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5.3.2 极大值与极小值
1.理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件.
2.会求函数的极值.
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为，那么在这些点处函数有什么性质呢？
如图，函数y＝f(x)的图象.
思考1：观察函数y＝f(x)在点x1、x3处的函数值f(x1)、f(x3)，与它们“附近”各点处的函数值相比有什么特点
f (x1)
f(x3)
y
O
a
b
y=f(x)
x1
x2
x3
x4
f(x1)比x1“附近”各点处的函数值都大.
f(x3)比x3“附近”各点处的函数值都大.
x
f (x2)
f(x4)
y
x
O
a
b
y=f(x)
x1
x2
x3
x4
思考2:观察函数y＝f(x)在点x2、x4处的函数值f(x2)、f(x4)，与它们“附近”各点处的函数值相比有什么特点
f(x2)比x2“附近”各点处的函数值都小.
f(x4)比x4“附近”各点处的函数值都小.
极值点与极值
一般地，设函数的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有
(1)，则称x0为函数的一个极大值点，且在x0处取极大值，例如a和；
(2)，则称x0为函数的一个极小值点，且在x0处取极小值，例如b和.
极大值点与极小值点都称为极值点；
极大值与极小值都称为极值.
知识梳理
追问：(1)函数 在极值点处的切线有什么特征？这说明导数值有何特点？
(2)函数 在极值点“附近”的切线有什么特征？这说明导数值有何特点？
(1)切线都是水平的，导数值都等于0.
f (x1)
f(x3)
y
x
O
a
b
y=f(x)
x1
x2
x3
x4
f (x2)
f(x4)
(2)极值点“附近”左侧和右侧的切线斜率符号相反，导数值异号.
(3)以为例，判断如果 ′()=0，则一定是函数的极值点吗？
(3)不一定，′(x)=3x2，从而′(0)=0，但0不是极值点
x
y
o
y=x3
f ′(x0)=0
x0是函数 f(x) 的极值点
x0是函数 f(x) 的极值点
f ′(x0)=0
结论：f ′(x0)=0 是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件.
(4)函数 y=f (x)在x=x0处取得极值的充分条件是什么？
x0左右侧导数异号
f ′(x0)=0
x0为极值点
(5)函数的极大值一定大于极小值吗？函数的极大值与极小值是否有大小关系？
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．
极小值
极大值
函数图象的升降可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降.看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象.
归纳总结
例1 求下列函数的极值.
(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；(2)f(x)＝.
解：(1)f'(x)=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2.
令f'(x)=0，解得x1=-1，x2=0，x3=1.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
x (-∞，-1) -1 (-1，0) 0 (0，1) 1 (1，+∞)
f'(x) - 0 - 0 + 0 +
f(x) ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗
∴当x=0时，f(x)有极小值且f(x)极小值=0，没有极大值.
当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表:
归纳总结
求可导函数f(x)的极值的步骤:
①求导数f'(x).
②求方程f'(x)=0的根.
③观察f'(x)在方程f'(x)=0的根左右两边的符号，
如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值；
如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值.
例2 已知函数f(x)=x3－x2＋ax－2.
(1)若函数的极大值点是﹣1，求a的值；
(2)若函数f(x)有两个极值点，求a的取值范围.
解:(1)f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意有f′(﹣1)＝1＋2＋a＝0，解得a＝﹣3，
则f′(x)＝x2－2x－3，
经验证可知，f(x)在x＝﹣1处取得极大值，故a＝﹣3.
(2)由题意有方程x2－2x＋a＝0有两个不等实根，
∴△＝(﹣2)2－4a＞0，解得a＜1，
故a的取值范围是(﹣∞，1).
因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须检验．
1.(多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是( 　 　)
A.在(1，2)上函数f(x)是增函数
B.在(3，4)上函数f(x)是减函数
C.在(1，3)上函数f(x)有极大值
D.x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点
2.函数f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为 .
ABC
0
3.函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为( 　 )
A.－e B.－1 C.1－e D.0
4.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)
A.(-1，2)
B.(-3，6)
C.(-∞，-1)∪(2，+∞)
D.(-∞，-3)∪(6，+∞)
B
D
求可导函数y＝f (x)的极值的方法
解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是___________；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是___________．
极大值
极小值

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