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5.1.1 平均变化率
第5章
1.理解函数平均变化率的概念．
2.会求函数的平均变化率．
3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．
某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：
问题1：从A到B的位移是多少？从B到C的位移是多少？
问题2：从A到B这一段与从B到C这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？
14.8
15.1
AB段位移增加得平缓，BC段位移则是陡然增加．
虽然点A，B之间的位移差与点B，C之间的位移差几乎相同，但它们的平均变化率却相差很大．
位移在区间[1，32]上的平均变化率为：
位移在区间[32，34]上的平均变化率为：
18.6?3.532?1=15.131≈0.5(m/s)
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33.4?18.634?3.2=14.82=7.4(m/s)
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函数????(????)在区间[????1，????2]上的平均变化率为????(????2)?????(????1)????2?????1.
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注意：不能脱离区间而言
曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，
问题:在平均变化率中， Δx， Δy， Δ????Δ????是否可以等于0？当平均变化率等于0时，是否说明函数在该区间上一定为常数？
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分析：Δx可以为正数,也可以为负数，但Δx不可以为0，Δy可以为0.
当平均变化率Δ????Δ????等于0时，并不说明函数在该区间上一定为常数.
例如函数f(x)=x2在区间[-2,2]的平均变化率是0，但它不是常数函数.
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例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．
解：从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为
6.5?3.53?0=1(kg/月) ，
从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为
11?8.612?6=0.4(kg/月) .
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如何解释从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1(kg/月)？
当婴儿从出生长到第3个月时，婴儿的体重随月份每增加1月，体重增加1kg.
例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积V(t)＝5e-0.1t(单位：cm3)，试计算第一个10s内V的平均变化率．
解：在第一个10s内，体积V的平均变化率为
????(10)?????(0)10?0=5×2?1?5×2010?0=?0.25(cm3/s).
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问题1：例2中的平均变化率的实际意义是什么？
问题2：负号表示容器甲中的水在减少，但是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积减少的速度呢？
在第一个10s内，容器甲中水的体积随时间每增加1s，体积减小0.25cm3.
不是
例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积V(t)＝5e-0.1t(单位：cm3)，试计算第一个10s内V的平均变化率．
解：在第一个10s内，体积V的平均变化率为
????(10)?????(0)10?0=5×2?1?5×2010?0=?0.25(cm3/s).
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问题3：第一个10s内乙容器中水的体积平均变化率为多少？
体积平均变化率为0.25cm3/s
归纳总结
用数学归纳法证明恒等式时应关注以下三点：
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；
(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加或减少了哪些项；
(3)证明n=k+1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
例3 已知函数f(x)＝x2，分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率：
(1)[1，3]； (2)[1，2]； (3)[1，1.1]； (4)[1，1.001].
解：(1)函数f(x)在[1，3]上的平均变化率为????(3)?????(1)3?1=32?122=4.
(2)函数f(x)在[1，2]上的平均变化率为????(2)?????(1)2?1=22?121=3.
(3)函数f(x)在[1，1.1]上的平均变化率为????(1.1)?????(1)1.1?1=1.12?120.1=2.1.
(4)函数f(x)在[1，1.001]上的平均变化率为????(1.001)?????(1)1.001?1=1.0012?120.001=2.001.
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当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
逐渐变小并接近于2.
例3 已知函数f(x)＝x2，分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率：
(1)[1，3]； (2)[1，2]； (3)[1，1.1]； (4)[1，1.001].
函数f(x)在[1，1＋Δx]上的平均变化率为
????(1+????????)?????(1)1+?????????1=(1+????????)2?12????????=2+????????.
当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率逐渐变小并接近于2.
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归纳总结
“三步法”求平均变化率
(1)计算函数值的改变量????????＝????????2?????(????1)．
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(2)计算自变量的改变量????????＝????2?????1.
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(3)得平均变化率△????△????=????????2?????????1????2?????1.
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例4 已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝-2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f(x)及g(x)的平均变化率．
解:函数f(x)在[-3，-1]上的平均变化率为????(?1)?????(?3)?1?(?3)=[2×(?1)+1]?[2×(?3)+1]2=2，
函数f(x)在[0，5]上的平均变化率为????(5)?????(0)5?0=2，
函数g(x)在[-3，-1]上的平均变化率为????(?1)?????(?3)?1?(?3)=?2，
函数g(x)在[0，5]上的平均变化率为????(5)?????(0)5?0=?2.
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思考：观察上面的解答，你能发现一次函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点吗？
根据今天所学，回答下列问题：
1.什么是函数的平均变化率？
2.求函数的平均变化率的步骤.
1.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于( )
A.1 B.－1
C.2 D.－2
2.一物体的运动方程是S＝2t＋3(位移单位：m，时间单位：s)，则该物体在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( )
A.0.4 m/s 　　　　B.2 m/s 　　　　C.0.3 m/s 　　　　D.0.2 m/s
B
B
3.已知函数f(x)＝x2－1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是( )
A.2.1 　　　　B.0.21 　　　　C.1.21 　　　　D.0.121
4.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是( )
A.甲厂 B.乙厂
C.两厂一样 D.不确定
A
B

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