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5.3.1 单调性
1.理解导数与函数单调性的关系.
2.会利用导数判断或证明函数单调性.
3.会利用导数求函数单调区间.
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时,
（1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是增函数；
（2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是减函数；
函数的单调性的定义
已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－2x－1，(3)y3＝2x，(4)y4＝(12)x，(5)y5＝log2x，(6)y6＝log12x．
问题1：试判断上面六个函数的单调性.
问题2：求上面六个函数的导数．
问题3：试判断所求导数的符号.
?
1：(1)(3)(5)在定义域上是增加的，(2)(4)(6)在定义域上是减少的．
3：(1)(3)(5)的导数为正，(2)(4)(6)的导数为负．
2：
已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－2x－1，(3)y3＝2x，(4)y4＝(12)x，
(5)y5＝log2x，(6)y6＝log12x．
问题2：求上面六个函数的导数．
问题3：试判断所求导数的符号.
?
已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－2x－1，(3)y3＝2x，(4)y4＝(12)x，(5)y5＝log2x，(6)y6＝log12x．
问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.
?
当f ′(x)>0， f(x)单调递增;
当f '(x)<0， f(x)单调递减.
知识梳理
导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：
(1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f?(x)>0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增；
(2)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f?(x)<0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减.
上述结论可以用下图直观表示.
追问1:如果在某个区间上恒有f ′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性?
函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.
追问2:存在有限个点使得f'(x)=0, 其余点都恒有f ′(x)>0, 则f(x)有什么特性?
f(x)仍为增函数.
例1 (多选)在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列一定不正确的是( )
分析：当f′(x)>0时，y＝f(x)是增加的；当f′(x)<0时，y＝f(x)是减少的.故可得，A，B中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；
而C中导函数为负的区间内相应的函数不递减，故错误；D中导函数为负的区间内相应的函数不递减，故错误.
CD
函数图象的升降可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降.看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象.
归纳总结
例2 求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数.
证：由于f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，x∈R，
当x∈(0，＋∞)时，ex>1，即f′(x)＝ex－1>0.
故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，
当x∈(－∞，0)时，ex<1，即f′(x)＝ex－1<0.
故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数.
例3 利用导数判断下列函数的单调性.
（1）f (x) = x3 + 3x； （2）f (x) = ?????1???? .
?
解：（1）因为 f (x) = x3 + 3x， x∈R，所以 f ′(x) = 3x2 + 3 = 3(x2 + 1) > 0；
所以函数 f (x) = x3 + 3x 在 R 上单调递增.
（2）因为 f (x) = ?????1????，x∈(?∞，0)∪(0，+∞)，所以 f ′(x) = 1????2 > 0；
所以函数 f (x) = ?????–?1???? 在区间(?∞，0)和(0，+∞)上单调递增.
?
归纳总结
判定函数单调性的步骤：
① 求出函数的定义域；
② 求出函数的导数f ?(x)；
③ 判定导数f ?(x)的符号；
④ 确定函数f(x)的单调性.
例4 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sin x－x(0解：(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由f′(x)<0解得－3故f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
单调递减区间是(－3，2).
(2)f(x)＝sin x－x(0(2)f′(x)＝cos x－1.
因为0故函数f(x)在(0，π)上的单调递减区间为(0，π)，无单调递增区间.
归纳总结
求函数y＝f(x)的单调区间的步骤：
(1)确定函数y＝f(x)的定义域.
(2)求导数y′＝f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数.
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上为减函数.
1. 函数????????=2?????sin?????在(?∞，+∞)上是( )
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定
?
A
2. 函数????=????(????)的图像如图所示，则下列正确的是( )
A. ????′3>0
B. ????′3<0
C. ????′3=0
D. ????′3的正负不确定
?
B
3. (多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是( )
A.(－∞，2) B.(0，3)
C.(3，4) D.(2，＋∞)
4.函数f(x)＝x＋2cos x，x∈(0，π)的减区间是________.
CD
(????6，5????6)
?
根据今天所学，回答下列问题：
1.导数的符号与函数的单调性之间的关系？
2.怎样判断函数的单调性？
3.用解不等式法求单调区间的步骤是什么？

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