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5.3.1 单调性
第5章
1.理解函数的单调性与导数的关系.
2.会判断函数在给定区间上的单调性.
3.会求具体函数的单调区间.
我们知道，对于函数y=f(x)来说，
导数f (x)刻画的是函数y=f(x)在点x的瞬时变化率，
函数的单调性描述的是函数值y随自变量x取值的增加而增加，或函数值y随自变量x取值的增加而减少.
两者都在刻画函数的变化，那么，导数与函数的单调性之间有何关系呢？
观察下面几个图象，回答问题.
(1)找出以上函数的单调区间；
(2)求这四个函数的导函数；
(3)导数的正负与其函数的单调性是否有关系？
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝
增(-∞，+∞) 增(0，+∞) 减(0，+∞) 增(-∞，+∞) 减(-∞，0)，(0，+∞)
y'=1 y'=2x y'=3x2 y'=-
y'>0 x∈R y'＞0 x＞0 y'＜0 x＜0 y'≥0 x∈R y'<0 x≠0
函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系
f ′(x)的正负 f (x)的单调性
f ′(x)＞0 单调递_____________
f ′(x)＜0 单调递_____________
增
减
定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：
根据前面的问题，判断以下四句话的对错.
(1)若某区间上f'(x)＞0，则在该区间上函数f(x)单调递增.
(2)若某区间上函数f(x)单调递增，则在该区间上f'(x)＞0.
(3)若某区间上f'(x)＜0，则在该区间上函数f(x)单调递减.
(4)若某区间上函数f(x)单调递减，则在该区间上f'(x)＜0.
√
×
√
×
追问：判断以下两句话的对错.
(1)若某区间上f'(x)≥0，则在该区间上函数f(x)单调递增.
(2)若某区间上f'(x)≤0，则在该区间上函数f(x)单调递减.
结合函数y＝x2，y＝x3，y＝进行讨论.
×
×
能否结合函数图象，给这两句话加入限制，使其成立.
追问：判断以下两句话的对错.
(1)若某区间上f'(x)≥0，则在该区间上函数f(x)单调递增.
(2)若某区间上f'(x)≤0，则在该区间上函数f(x)单调递减.
×
×
能否结合函数图象，给这两句话加入限制，使其成立.
在某区间上f'(x)≥0，且只在有限个点处f'(x)＝0，则在该区间上函数f(x)单调递增.
若某区间上f'(x)≤0，且只在有限个点处f'(x)＝0，则在该区间上函数f(x)单调递减.
(1)若某区间上f'(x)＞0，则在该区间上函数f(x)单调递增.
(2)若某区间上f'(x)＜0，则在该区间上函数f(x)单调递减.
(3)若某区间上函数f(x)单调递增，则在该区间上f'(x)≥0.
(4)若某区间上函数f(x)单调递减，则在该区间上f'(x)≥0.
归纳总结
(1)(2)利用导数研究单调性
(3)(4)利用单调性研究导数
例1 若函数y=f'(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象可能是( )
C
解析：由y=f'(x)的图象可得，在(-∞，b)上f'(x)≥0，
在(b，+∞)上f'(x)<0，
根据原函数图象与导函数图象的关系可得，
y=f(x)在(-∞，b)上是增函数，在(b，+∞)上是减函数，可排除A，D，
且在x=0处，f'(x)=0，即在x=0处，y=f(x)的切线的斜率为0，可排除B，故选C.
√
变式：已知函数y=f(x)在定义域(-，3)内可导，其图象如图所示.若y=f(x)的导函数为y=f'(x)，则不等式f'(x)<0的解集为　　 　　　.
(-，1)∪(2，3)
例2 利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f (x) = x3-x2+2x-5；(2)f(x)＝x－ex(x>0).
解:(1)因为f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
所以函数f (x) = x3-x2+2x-5在R上为增函数.
(2)因为x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex<0，
所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上为减函数.
归纳总结
利用导数判断或证明一个函数的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)>0(f′(x)<0)在定义域或给定区间上恒成立.
一般步骤为：
(1)确定函数的定义域(给定区间除外).
(2)求导函数f′(x).
(3)判断f′(x)的符号.
(4)给出单调性结论.
例3 求函数的单调区间.
解：根据题意有= ，
令 ，可得 ，解得1 ，
因此，函数在区间上是增函数；
令 ，可得，解得<1 ，
因此，函数在区间上是减函数；
综上可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
归纳总结
用解不等式法求单调区间的步骤
(1)确定函数f (x)的定义域；
(2)求导函数f ′(x)；
(3)解不等式f ′(x)＞0(或f ′(x)＜0)，并写出解集；
(4)根据(3)的结果确定函数f (x)的单调区间.
回顾：结合本课内容，回答下列问题？
1. 函数的单调性与导数的正负之间的关系？
2. 如何用导数来判断函数单调性？
3. 如何用导数求函数的单调区间？
1. 若函数f(x)的图象如图所示，则导函数f'(x)的图象可能为(　　)
C
2.函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为( )
A.(2，＋∞) B.(－∞，2)
C.(－∞，0) D.(0，2)
3.下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A.y＝sin x B.y＝xex
C.y＝x3－x D.y＝ln x－x
D
B

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