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第四章 一次函数
北师大版2024·八年级上册
4.1 函数
学 习 目 标
1
2
理解掌握函数概念，了解函数的三种表示方法.
根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，会求出另一个量的值.
复习旧知
星体位置随着时间的变化而变化.
复习旧知
水面高度和石子数量.石子数量改变使得水面高度改变，而水量固定不变.
水面高度
水量
石子数量
乌鸦能喝到水，是因为什么量发生了改变呢？
新知探究
【问题1】 你坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
由低变高，再由高变低.
新知探究
新知探究
下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
T/分 0 1 2 3 4 5 …
h/米 …
(1)根据左图填表：
(2)对于给定的时间t ，相应的高度h确定吗？
11
37
45
37
3
10
确定
新知探究
操作思考
【问题2】 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
层数n 1 2 3 4 5 …
物体总数y …
填写下表：
1
3
6
10
15
对于给定任一层数 n，相应的物体总数 y 确定吗 有几个 y 值和它对应
唯一一个 y 值
新知探究
【问题3】 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
（2）给定任一个大于-273 ℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？
230K、246K 、273K、291K
解：当t=-43时，
T=-43+273=230（K）
唯一一个T值
解：能.因为t＞-273时，T＞0，满足条件且T是唯一确定.
新知探究
上面的三个问题中，有什么共同特点？
①时间 t 、相应的高度 h ；
②层数 n、物体总数 y；
③摄氏温度 t 、热力学温度 T.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
新知探究
函数
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量.
注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.
新知探究
①列表法
②关系式法
③图象法
思考：表示函数的方法一般有哪些
典例分析
判断一个关系是不是函数关系的方法:
(1)看是否存在两个变量;
(2)看其中一个变量每取一个确定的值,另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应.
若同时满足以上三个条件,则是函数关系.
方法技巧
例1 下列是关于变量 x，y 的关系：
① y= ； ② 5x－2y=1； ③ y=|3x|； ④ x－y2=2；⑤ x=|3y|．其中表示 y 是 x 的函数的是( )
A．①②③ B．①②⑤
C．②③④ D．①③⑤
A
新知探究
尝试思考
自变量 t 的取值范围:_______
t ＞0
自变量 n 的取值范围:____________
n 取正整数
自变量 t 的取值范围：___________
t ≥﹣237
上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值
新知探究
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值．
即：如果 y 是 x 的函数，
当 x = a 时，y = b，
那么b叫做当 x =a时的函数值．
注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值．
函数值
典例分析
把自变量 x 的值带入关系式中，即可求出函数的值.
方法技巧
(1) 求当 x = 2 ，3，-3 时，函数的值；
(2) 求当 x 取什么值时，函数的值为 0.
例2 已知函数
解：(1) 当 x = 2 时，y = ；
当 x = 3 时，y = ；
当 x = -3 时，y = 7.
(2) 令 解得 x =
即当 x = 时，y = 0.
课堂小结
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的________，变量 y 都有 与它对应，那么我们称 y 是 x 的 ，其中 x 是______
如果 y 是 x 的函数，当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为___时的_______
函数
每一个值
唯一的值
自变量
函数
a
函数值
变式训练
1.下列说法中，不正确的是 ( )
A. 函数不是数，而是一种关系
B. 多边形的内角和是边数的函数
C. 一天中时间是温度的函数
D. 一天中温度是时间的函数
C
变式训练
2.下列各表达式不是表示y是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
C
变式训练
3.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）.
（1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；
解：（1）当0＜x≤3时，y=8；
当x＞3时，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6.
当x=2时，y=8；x=6时，y=1.8×6＋2.6=13.4.
变式训练
3.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）.
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？
当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.
感谢聆听!

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