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5.2.3 简单复合函数的导数
第5章
1.理解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则；
2.能用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.
我们已经学习了导数的计算，大家都知道函数y＝sin x的导数是y＝cos x，那么函数y＝sin 2x的导函数是不是y＝cos 2x呢？
怎样求诸如y＝sin 2x的简单复合函数的导数呢？
????′=(2sin????cos????)′
=2(sin????)′cos????+2sin?????(cos????)′
=2cos2?????2sin2????
=2cos 2????
?
一般地，已知函数 y = f (u) 和 u = g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f (g(x)) 有意义，且称
为函数f (u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量.
复合函数
复合函数可分为内外两层：
f (u)为外层函数
g(x)为内层函数.
练习：(多选)下列哪些函数是复合函数( )
A.y=xln x B.y=(3x+6)2
C.y=esin x D.y=sin12????+π3
?
BCD
已知?????=sin2????，????????=sin????，????????=2????.
讨论：分别求出?′????，????′????，????′????，并总结它们之间的关系.
?
因为?????=sin2????=2sin????cos????，所以
h′(????)=(2sin????cos????)′
=2(sin????)′cos????+2sin?????(cos????)′
=2cos2?????2sin2????
=2cos 2????.
又因为????′????=cos????，g′????=2，所以
?′????=????′g(????)g′????.
?
一般地，如果函数????=????????与????=????????的复合函数为
????=?????=????????(????)，
则可以证明，复合函数的导数?′????与????′????，????′????之间的关系为
?′????=????????????′=????′????????′(????)=????′(????????)????′????.
?
这一结论也可以表示为????′????=????′?????????′????.
?
复合函数的导数等于外层导数乘以内层导数.
复合函数的求导法则
例1 求下列函数的导数.
(1)y=(2x+3)2；(2)y=e-0.05x+1；(3)y=sin(πx+φ).
解:(1)令u=2x+3，函数y=(2x+3)2可以看成函数y=u2，u=2x+3的复合函数，
故yx'=yu'·ux'=(u2)'·(2x+3)'=2u·2=4(2x+3)=8x+12.
(2)令u=-0.05x+1，函数y=e-0.05x+1可以看成函数y=eu，u=-0.05x+1的复合函数，
故yx'=yu'·ux'=(eu)'·(-0.05x+1)'=-0.05eu=-0.05e-0.05x+1.
(3)令u=πx+φ，函数y=sin(πx+φ)可以看成函数y=sin u，u=πx+φ的复合函数，
故yx'=yu'·ux'=(sin u)'·(πx+φ)'=cos u·π=πcos(πx+φ).
归纳总结
求复合函数的导数的步骤:
例2 若曲线y=f(x)=esin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程.
?
解：设u=sin x，则f'(x)=(esin x)'=(eu)'(sin x)'=cos xesin x.
令x=0，得f'(0)=1.
则切线方程为y-1=x-0，即x-y+1=0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为x-y+c=0.
两平行线间的距离d=?????1|2=2，解得c=3或c=-1.
故直线l的方程为x-y+3=0或x-y-1=0.
?
(1)正确求导是关键.
(2)涉及切线问题，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.
复合函数应用问题的注意点
归纳总结
结合以下关键词，说说你这节课的收获：
1. 复合函数；
2. 复合函数的导数
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)函数f(x)=sin(-x)的导数是f'(x)=cos x.( )
(2)函数y=ln(2x)不是复合函数.( )
(3)复合函数y=cos(3x-π4)的导数是y'=-sin(3x-π4).( )
?
×
×
×
2.(多选)下列结论中不正确的是( )
A.若y=cos 1????，则y'=-1????sin 1????
B.若y=sin x2，则y'=2xcos x2
C.若y=cos 5x，则y'=-sin 5x
D.若y=12xsin 2x，则y'=xsin 2x
?
ACD
3.函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f'(2)＝5，则a等于( )
A.1 　　　　B.－1 　　　　C.2 　　　　D.－2
4.曲线y＝2xex－2在点(2，4)处切线的斜率等于( )
A.2e 　　　　B.e 　　　　C.6 　　　　D.2
A
C

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