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5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
1.理解并掌握函数的和、差、积、商的求导法则.
2.能够综合运用导数公式和导数四则运算法则求简单函数的导数.
{74C1A8A3-306A-4EB7-A6B1-4F7E0EB9C5D6}常用函数的求导公式
????′ =
(????????)′=
(????????)′=
(log????????)′=
(sin????)′ =
(????)′ =
(????????)′=
(ln????)′=
{74C1A8A3-306A-4EB7-A6B1-4F7E0EB9C5D6}常用函数的求导公式
0
?
?????????????1
?
????????ln????
?
1????ln????
?
cos????
?
?sin????
?
????????
?
1????
?
讨论1：令y=f(x)+g(x)，如何利用定义求该函数的导数？
Δy=????(????+Δ????)+????(????+Δ????)-????(????)+????(????)；
Δ????Δ????=????(????+Δ????)+????(????+Δ????)?????(????)+????(????)Δ????
=????(????+Δ????)?????(????)Δ????+????(????+Δ????)?????(????)Δ????，
y'=limΔ????→0Δ????Δ????=limΔ????→0????(????+Δ????)?????(????)Δ????+????(????+Δ????)?????(????)Δ????=f'(x)+g'(x).
所以有[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x).
?
一般的如果????????与?????????都可导，则
即两个函数之和的导数，等于这两个函数的导数之和.
?
????????+????????′=????????′+????????′
?
类似地，如果????????，?????????都可导，则
即两个函数之差的导数，等于这两个函数的导数之差.
?
?????????????????′=????????′?????????′
?
和
差
知识梳理
讨论2：尝试利用定义求y=f(x)g(x)的导数吗？
第一步：Δy=f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x)；
第二步：Δ????Δ????=????(????+Δ????)????(????+Δ????)?????(????)????(????)Δ????
=????(????+Δ????)????(????+Δ????)?????(????)????(????+Δ????)+????(????)????(????+Δ????)?????(????)????(????)Δ????
=????(????+Δ????)?????(????)Δ????·g(x+Δx)+????(????+Δ????)?????(????)Δ????·f(x)；
?
第三步：其中limΔ????→0????(????+Δ????)?????(????)Δ????=f'(x)，
limΔ????→0 g(x+Δx)=g(x)，
limΔ????→0????(????+Δ????)?????(????)Δ????=g'(x)，
所以y'=limΔ????→0Δ????Δ????=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，
所以????(????)????(????)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，即：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数.
?
讨论3：对于????(????)????(????)，(g(x)≠0)如何求导？
?
????(????)????(????)'=limΔ????→0????(????+Δ????)????(????+Δ????)?????(????)????(????)Δ????
=limΔ????→0????(????+Δ????)????(????)?????(????)????(????+Δ????)????(????)????(????+Δ????)Δ????
=limΔ????→0????(????+Δ????)????(????)?????(????)????(????)+????(????)????(????)?????(????)????(????+Δ????)????(????)????(????+Δ????)Δ????
=limΔ????→0????(????+Δ????)?????(????)Δ????·????(????)?????(????+Δ????)?????(????)Δ????·????(????)????(????)????(????+Δ????)
=????′(????)????(????)?????(????)????′(????)[????(????)]2.
?
知识梳理
事实上，可以证明，当????????，????????都可导时，有
?
????????????????′=????′????????????+????(????)????′????
?
积
????????????????′=????′?????????????????(????)????′????????2(????)
?
商
例1 求下列函数的导数.
(1)f(x)＝x2＋sin x；(2)g(x)＝x3－32x2－6x＋2.
?
解：(1)f '(x)＝(x2＋sin x)'＝(x2)'＋(sin x)'＝2x＋cos x；
(2)g '(x)＝(x3－32x2－6x＋2)'＝3x2－3x－6.
?
解：(1)h '(x)＝(xsin x)'＝x'sin x＋x(sin x)'＝sin x＋xcos x.
(2)f '(x)＝(x2ex)'＝(x2)'ex＋x2(ex)'＝2xex＋x2ex.
(3)S '(t)＝(????2+1????)'＝(????2+1)′?????(????2+1)????′????2＝2????·?????????2?1????2＝????2?1????2.
(4)f '(x)＝(tan x)'＝(sin ????cos ????)'＝(sin ????)′cos ?????sin ????(cos ????)′cos2 ????＝cos ????cos ?????sin ????(?sin ????)cos2 ????
＝cos2 ????+sin2 ????cos2 ????＝1cos2 ????.
?
例2 求下列函数的导数.
(1)h(x)＝xsin x；(2)f(x)＝x2ex；(3)S(t)＝????2+1????；(4)f(x)＝tan x.
?
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
1.函数y=x(x2+1)的导数是( )
A.x2+1 B.3x2
C.3x2+1 D.3x2+x
2.若y=1?????2sin????，则y'等于( )
A.?2????sin?????(1?????2)cos????sin2???? B.?2????sin????+(1?????2)cos????sin2????
C.?2????sin????+(1?????2)sin???? D.?2????sin?????(1?????2)sin????
?
C
A
3.设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )
A.e2 B.e C.ln 22 D.ln 2
4.设f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为( )
A.(0，＋∞) B.(－1，0)∪(2，＋∞)
C.(2，＋∞) D.(－1，0)
?
B
C
导数的四则运算法则
和、差：______________________________；
积：__________________________________，特殊：????????????′=________；
?
商：__________________________________； 1????????′=________________.
?
????????±????????′=????????′ ±?????????′
?
????????????????′=????′????????????+????(????)????′????
?
????????????????′=????′?????????????????(????)????′????????2(????)
?
????????′????
?
?????′????????2(????)

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