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5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
第5章
交通规则是人们出行的安全保障，只有在一定的交通规则的指引下，人们才能正常地工作，在没有交通规则的路上行走是不可想象的.下面就是一组交通指示标志图，它们代表了一些交通的规则.导数的运算是否也满足一定的法则呢?
掌握函数的和、差、积、商的求导法则；
能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.
探究点1 函数和(或差)的求导法则
设????????=????2，?????????=????，
思考1：函数????????和????????的导数分别是什么？
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思考2：令?????=????????+????????，求?????的导数.
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????′????=2????,????′????=1
?
因为?????=????????+????????=????2+????
?
所以?′????=2????,????′????=1
?
所以?′???? =lim?????→0?????+???????(????)?????=lim?????→01+2????+?????=2????+1.
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思考3：猜测?′???? 与????′????，????′????的关系并给出证明.
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猜测：?′???? =????′????+????′????
?
证明：设?????=????????+????????，则
???????=?????+???????(????)?????=????????+?????+????????+??????[????????+????????]?????
=????????+??????????????+[????????+??????????????]?????=??????????+??????????，
所以?????→0????????????????????=?????→0???????????????????????+??????????=?????→0???????????????????????+?????→0???????????????????????，
即?????′=????????′+????????′.
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类似地，如果????????，????????都可导，则?????????????????′=????′?????????′????.
?
两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差)，即
函数和(差)的求导法则
例1 求下列函数的导数：
(1)????????=????3?????+3； (2)????????=2????+cos????；
(3)y=3x+x9； (4)y=x-3-lg x.
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解:(1)????′(????)=(????3?????+3)′=(????3)′?(????)′+(3)′=3????2?1.?????????????????????
(2)????′????=(2????+cos????)′=2????′+cos????′??=2????ln2?sin????.????
(3)????′=3????ln3+9????8.????
(4)????′=?3?????4?1????ln 10.????
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设????????=????2，?????????=????，
思考1：[????????????????]′=????′(????)????′(????)成立吗？说明理由.
?
不成立，理由如下：
?????????????????=????3，因此????????????????′=3????2，
????′????=2????，????′????=1，因此????′????????′????=2????，
即????????????????′≠????′????????′????.
?
探究点2 函数积(商)的求导法则
思考2：如果????????，????????都可导，你认为???????????????? 的导数与????′????，????′????有什么关系？
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事实上，可以证明，当????????，????????都可导时，有
????????????????′=????′????????????+????(????)????′????.
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由上述法则立即可以得出????????????′=????????′????.
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函数积的求导法则
设????????=????2，?????????=????，
思考3：[????????????????]′=????′(????)????′(????)成立吗？说明理由.
?
不成立，理由如下：
????????????????=????2????=????，因此????????????????′=(????)′=1， ????′????????′????=2????1=2????，
即????????????????′≠????′????????′????.
?
思考4:如果????????，????????都可导，且????????≠0，????′????≠0，你认为????????????????的导数与????′????，????′????有什么关系？
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事实上，可以证明，当????????，????????都可导时，且????????≠0，有
????????????????′=????′?????????????????(????)????′????????2(????).
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函数商的求导法则
例2 求下列导数.
(3)y＝(2x2－1)(3x＋1).
(3)方法一　y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′
＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3
＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
方法二　∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
归纳总结
(1)先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数.
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.
导数的四则运算法则：
(1)条件：????(????)，????(????)是可导的.
(2)法则：
①[????(????)±????(????)]’=????’(????)±????’(????)； ②[????(????)????(????)]’=????’(????)????(????)+????(????)????’(????).
③[????(????)????(????)]’=????’(????)????(????)?????(????)????’(????)[????(????)]2(????(????)≠0)；④[????????(????)]’=????????’(????).
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1.函数y＝x2＋ex＋2的导数为(　　)
A.y′＝2x＋ex＋2 B.y′＝2x＋ex
C.y′＝2x2＋ex D.y′＝2x＋exlg e
2.设函数y＝－2exsin x，则y′等于( )
A.－2excos x B.－2exsin x
C.2exsin x D.－2ex(sin x＋cos x)
B
B
3.(多选)下列求导运算正确的是(　　)
B.(sin x+cos x)'=cos x-sin x
BC
4.已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是(　　)
D

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