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2026中考数学高频考点复习：根的判别式
一．选择题（共15小题）
1．一元二次方程x2+3x+2=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．对于实数a,b定义运算“☆”如下：a☆b=ab2-ab,例如3☆2=3×22-3×2=6，则方程1☆x=2的根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
3．已知关于x的方程x2+2x+m=0没有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤1 B．m＜1 C．m≥1 D．m＞1
4．关于x的一元二次方程x2+kx-1=0的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．方程有两个不相等的实数根
B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根
D．方程的根的情况与k的取值有关
5．若关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C．且k≠0 D．
6．已知关于x的方程x2+bx+2=0，当b2＞8时，下列选项中，可作为该方程的根的是（　　）
A． B． C． D．
7．若关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．-1
8．关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根．在△ABC中BC=3，AB=5，AC=b,则AB边上的中线长为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
9．已知实数m,n在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程mx2+x+n=0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
10．若关于x的方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．-1
11．已知F（x）=ax2-1，G（x）=，T（x）=x2+（b-1）x+9．下列说法：
①当b=-5时，若T（x） G（x）=0，则x的值为0或3；
②当a=-2时，若T（x）+F（x）=7，则关于x的方程一定有两个不相等的实数根；
③若a=1，b=2，则x=5时，|F（x）-T（x）+3x|+|（x-3）G（x）+3|有最小值8．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．定义运算m☆n=mn2-mn-1，例如4☆2=4×22-4×2-1=7，则方程2☆x=0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
13．对于一元二次方程x2-2x-3=0，根的判别式b2-4ac中的b表示的数是（　　）
A．-2 B．2 C．-3 D．3
14．实数a,b,c满足a-b+c=0，则（　　）
A．b2-4ac＞0 B．b2-4ac＜0 C．b2-4ac≥0 D．b2-4ac≤0
15．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD=a,DE=b,CE=c,关于x的方程ax2+bx+c=0（　　）
A．一定有两个相等实根
B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等
D．无实根
二．填空题（共5小题）
16．若关于x的方程x2-2x+c=0有实数根，则c的值可以是 ______（写出一个即可）．
17．已知关于x的方程x2-3x-m=0有两个不相等的实根，则m的取值范围是______．
18．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则2b2-8c+1的值为______．
19．已知关于x的一元二次方程c（1-x2）-2bx=a（1+x2），其中a、b、c分别为△ABC三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则△ABC的形状为______．
20．关于x的方程|=k有四个相异的实数根，则k的取值范围是 ______．
三．解答题（共5小题）
21．关于x的一元二次方程x2-（m+3）x+3m=0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程的两个根中只有一个根小于4，求m的取值范围．
22．已知关于x的方程x2+3mx+2m2-1=0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是-2，求2025-2m2+6m的值．
23．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2-4bx+4（c-a）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长．
（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
24．定义：如果一个一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方程为该不等式组的“半隐二次方程”．例如：方程x2=4的解为x1=2，x2=-2，不等式组的解集为1＜x＜4，因为-2＜1＜2＜4，所以称方程x2=4是不等式组的半隐二次方程．
（1）方程x2-3x+2=0是不是不等式组的半隐二次方程？请说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程x2-ax=2x是不等式组的半隐二次方程，求a的取值范围．
25．规定：方程am2+bx+c（a=0）的变形方程为m（x+1）2+b（x+1）+c=0．例如．方程2x2-3x+4=0的变形方程为2（x+1）2-3（x+1）+4=0．
（1）直接写出方程x2+2x-3=0的变形方程；
（2）若方程x2+2x+m=0的变形方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（3）若方程ax2+bx+c=0的变形方程为x2+2x+1=0，直接写出a+b+c的值．
2026中考数学高频考点复习：根的判别式
(参考答案)
一．选择题（共15小题）
1、A 2、D 3、D 4、A 5、D 6、C 7、C 8、C 9、B 10、D 11、C 12、A 13、A 14、C 15、A
二．填空题（共5小题）
16、0（答案不唯一）； 17、m＞-； 18、1； 19、直角三角形； 20、0＜k＜2；
三．解答题（共5小题）
21、（1）证明：Δ=[-（m+3）]2-4×1×3m=m2+6m+9-12m=2m-6m+9=（m-3）2，
∵（m-3）2≥0，即Δ≥0，
∴关于x的一元二次方程x2-（m+3）x+3m=0总有实数根；
（2）解：∵x2-（m+3）x+3m=0，
∴（x-m）（x-3）=0，
解得：x1=3，x2=m,
∵方程的两个根中只有一个根小于4，
∴m≥4．
答：m的取值范围是m≥4．
22、（1）证明：∵Δ=（3m）2-4（2m2-1）=m2+4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程有一个根是-2，
∴4-6m+2m2-1=0，
∴-2m2+6m=3，
∴2025-2m2+6m=2028
23、解：（1）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴（-4b）2-4（a+c） 4（c-a）=0，
∴b2+a2=c2，
∴△ABC为直角三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形
∴a=b=c
∴原方程可化为2ax2-4ax=0
∵a≠0
∴2x2-4x=0
∴x1=0，x2=2
24、解：（1）方程x2-3x+2=0是不等式组的“半隐二次方程”，理由如下：
x2-3x+2=0，
（x-1）（x-2）=0，
∴x-1=0或x-2=0，
∴x1=1，x2=2，
不等式组，
∴不等式组的解集为：2≥x＞1，
∴x2=2满足不等式组的解集，x1不满足不等式组的解集，
∴方程x2-3x+2=0是不等式组的“半隐二次方程”；
（2）x2-ax=2x,
x2-ax-2x=0，
x（x-a-2）=0，
x1=0，x2=a+2，
不等式组，
∴不等式组的解集为：a＜x≤3，
如使的不等式组有解则a＜3，
情况一：x1不是不等式组的解，x2是不等式组的解，
∴a≥0，a+2≤3，
∴0≤a≤1，
情况二：x1是不等式组的解，x2不是不等式组的解，
∴a＜0，a+2＞3或a+2≤a,
∴a无解，
综上所述：a的取值范围为0≤a≤1．
25、解：（1）x2+2x-3=0的变形方程（x+1）2+2（x+1）-3=0；
（2）方程x2+2x+m=0变形方程为（x+1）2+2（x+1）+m=0，
整理得x2+4x+3+m=0，
∵变形方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=42-4（3+m）=4-4m＞0，
解得m＜1；
（3）方程ax2+bx+c=0 的变形方程为a（x+1）2+b（x+1）+c=0，
整理得ax2+2ax+a+bx+b+c=0，
即ax2+（2a+b）x+（a+b+c）=0，
∵方程ax2+bx+c=0 的变形方程为 x2+2x+1=0，
所以a+b+c=1．

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