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5.2.1 基本初等函数的导数
第5章
1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2， ????=????????，????=?????的导数．
2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．
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求函数导数的流程图
探求函数y＝xn的求导公式
0
问题1：常数函数的导数是什么？
问题2：运用导数定义，求下列几个函数的导数：
①f(x)＝kx＋b(k，b为常数)；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝1????；⑤f(x)＝????.
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①∵△?????????=????????+??????????(????)?????=????????+?????+?????(????????+????)?????=k，∴lim?????→0△?????????=k，故????′???? =k.
②∵△?????????=????+?????2?????2?????=2????+?????，∴lim?????→0△?????????=2x，故????′???? =2x.
③∵△?????????=????+?????3?????3?????=3????2+3????(?????)+(?????)2，∴lim?????→0△?????????=3x2，故????′???? =3x2.
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探求函数y＝xn的求导公式
0
问题1：常数函数的导数是什么？
问题2：运用导数定义，求下列几个函数的导数：
①f(x)＝kx＋b(k，b为常数)；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝1????；⑤f(x)＝????.
?
①????′???? =k；②????′????=2x；③????′???? =3x2.
④∵△?????????=1????+??????1?????????=?1????????+?????，∴lim?????→0△?????????=?1????2，故????′???? =?1????2.
⑤∵△?????????=????+???????????????=1????+?????+????，∴lim?????→0△?????????=12????，故????′???? =12????.
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问题3：通过以上几个函数的求导过程，你有什么发现？
(C)′＝ (C为常数)，
(xn)′＝ (n为常数).
探求函数y＝xn的求导公式
0
nxn－1
基本初等函数的导数公式
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 原函数
导函数
f (x)＝C(C为常数)
f ′(x)＝_____________
f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f ′(x)＝_____________
f (x)＝sin x
f ′(x)＝_____________
f (x)＝cos x
f ′(x)＝_____________
f (x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f ′(x)＝_____________(a＞0，且a≠1)
f (x)＝ex
f ′(x)＝_____________
f (x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f ′(x)＝_____________(a＞0，且a≠1)
f (x)＝ln x
f ′(x)＝_____________
0
?????????????1
?
cos????
?
?sin????
?
????????ln????
?
????????
?
1????ln????
?
1????
?
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x0(x≠0)；(2)y＝(13)x；(3)y＝lg x；(4)y＝????2????；(5)y＝2cos2????2－1.
?
解:(1)y′＝0.
(2)y′＝(13)xln 13＝﹣(13)xln 3.
(3)y′＝1????ln 10.
(4)∵y＝????2????＝????32，∴y′＝(????32)′＝32????12＝32????.
(5)∵y＝2cos2????2－1＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
?
归纳总结
(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导.
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导.
(3)要特别注意“ 与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别.
例2 (1)函数f(x)＝16????5在x＝1处的导数为 .
(2)已知函数f(x)＝1????在x＝a处的导数为-2，则实数a的值是 .
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解析:(1)
(2)
?56
?
±22
?
例3 已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程.
解:(1)∵y′＝1????，∴k＝1????，
∴切线方程为y－1＝1????(x－e)，即x－ey＝0.
?
拓展：已知y＝kx＋1是曲线y＝f(x)＝ln x的一条切线，则k＝_______.
解析：
1????2
?
根据今天所学，快速快答基本初等函数的导数公式.
1.函数y＝3x在x＝2处的导数为(　　)
A.9 B.6 C.9ln 3 D.6ln 3
2.下列函数求导运算正确的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
C
C
3..函数y=x3在点(2，8)处的切线方程为(　　)
A.y=12x-16 B.y=12x+16
C.y=-12x-16 D.y=-12x+16
4.已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为______.
A
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