2 N
D．t＝0.8 s时刻，物体B的加速度大小为1 m/s2
3
CD
解析：当A、B之间弹力为零时，A、B分开，此时二者加速度相同，设共同的加速度大小为a，则分别对A、B使用牛顿第二定律得FA＝8－2t＝mAa，FB＝2＋2t＝mBa，联立解得a＝1 m/s2，t＝2 s，故前2 s内，A、B受合外力不变，加速度大小始终为1 m/s2，B所受外力的合力大小等于FB合＝mBa＝6 N，故A、B错误，D正确；在t＝1 s时刻，A、B相对静止，对B由牛顿第二定律得FB＋FAB＝mBa，解得FAB＝2 N，故C正确．
　　　(2025·肇庆期末)(多选)如图甲所示，书桌上水平叠放着一本词典和一本课本．保持桌面不动，用水平恒力F作用于下面的课本，模型简化如图乙所示．已知词典的质量m1＝1.5 kg，课本的质量m2＝0.5 kg，课本与词典间的动摩擦因数μ1＝0.2，课本与桌面间的动摩擦因数μ2＝0.1，取g＝10 m/s2，词典与课本、课本与桌面之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．下列说法中正确的是 (　 　)
A．F＝1 N时，词典不受摩擦力的作用
B．F＝4 N时，词典受到的摩擦力为3 N，方向水平向右
C．F＝6 N时，词典的加速度大小为2 m/s2
D．F＝8 N时，词典的加速度大小为3 m/s2
4
AC
甲
乙
解析：桌面对词典和课本整体的滑动摩擦力为f2＝μ2(m1＋m2)g＝2 N，即欲使词典和课本运动，拉力F必须大于2 N，所以当F＝1 N时，词典和课本保持静止，词典不受摩擦力的作用，A正确；当词典和课本将要相对滑动时，词典获得最大加速度，此时有μ1m1g＝m1a1，得a1＝2 m/s2，对整体Fm－f2＝(m1＋m2)a1，解得Fm＝6 N，可知F＝8 N时，词典的加速度为2 m/s2，D错误；当F＝4 N时，课本和词典不发生相对滑动，对整体有F－μ2(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a2，解得a2＝1 m/s2，方向水平向右，对词典有f1＝m1a2＝1.5 N，方向水平向右，B错误；当F＝6 N时，此时词典和课本将要发生相对滑动，所以词典的加速度大小为2 m/s2，C正确．
解答临界、极值问题的常用方法
1．极限法：把物理问题(或过程)推向极端，临界现象(或状态)显现出来．
2．假设法：临界问题存在多种可能，非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，常用假设法解决问题．
3．数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件．
随堂内化 即时巩固
1．(2024·山东济南中学)(多选)如图所示，已知物块A、B的质量分别为m1＝4 kg、m2＝1 kg，A、B间的动摩擦因数为μ1＝0.5，A与水平地面间的动摩擦因数为μ2＝0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g＝10 m/s2，在水平力F的推动下，要使A、B一起运动且B不下滑，则力F的大小可能是 (　 　)
A．50 N B．100 N
C．125 N D．150 N
CD
2．(2025·安徽六安期末)(多选)粗糙的水平地面上一物体在水平拉力作用下做直线运动，水平拉力F及物体的运动速度v随时间变化的图像如图甲和图乙所示．取g＝10 m/s2．则 (　 　)
A．前2 s内物体运动的加速度大小为2 m/s2
B．前4 s内物体运动的位移的大小为10 m
C．物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.2
D．物体的质量m为5 kg
AD
甲
乙
配套新练案
1．质量为2 kg的物体在水平推力F的作用下沿水平面做直线运动，一段时间后撤去F，其运动的v－t图像如图所示，则物体与水平面间的动摩擦因数μ和水平推力F的大小分别为(取g＝10 m/s2) (　　)
A．0.2　6 N B．0.1　6 N
C．0.2　8 N D．0.1　8 N
A
解析：由v－t图像知a1＝1 m/s2，a2＝2 m/s2，由F－μmg＝ma1，μmg＝ma2，解得μ＝0.2，F＝6 N，A正确．
2．(2024·深圳宝安期末调研)一物块以初速度v0冲上粗糙斜面，到达某高度后又滑回斜面底部，则该过程中滑块的速度v及加速度a(v和a均以沿斜面向上为正方向)随时间t变化的图像正确的是 (　　)
A
解析：物块在斜面上运动过程中，取沿斜面向上为正方向，上滑过程，由牛顿第二定律有－mg sin θ－μmg cos θ＝ma1，下滑过程－mg sin θ＋μmg cos θ＝ma2，可知a1＜a2＜0，所以a－t图线都在第四象限；v－t图像斜率的绝对值表示加速度大小，所以上滑阶段图线倾斜程度大，v为正值，下滑阶段图线倾斜程度小，v为负值，故选A．
3．(多选)一人乘电梯上楼，在竖直上升过程中加速度a随时间t变化的图线如图所示，以竖直向上为a的正方向，则人对地板的压力 (　 　)
A．t＝2 s时最大
B．t＝2 s时最小
C．t＝8.5 s时最大
D．t＝8.5 s时最小
AD
解析：由于t＝2 s时物体向上的加速度最大，故此时人对地板的压力最大，因为地板此时对人的支持力最大；而t＝8.5 s时物体向下的加速度最大，故地板对人的支持力最小，即人对地板的压力最小，故A、D正确．
4．将一质量不计的光滑杆倾斜地固定在水平面上，如图甲所示．现在杆上套一光滑的小球，小球在一沿杆向上的拉力F的作用下沿杆向上运动．该过程中小球所受的拉力以及小球的速度随时间变化的规律如图乙、丙所示．取g＝10 m/s2，则下列说法中正确的是 (　　)
A．在2～4 s内小球的加速度大小为1 m/s2
B．小球质量为2 kg
C．杆的倾角为30°
D．小球在0～4 s内的位移为8 m
C
甲
乙
丙
5．如图甲所示，倾角α＝37°的斜面体固定在水平面上，一质量为m＝1 kg的滑块放在斜面上，滑块与斜面体之间的动摩擦因数为μ＝0.5，t＝0时刻在滑块上施加一平行斜面体的外力使其由静止开始运动，滑块的加速度随时间的变化规律如图乙所示，取沿斜面体向上的方向为正．下列说法中正确的是(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6) (　　)
A．0～1 s内外力与3～4 s内外力大小之比为1∶1
B．2 s末滑块速度的大小为6 m/s
C．1 s末与3 s末滑块的速度等大反向
D．滑块4 s末运动到最高点
D
甲
乙
解析：由图乙知，在0～1 s时间内，滑块加速度为 2 m/s2，做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得F1－mg sin α－μmg cos α＝ma1，解得F1＝12 N，在3～4 s时间内，滑块的加速度沿斜面体向下，大小为2 m/s2，做匀减速直线运动，由牛顿第二定律定律得mg sin α＋μmg cos α－F2＝ma2，解得F2＝8 N，则0～1 s内外力与3～4 s内外力大小之比为3∶2，A错误；
6．如图甲所示，一物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到如图乙所示的水平外力F作用，下列说法中正确的是 (　　)
A．t1时刻速度最大
B．t2时刻开始反向运动
C．t3时刻反向速度最大
D．t4时刻物体离出发点最远
D
甲
乙
解析：0～t1时间内水平外力F由零增大到最大F0，t1～t2时间内由最大F0减小到零，方向没变，由牛顿第二定律可知，物体0～t2时间内一直加速，因此t2时刻速度最大，A错误； t2时刻力F开始反向，t2时刻物体速度正方向最大，物体开始做减速运动，运动方向没变，B错误；由物体受力的对称性可知，t3时刻的速度与t1时刻的速度相等，方向没变，速度不是最大，C错误；0～t4时间内物体运动方向一直没变，所以t4时刻物体离出发点最远，D正确．
7．(2025·深圳期末)(多选)如图甲所示，物块的质量为m＝1 kg、初速度为v0＝10 m/s，在一水平向左大小不变的力F作用下从O点沿粗糙的水平面向右运动，某时刻该力F突然反向，整个过程中物块的v2－x关系图像如图乙所示，取g＝10 m/s2，则下列说法中正确的是 (　 　)
A．0～1 s内物块做匀减速运动
B．在t＝5 s时刻该力F反向
C．外力F的大小为8 N
D．物块与水平面间的动摩擦因数为0.3
AD
甲
乙
8．(多选)如图甲所示，一物块在t＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v－t图像如图乙所示．取g＝10 m/s2，则 (　 　)
A．斜面的长度L＝4 m
B．斜面的倾角θ＝30°
C．物块的质量m＝1 kg
BD
甲
乙
9．(多选)如图所示，一细线的一端固定于倾角为θ的光滑楔形滑块的顶端O处，另一端拴一质量为m的小球．重力加速度为g，不计空气阻力，当小球与滑块一起以加速度a水平向左加速运动时，细线的拉力大小可能为 (　 　)
A．m(a sin θ＋g cos θ)
B．m(g sin θ＋a cos θ)
BD
10．(2024·惠州期末)如图所示，一旅客用F＝60 N的力拉着质量为m＝10 kg的行李箱沿水平地面运动．已知拉力F与水平方向的夹角θ＝60°，从静止开始经t＝2.0 s时行李箱移动的直线距离x＝2 m．若行李箱可看成质点，空气阻力不计，取g＝10 m/s2．求：
(1) 在拉动过程中，行李箱的加速度a的大小．
答案：(1) 1 m/s2
(2) 在拉动过程中，地面对行李箱的阻力f的大小．
答案：(2) 20 N
解析：(2) 由牛顿第二定律可得F cos θ－f＝ma
解得f＝20 N
(3) 保持拉力F方向不变，当F至少增大到多少时，行李箱会离开地面“飘”起来？
解析：(3) 行李箱“飘”起来：是指地面对其支持力为零，对行李箱分析竖直方向受力，有F′sin θ－mg＝0
11．(2025·珠海一中)“地摊经济”为城市生活带来了方便．如图所示，某摊主的小车上面平放着物品A，右端的直杆上用轻绳悬挂着物品B，小车在与水平方向成α＝37°的拉力F作用下，沿水平地面做匀加速直线运动．已知小车质量为M＝50 kg，物品A、B的质量均为m＝5 kg，物品A与小车间的动摩擦因数为μ＝0.8，不计其他阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8．
(1) 为使得物品A与小车保持相对静止，求拉力的最大值Fm．
答案：(1) 600 N
解析：(1) 为使得物品A与小车保持相对静止
设小车的最大加速度为am，则 μmg＝mam
解得am＝8 m/s2
对整体有Fmcos α＝(M＋2m)am
解得Fm＝600 N
(2) 若轻绳与竖直方向的夹角θ＝37°，求拉力F的大小．
答案：(2) 562.5 N
解析：(2) 对小球B受力分析mg tan θ＝ma
解得a＝7.5 m/s2＜8 m/s2，物品A依然与小车保持相对静止．
对整体有F cos α＝(M＋2m)a
解得F＝562.5 N
谢谢观赏习题课6　动力学图像与临界极值问题
核心 目标 1．理解图像的意义，能用图像法分析问题和解决动力学图像问题．
2．理解临界状态、临界条件和极值问题的分析方法，能求解简单的临界和极值问题．
类型1　动力学图像问题的求解
1．已知物体受的力随时间变化的__F－t__图像，要求分析物体的运动情况．
2．已知物体的速度、加速度随时间变化的__v－t图像__、__a－t图像__，要求分析物体的受力情况．
3．由已知条件确定某相关量的变化图像．
4．用图像求解问题：将不太清晰的物理量变化过程构建图像展示出来，再根据有关物理规律求解．
　(2025·广州九区期末)(多选)如图所示，小物块以某一初速度从斜面底端冲上固定粗糙斜面．下面给出的描述上述全过程中小物块的速度v随时间t变化和加速度a随时间t变化的图像中，可能正确的有(　　)
　　　　　　
A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D
　(2024·安徽芜湖一中)如图甲所示，物体原来静止在水平面上，用一水平力F拉物体，在F从0开始逐渐增大的过程中，物体加速度a随力F变化的图像如图乙所示，取g＝10 m/s2．则(　　)
甲
乙
A．加速度a与力F成正比
B．物体在力F作用下做匀加速直线运动
C．物体的质量为1 kg
D．物体与水平面间的动摩擦因数为0.3
图像问题的解题策略
1．把图像与具体的题意、情景结合起来，明确图像的物理意义，明确图像所反映的物理过程．
2．特别注意图像中的一些特殊点，如图线与横、纵坐标轴的交点，图线的转折点，两图线的交点等所表示的物理意义．注意图线的斜率、图线与横轴所围图形面积的物理意义．
3．应用物理规律列出与图像对应的函数关系式，进而明确“图像与公式”“图像与物体”的关系，以便对有关物理问题作出准确判断．
类型2　动力学的临界、极值问题
1．临界状态：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态．
2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”、“最小”、“刚好”、“恰好”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件．
3．临界问题的常见类型及临界条件
(1) 接触与脱离的临界条件：两物体间的弹力恰好为零．
(2) 相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力．
(3) 绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断裂的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是张力为零．
(4) 加速度最大、最小与速度最大、最小的临界条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度．当加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值．
　(2025·汕头期末)(多选)如图所示，A、B两个物体相互接触，但并不黏合，放置在水平面上，水平面与物体间的摩擦力可忽略，两物体的质量mA为4 kg，mB为6 kg．从t＝0开始，水平共线的两个力FA和FB分别始终作用于A、B上，FA、FB随时间的变化规律为：FA＝8－2t(N)，FB＝2＋2t(N)．在t＝0时刻，FA、FB的方向如图所示．下列说法中正确的是(　　)
A．在t＝1 s时刻，物体B所受外力的合力为4 N
B．8 s内物体B的加速度一直增大
C．在t＝1 s时刻，物体A、B之间的弹力大小为2 N
D．t＝0.8 s时刻，物体B的加速度大小为1 m/s2
　(2025·肇庆期末)(多选)如图甲所示，书桌上水平叠放着一本词典和一本课本．保持桌面不动，用水平恒力F作用于下面的课本，模型简化如图乙所示．已知词典的质量m1＝1.5 kg，课本的质量m2＝0.5 kg，课本与词典间的动摩擦因数μ1＝0.2，课本与桌面间的动摩擦因数μ2＝0.1，取g＝10 m/s2，词典与课本、课本与桌面之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．下列说法中正确的是(　　)
甲
乙
A．F＝1 N时，词典不受摩擦力的作用
B．F＝4 N时，词典受到的摩擦力为3 N，方向水平向右
C．F＝6 N时，词典的加速度大小为2 m/s2
D．F＝8 N时，词典的加速度大小为3 m/s2
解答临界、极值问题的常用方法
1．极限法：把物理问题(或过程)推向极端，临界现象(或状态)显现出来．
2．假设法：临界问题存在多种可能，非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，常用假设法解决问题．
3．数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件．
1．(2024·山东济南中学)(多选)如图所示，已知物块A、B的质量分别为m1＝4 kg、m2＝1 kg，A、B间的动摩擦因数为μ1＝0.5，A与水平地面间的动摩擦因数为μ2＝0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g＝10 m/s2，在水平力F的推动下，要使A、B一起运动且B不下滑，则力F的大小可能是(　　)
A．50 N B．100 N
C．125 N D．150 N
2．(2025·安徽六安期末)(多选)粗糙的水平地面上一物体在水平拉力作用下做直线运动，水平拉力F及物体的运动速度v随时间变化的图像如图甲和图乙所示．取g＝10 m/s2．则(　　)
甲
乙
A．前2 s内物体运动的加速度大小为2 m/s2
B．前4 s内物体运动的位移的大小为10 m
C．物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.2
D．物体的质量m为5 kg
1．质量为2 kg的物体在水平推力F的作用下沿水平面做直线运动，一段时间后撤去F，其运动的v－t图像如图所示，则物体与水平面间的动摩擦因数μ和水平推力F的大小分别为(取g＝10 m/s2)(　)
A．0.2　6 N B．0.1　6 N
C．0.2　8 N D．0.1　8 N
2．(2024·深圳宝安期末调研)一物块以初速度v0冲上粗糙斜面，到达某高度后又滑回斜面底部，则该过程中滑块的速度v及加速度a(v和a均以沿斜面向上为正方向)随时间t变化的图像正确的是(　　)
　　　　　　
A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D
3．(多选)一人乘电梯上楼，在竖直上升过程中加速度a随时间t变化的图线如图所示，以竖直向上为a的正方向，则人对地板的压力(　　)
A．t＝2 s时最大 B．t＝2 s时最小
C．t＝8.5 s时最大 D．t＝8.5 s时最小
4．将一质量不计的光滑杆倾斜地固定在水平面上，如图甲所示．现在杆上套一光滑的小球，小球在一沿杆向上的拉力F的作用下沿杆向上运动．该过程中小球所受的拉力以及小球的速度随时间变化的规律如图乙、丙所示．取g＝10 m/s2，则下列说法中正确的是(　　)
甲
乙
丙
A．在2～4 s内小球的加速度大小为1 m/s2
B．小球质量为2 kg
C．杆的倾角为30°
D．小球在0～4 s内的位移为8 m
5．如图甲所示，倾角α＝37°的斜面体固定在水平面上，一质量为m＝1 kg的滑块放在斜面上，滑块与斜面体之间的动摩擦因数为μ＝0.5，t＝0时刻在滑块上施加一平行斜面体的外力使其由静止开始运动，滑块的加速度随时间的变化规律如图乙所示，取沿斜面体向上的方向为正．下列说法中正确的是(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6)(　　)
甲
乙
A．0～1 s内外力与3～4 s内外力大小之比为1∶1
B．2 s末滑块速度的大小为6 m/s
C．1 s末与3 s末滑块的速度等大反向
D．滑块4 s末运动到最高点
6．如图甲所示，一物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到如图乙所示的水平外力F作用，下列说法中正确的是(　　)
甲
乙
A．t1时刻速度最大
B．t2时刻开始反向运动
C．t3时刻反向速度最大
D．t4时刻物体离出发点最远
7．(2025·深圳期末)(多选)如图甲所示，物块的质量为m＝1 kg、初速度为v0＝10 m/s，在一水平向左大小不变的力F作用下从O点沿粗糙的水平面向右运动，某时刻该力F突然反向，整个过程中物块的v2－x关系图像如图乙所示，取g＝10 m/s2，则下列说法中正确的是(　　)
甲
乙
A．0～1 s内物块做匀减速运动
B．在t＝5 s时刻该力F反向
C．外力F的大小为8 N
D．物块与水平面间的动摩擦因数为0.3
8．(多选)如图甲所示，一物块在t＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v－t图像如图乙所示．取g＝10 m/s2，则(　　)
甲
乙
A．斜面的长度L＝4 m
B．斜面的倾角θ＝30°
C．物块的质量m＝1 kg
D．物块与斜面间的动摩擦因数μ＝
9．(多选)如图所示，一细线的一端固定于倾角为θ的光滑楔形滑块的顶端O处，另一端拴一质量为m的小球．重力加速度为g，不计空气阻力，当小球与滑块一起以加速度a水平向左加速运动时，细线的拉力大小可能为(　　)
A．m(a sin θ＋g cos θ)
B．m(g sin θ＋a cos θ)
C．m
D．m
10．(2024·惠州期末)如图所示，一旅客用F＝60 N的力拉着质量为m＝10 kg的行李箱沿水平地面运动．已知拉力F与水平方向的夹角θ＝60°，从静止开始经t＝2.0 s时行李箱移动的直线距离x＝2 m．若行李箱可看成质点，空气阻力不计，取g＝10 m/s2．求：
(1) 在拉动过程中，行李箱的加速度a的大小．
(2) 在拉动过程中，地面对行李箱的阻力f的大小．
(3) 保持拉力F方向不变，当F至少增大到多少时，行李箱会离开地面“飘”起来？
11．(2025·珠海一中)“地摊经济”为城市生活带来了方便．如图所示，某摊主的小车上面平放着物品A，右端的直杆上用轻绳悬挂着物品B，小车在与水平方向成α＝37°的拉力F作用下，沿水平地面做匀加速直线运动．已知小车质量为M＝50 kg，物品A、B的质量均为m＝5 kg，物品A与小车间的动摩擦因数为μ＝0.8，不计其他阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8．
(1) 为使得物品A与小车保持相对静止，求拉力的最大值Fm．
(2) 若轻绳与竖直方向的夹角θ＝37°，求拉力F的大小．

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