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5.2.3 简单复合函数的导数
1.了解复合函数的概念.
2.掌握复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数.
导数的四则运算法则
导数定义
基本初等函数
导数的四则运算法则
问题1：对于函数y=ln(2x-1)，利用以下知识是否能求出它的导数呢？
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复合函数求导问题
（ ）
知识梳理
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
复合函数可分为内外两层：
f (u)为外层函数
g(x)为内层函数.
内、外层函数通常为基本初等函数
练习：指出以下函数可以分别看做是由哪两个函数复合而成的.
(1)????=(3+sin????)4；
(2)????=ln12????+1；
(3)????=22?????1；
(4)????=11?cos????.
?
(????=????4，????=3+sin????)
?
(????=ln????，????=12????+1)
?
(????=2????，????=2?????1)
?
(????=1????，????=1?cos????)
?
问题2： 如何求函数????=sin 2????的导数.
?
函数????=sin 2????是复合函数，令????=2????，得????=sin ????，
以????????′表示????对????的导数，????????′表示????对????的导数，一方面，
????????′ =(sin 2?????)’=(2sin ????cos ?????)’=2(sin ?????)’?cos ????+sin ?????(cos ?????)’
=?2cos ?????cos ????+sin ?????(?sin ????) =2(cos2?????sin2????) = 2cos 2????，
另一方面????????′ =(sin ?????)’= cos ?????，????????′ =(2?????)’=2，
可以发现????????′= 2cos 2????=cos ?????2=?????????′ ?????????′.
?
知识梳理
复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x.
特别地，若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y'x＝y'u·u'x，即y'x＝y'u·a.
注意：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；
(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；
(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导.
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝11?3????4；(2)y＝cos2????+π3；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2.
?
解：(1)令u＝1－3x，则y＝1????4＝u－4，
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝121?3????5.
(2)令u＝2x＋ π3?，则y＝cos u，
所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2＝－2sin 2????+π3.
?
(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2.
(3)设y＝log2u，u＝2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝2????ln2＝ 22????+1ln2.
(4)设y＝eu，u＝3x＋2，则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.
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复合函数求导的步骤
归纳总结
例2 已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的
切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝14相切，求a的值.
?
解：∵f'(x)＝a(x2)'＋2·12?????·(2－x)'＝2ax－22?????，
∴f'(1)＝2a－2又f(1)＝a＋2ln 1＝a，
∴切线l的方程为y－a＝2(a－1)(x－1)，即2(a－1)x－y－a＋2＝0.
∵直线l与圆C：x2＋y2＝14相切，∴圆心(0，0)到直线l的距离为12，
∴|2?????|4(?????1)2+1=12，解得a＝118.
?
关于复合函数导数的应用及其解决方法
(1)应用：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.
(2)方法：先求出复合函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用.
归纳总结
1.(多选)下列函数是复合函数的是( 　)
A．y＝－x3－1????＋1 B．y＝cos????+π4
C．y＝1ln???? D．y＝(2x＋3)4
2.已知f(x)＝sin 2x＋e2x，则f′(x)等于( 　)
A.2cos 2x＋2e2x B.cos 2x＋e2x
C.2sin 2x＋2e2x D.sin 2x＋e2x
?
BCD
A
3.已知函数f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝_____.
4.设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝______.
2
回顾：结合本课内容，回答下列问题？
1. 什么是复合函数？
2. 如何求复合函数的导数？

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