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第四章 一次函数
北师大版2024·八年级上册
4.3 一次函数的图象
第2课时 一次函数的图象及性质
学 习 目 标
1
2
了解一次函数的图象与性质．（重点）
能熟练画出一次函数的图象,掌握一次函数及其图象的简单性质.
情景引入
函数 解析式
正比例函数 y=kx (k是常数，k ≠ 0)
一次函数 y=kx+b (k，b 是常数，k ≠ 0)
从解析式上看，正比例函数与一次函数相差什么 如果体现在图象和性质上，正比例函数与一次函数又会有怎样的关系呢
情景引入
正比例函数
解析式 y = kx(k≠ 0)
性质：k＞0，y 随 x 的增大而增大；k＜0，y随 x 的增大而减小．
一次函数
解析式 y=kx+b (k≠0)
针对函数 y = kx + b，要研究什么？怎样研究？
图象：经过原点和
(1，k)的一条直线
x
y
O
k＞0
k＜0
x
y
O
？
？
新知探究
操作思考
画出一次函数 y= 2x＋1 的图象
y=2x＋1
解：(1) 列表;
x … -2 -1 0 1 2 …
y
1
3
5
-3
-1
···
···
(2) 描点；
(3) 连线.
新知探究
观察这两个函数图象，发现:
相同点：________________________
不同点：_____________________
_____________________________.
联系：_______________________
_____________________________.
都是直线；
倾斜程度相同；
y=2x的图象过原点；
y=2x+1的图象与y轴交于点(0,1)；
y=2x+1的图象可以看作y=2x的
图象向上平移1个单位长度得到的
…
…
y=2x＋1
y=2x
新知探究
一次函数 y=kx＋b (k≠0)的图象是一条直线，我们称它为直线 y=kx＋b (k≠0).
一次函数y＝kx＋b的图象有何特点？
怎么画一次函数的图象更简便呢
新知探究
对于一次函数 y = kx + b (k ≠ 0)来说，必定与 x 轴和 y 轴形成交点，所以一般采用：一次函数图象与坐标轴的交点.
令x=0，则得y=b，图象与y轴交于(0，b)；
令 y = 0 时，则得 x = 图象与 x 轴交于( ，0).
(0，b)
( ，0)
因此画函数图象时，只要____________，再过这两点画直线就可以了.
确定两个点
典例分析
画函数图象的一般步骤：列表→ 描点→ 连线
方法技巧
例1.（1）画出函数y＝2x－1的图象；
(2)判断点(5，9)，(7，15)是否在此函数的图象上.
x … －2 －1 0 1 2 …
y … －5 －3 －1 1 3 …
描点、连线就得到函数y＝2x－1的图象.
解：（1）
典例分析
判断一个点是否在函数图象上的方法是将点的坐标代入函数表达式，看是否满足该函数表达式 .
方法技巧
(2)判断点(5，9)，(7，15)是否在此函数的图象上.
解：当x＝5时，y＝2×5－1＝9，所以点(5，9)在此函数的图象上.
当x＝7时，y＝2×7－1＝13≠15, 所以点(7，15)不在此函数的图象上.
新知探究
尝试思考
y=3x＋1
y=4x－3
y=﹣x＋1
探究：在同一直角坐标系内分别画出一次函数 y＝3x＋1，y＝﹣x＋1，y＝3x－2 和y＝4x﹣3 的图象.
y=3x－2
(1) 上述四个函数中，随着 x 值的增大，y 的值分别如何变化？相应图象上点的变化趋势如何？
新知探究
k＞0 时，直线从左向右上升，y 随 x 的增大而增大；
k＜0 时，直线从左向右下降，y 随 x 的增大而减小．
y=3x＋1
y=4x－3
y=﹣x＋1
y=3x－2
新知探究
(2) 随着x值得增大，y 的值增大速度最快的是哪个函数？
y=3x＋1
y=4x－3
y=﹣x＋1
y=3x－2
y=4x－3
新知探究
y=3x＋1
y=3x－2
（3）哪两个函数的图像互相平行？
y=3x＋1；y=3x－2
新知探究
比较函数 y = 3x－2 与 y =3x＋1 的解析式.
x -2 -1 0 1 2
y=3x－2 -8 -5 -2 1 4
y=3x＋1 -5 -2 1 4 7
+3
+3
反映在图象上：不论横坐标是几，这两个函数图象的纵坐标总差同一个值 3，即一个函数的图象总比另一个函数图象高出同一高度.
+3
+3
+3
2
-2
-4
-6
-2
2
x
y
O
4
y=3x＋1
y=3x－2
即直线 y = 3x－2 向上平移 3 个单位长度就得到 y = 3x +1 的图象，
因此，直线 y = 3x－2 与直线 y = 3x＋1 倾斜程度相同，平行.
新知探究
（3）图中与y轴交于同一个点的函数有哪些？
y=3x＋1
y=4x－3
y=﹣x＋1
y=3x－2
一般地，你能从函数
y＝kx+b的图象上直接看出
b的数值吗？
新知探究
y=3x＋1
y=4x－3
y=﹣x＋1
y=3x－2
在一次函数y＝kx＋b的图象经过点_______，它可以看作由函数_______平移______个单位长度得到.
当b＞0时，向____平移；当b＜0时，向____平移.
（0，b）
y＝kx
|b|
上
下
新知探究
思考：根据一次函数的图象判断 k，b 的正负，并说出直线经过的象限：
k 0，b 0
＞
＞
k 0，b 0
k 0，b 0
＞
＞
＜
=
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
＞
＜
＜
＜
＜
=
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
新知探究
一次函数 y = kx＋b 中，k，b 的正负对函数图象及性质有什么影响？
当 k＞0 时，直线 y = kx＋b 由左到右逐渐上升，y 随 x 的增大而增大.
① b＞0 时，直线经过第一、二、三象限；
② b＜0 时，直线经过第一、三、四象限.
当 k＜0 时，直线 y = kx＋b 由左到右逐渐下降，y 随 x 的增大而减小.
① b＞0 时，直线经过第 一、二、四象限；
② b＜0 时，直线经过第二、三、四象限.
典例分析
直线y= kx+b平移时,k的值不变,向上平移h(h>0)个单位长度时,是b 加h ;向下平移h(h>0)个单位长度时,是b减h.所以直线的上、下平移可简记为“上加下减”.
方法技巧
例2.(1)将直线y=2x向上平移2个单位长度后,得到直线AB,求直线AB对应的函数表达式;
(2)将(1)中直线AB再向下平移3个单位长度后,得到直线CD,求直线CD对应的函数表达式.
解：(1) y=2x+2 ;
(2) y=2x－1.
典例分析
根据一次函数性质求解：
方法技巧
例3.已知一次函数 y = (1 - 2m)x + m - 1，求满足下列条件的 m 的值：
（1）函数值 y 随 x 的增大而增大；
（2）函数图象与 y 轴的负半轴相交；
（3）函数的图象过第二、三、四象限.
解：(1)由题意得 1 - 2m＞0，解得
(2)由题意得 1-2m≠0 且m-1＜0，即
(3)由题意得 1-2m＜0且 m-1＜0，解得
课堂小结
一次函数的图象和性质
图象
当 k＞0 时，y 的值随 x 值的增大而_____；
当 k＜0 时，y 的值随 x 值的增大而_____
增大
减小
性质
与 y 轴的交点是（0，b），
与 x 轴的交点是（ ，0）；
当 k ＞ 0， b ＞ 0 时，经过一、二、三象限；
当 k ＞ 0 ，b ＜ 0 时，经过一、三、四象限；
当 k ＜ 0 ，b ＞ 0 时，经过一、二、四象限；
当 k ＜ 0 ，b ＜ 0 时，经过二、三、四象限.
变式训练
1.关于函数 y=－2x+1，下列结论正确的是( )
A. 图象必经过点(－2，1)
B. 图象经过第一、二、三象限
C. 图象与直线 y=－2x+3 平行
D.y 随 x 的增大而增大
C
变式训练
2.点 A (-1，y1)，B (3，y2) 是直线 y=kx+b(k＜0)上的两点，则 y1-y2 0(填“＞”或“＜”).
＞
变式训练
3.已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与 y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值 .
解: 由题意得
解得
又∵m为整数,
∴m＝2.
感谢聆听!

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