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2025-2026学年福建省厦门外国语学校瑞景分校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　）
A. a＞3 B. a≤3 C. a≠3 D. a≥3
2.抛物线y=（x-2）2+3的顶点坐标是（　　）
A. （-2，3） B. （2，3） C. （-2，-3） D. （2，-3）
3.对于一元二次方程x=-2x2+1，化为一般式后二次项系数为2，则一次项系数为（　　）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
4.用配方法解方程x2+6x+1=0，配方后的方程是（　　）
A. （x+3）2=8 B. （x-3）2=8 C. （x-3）2=10 D. （x+3）2=10
5.设A（-4，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=x2-2x+c上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y3＞y1＞y2
6.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　）
A. 6（1+x2）=8 B. 6（1+x）2=8 C. x（6-x）=8 D. 6x2=8
7.二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x -2 -1 0 1 2
y m -3 m 5 n
则当x=-3时，y的值是（　　）
A. 3 B. n C. 5 D. m
8.小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（　　）
A. OB⊥OD B. ∠BOC=∠AOB
C. OE=OF D. ∠BOC+∠AOD=180°
9.关于x的一元二次方程a（x+2）（x-1）+b=0（a＜0，b＞0）的解为x1，x2，且x1＜x2.则下列结论正确的是（　　）
A. -2＜x1＜x2＜1 B. -2＜x1＜1＜x2 C. x1＜-2＜x2＜1 D. x1＜-2＜1＜x2
10.已知二次函数y=x2-4ax+a（a≠0）的图象经过，B（5a,y2）两点，则下列判断正确的是（　　）
A. 可以找到一个实数a,使得y1＞0 B. 无论实数a取什么值，都有y1＞0
C. 可以找到一个实数a,使得y2＜a D. 无论实数a取什么值，都有y2＜a
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.2x＜x+1的解集是 .
12.若x=3是关于x的一元二次方程x2+kx-6=0的一个根，则k的值为 .
13.学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，那么这12名学生测试成绩的众数是 .（单位：分）
14.将二次函数y=（x-1）2-2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位长度，平移后的二次函数解析式为 .
15.已知二次函数y=kx2-6x+9的图象与x轴有两个不同的交点，k的取值范围是 .
16.已知抛物线y=ax2-2ax+b（a＜0）经过A（3n+4，y1），B（n-1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：x2-2x-4=0．
18.(本小题8分)
如图，A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中.
20.(本小题8分)
已知二次函数y=x2+bx+c经过点（-1，8）和（0，3）.
（1）求该二次函数解析式，并画出函数图象；
（2）对称轴为______.
21.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2-（m-3）x-m=0.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且，求m的值.
22.(本小题10分)
如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A，BE交CD于点G.
（1）求∠DCE的大小；
（2）求证：△CEG是等边三角形.

23.(本小题10分)
已知实数a,m,n满足m（m+a）=n（n+1）.
（1）若a=1，求m,n的数量关系；
（2）若m,n为正整数，则a的值能否等于3？请说明理由.
24.(本小题12分)
大蒜是我国重要蔬菜品种，尤其山东种植大蒜历史悠久，种植大蒜无疑是脱贫致富的好途径，大蒜刚上市时，张经理按市场价格6元/千克在生产基地收购了2000千克大蒜存放入冷库储存，据预测，大蒜的市场价格每天每千克将上涨0.2元，但冷库存放这批蒜时每天需要支出各种费用合计170元，而且大蒜在冷库中最多保存90天，同时，平均每天有5千克的大蒜损坏不能出售.
（1）若存放x天后，将这批大蒜一次性出售，设这批大蒜的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数解析式；
（2）张经理想获得利润W=5100元，需将这批大蒜存放多少天后出售？
（3）张经理将这批大蒜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
25.(本小题14分)
如图，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A（-2，0）和B两点，点C（6，4）在抛物线上.
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA=2∠CAB，求点D的坐标；
（3）如图2，直线y=mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM ON=3.求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】x＜1
12.【答案】-1
13.【答案】90分
14.【答案】y=（x+1）2+1
15.【答案】k＞-1且k≠0
16.【答案】-1＜n＜-．
17.【答案】解：由原方程移项，得
x2-2x=4，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2-2x+1=5，
配方，得
（x-1）2=5，
∴x=1±，
∴x1=1+，x2=1-．
18.【答案】证明：∵AC=BD，A、C、D、B四点共线，
∴BD+CD=AC+CD，
∴AD=BC，
在△ADE和△BCF中，
，
∴△ADE≌△BCF（ASA），
∴DE=CF．
19.【答案】；．
20.【答案】二次函数为y=x2-4x+3；作图如下．
直线x=2
21.【答案】（1）证明：∵x2-（m-3）x-m=0，
∴Δ=（m-3）2-4×（-m）
=m2-6m+9+4m
=m2-2m+1+8
=（m-1）2+8＞0，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系可得：x1+x2=m-3，x1x2=-m,
∵，
∴，即（m-3）2+3m=13，
整理得：m2-3m-4=0，即（m-4）（m+1）=0，
所以m-4=0或m+1=0，
解得：m=4或m=-1．
22.【答案】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵D是AB的中点，
∴∠DCB=∠DCA=∠ACB=×60°=30°，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∴∠DCE=∠BCE-∠DCB=60°；
（2）证明：由平移可知：CD∥EF，
∴∠EAC=∠DCA=30°，
又∵∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，∠AEC=120°，
又∵AB=CB，
∴BE垂直平分AC，
∴∠GEC=∠AEC=×120°=60°，
由（1）知，∠GCE=60°，
∴∠EGC=60°，
∴∠GEC=∠GCE=∠EGC，
∴△CEG是等边三角形．
23.【答案】解：（1）当a=1时，
m（m+1）=n（n+1），
m2+m=n2+n,
m2-n2+m-n=0，
（m+n）（m-n）+（m-n）=0，
（m+n+1）（m-n）=0，
∴m-n=0或m+n+1=0，
∴m=n或m+n=-1；
（2）a的值不能等于3，理由如下：
假设a=3，
把a=3代入m（m+a）=n（n+1）中，
∴m（m+3）=n（n+1），
展开得到：m2+3m=n2+n,
移项可得：m2+3m-n2-n=0，
将其看作关于m的一元二次方程m2+3m-（n2+n）=0，
a=1，b=3，c=-（n2+n），
∴Δ=9-4×1×[-（n2+n）]=9+4n2+4n,
∴，
∵m,n为正整数，
∴；
而要使得m为正整数，则9+4（n2+n）必须是一个奇数的完全平方数，
∴设9+4（n2+n）=（2k-1）2（k为正整数），
整理得：k2-n2-k-n=2，
即（k+n）（k-n-1）=2；
∵k,n均为正整数，且2为素数，
∴k+n≥2，
∴，
解得：，
这与n为正整数矛盾，
∴a的值不能等于3．
24.【答案】y=-x2+370x+12000（1≤x≤90，且x为整数）；
张经理想获得利润5100元，需将这批大蒜存放30天后出售；
存放90天后出售这批大蒜可获得最大利润9900元
25.【答案】y=x2-x-2；
（-6，10）；
定点坐标为（，-）．理由：
设直线CE的表达式为y=kx+b，将点C（6，4）代入，解得b=4-6k，
故直线CE解析式为：y=kx-6k+4，
则点M（0，-6k+4），
x2-x-2=kx-6k+4，
整理得x2-（+k）x+6k-6=0，
∴xC+xE=2+4k，
∴xE=4k-4 ①，
同理设直线CF的解析式为：y=tx-6t+4，则点N（0，-6t+4），即xF=4t-4 ②，
由x2-x-2=mx+n，
整理得x2-（+m）x-2-n=0，
∴xE+xF=4m+2③，
xE xF=-8-4n④，
将①②代入③④得，
又OM ON=3，
∴（-6k+4）（6t-4）=-36kt+24（k+t）-16=3，
∴n=m-，
∴y=mx+n=mx+m-=m（x+）-，
当x=时，y=-，
∴直线EF经过定点且定点坐标为（，-）
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