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北师大版九年级下 2.2 二次函数的图象与性质 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=-（x+2）2-3的顶点坐标是（　　）
A．（-2，-3） B．（2，-3） C．（2，3 ） D．（-2，3）
2．将二次函数y=2（x+1）2-1的图象向下平移1个单位长度，得到的二次函数表达式为（　　）
A．y=2（x+1）2-2 B．y=2（x+1）2
C．y=2（x+1）2-1 D．y=2x2-1
3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
4．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
5．若A（-3，y1），B（-2，y2），C（3，y3）为二次函数y=x2+2x-2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
6．已知函数y=x2-2x-1，下列结论正确的是（　　）
A．函数图象过点（-1，1）
B．函数对称轴为直线x=-1
C．当x≥1时，y随x的增大而减小
D．当x≤1时，y随x的增大而减小
7．已知函数y=（x-m）2-1，当x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m=1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤1
8．关于x的一元二次方程有一个根是-1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设t=2a+b,则t的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．已知线段AB的端点坐标分别为A（a-1，1），B（2a+3，1），二次函数y=x2-2ax-2a的图象与线段AB有且仅有一个公共点则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤-2或a=-1 B．a≥-2 C．a＞0或a=-1 D．a≤0
10．如果正三角形的三个顶点分别在正方形的三条边上，那么这样的正三角形叫作正方形的内接正三角形．如图，正三角形EFG是正方形ABCD的内接正三角形，点E，F，G分别在边AD，AB，CD上（可与顶点重合），若△EFG面积的最大值是，则AB=（　　）
A． B．1 C． D．2
二．填空题（共5小题）
11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-2（x-1）2+3的顶点与点O之间的距离为______．
12．二次函数y=（x-2）2+5的最小值是______．
13．把抛物线y=x2+1向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 ______．
14．已知某二次函数图象上有四点A（-2，y1），B（0，y2），C（2，y3），D（4，y4），且满足y1＜y3＜y2，则将y1，y2，y3，y4从小到大排列是 ______．
15．如图，已知抛物线y1=x2+4x+2与抛物线y2=x2-2x的图象相交于点P，过P作x轴的平行线分别交y1，y2于点M、N，则的值是 ______．
三．解答题（共5小题）
16．已知y=（m-2）x+3x+6是二次函数．
（1）求m的值；
（2）写出这个二次函数的图象的对称轴及顶点坐标．
17．已知，抛物线y=ax2+bx+4（a,b为常数，a≥-1，且a≠0）经过点A（1，1），与y轴交于点B．
（1）用含a的式子表示b.
（2）当a=-时，求抛物线的对称轴．
（3）若抛物线上A、B两点之间的部分，从左往右呈下降趋势，则a的取值范围是 ______．
（4）当-1≤x≤2时，函数y=ax2+bx+4（a,b为常数，a≥-1，且a≠0）的最大值为m,求m的最小值．
18．在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别相交于A（-3，0）、B（0，-3），二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若二次函数y=x2+mx+n图象与y轴交点为（0，3），请判断此二次函数的顶点是否在直线y=kx+b（k≠0）的图象上？
（3）当n＞0，m≤5时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为t,求t的取值范围．
19．如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线C：y=a（x-2）2-1（a＞0）的图象上，且x2-x1=3．
（1）若抛物线C的图象经过点（3，1）．
①写出C的对称轴，并求a的值及C与y轴的交点坐标；
②若y1=y2，求顶点到MN的距离；
（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，直接写出a的取值范围．

20．已知：抛物线．
（1）若顶点坐标为（1，1），求b和c的值（用含a的代数式表示）；
（2）当c＜0时，求函数y=-2024|ax2+bx+c|-1的最大值；
（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求a,b,c的值；此时，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k,求k的值．
北师大版九年级下 2.2 二次函数的图象与性质 同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、A 2、A 3、B 4、C 5、B 6、D 7、C 8、D 9、C 10、D
二．填空题（共5小题）
11、； 12、5； 13、y=（x+2）2+4； 14、y4＜y1＜y3＜y2； 15、；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）由题意可知：，
解得：m=-1；
（2）∵m=-1，
∴y=-3x2+3x+6=-3（x-）2+，
∴此抛物线的对称轴是直线x=，顶点坐标是（，）．
17、解：（1）把A（1，1）代入y=ax2+bx+4得，a+b+4=1，
∴b=-a-3；
（2）当a=-时，b=-a-3=-，
∴抛物线的解析式为：y=-x2-x+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=-=-．
（3）当x=0时，y=4，
∴B（0，4），
①当a＞0时，抛物线开口向上，则x=-≥1，即≥1，解得0＜a≤3；
②当-1≤a＜0时，抛物线开口向下，则x=-≤0，即≤0，解得a≥-3，
综上所述，a的取值范围为-1≤a＜0或0＜a≤3．
故答案为：-1≤a＜0或0＜a≤3．
（4）当a＞0时，抛物线开口向上，则抛物线的对称轴为：直线x=-==+＞，
∵-1≤x≤2，
∴当x=-1时，y最大，即m=a（-1）2+（-a-3）×（-1）+4=2a+7．
当-1≤a＜0时，抛物线开口向下，则x=-==+≤-1，
∵-1≤x≤2，
∴当x=-1时，y最大，即m=a（-1）2+（-a-3）×（-1）+4=2a+7．
综上所述，当-1≤x≤2时，m=2a+7（a≥-1且a≠0），
∴当a=-1时，m有最小值，最小值为5．
18、解：（1）∵点A（-3，0）、B（0，-3）在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，
∴，解得，
一次函数解析式为：y=-x-3．
（2）∵二次函数y=x2+mx+n图象与y轴交点为（0，3），且A（-3，0）在图象上，
∴n=3；m=4．
∴二次函数解析式为：y=x2+4x+4-1=（x+2）2-1，
∴顶点坐标（-2，-1）．
当x=-2时，y=-x-3=-（-2）-3=-1，
∴抛物线的顶点在直线y=-x-3上．
（3）∵二次函数y=x2+mx+n图象过A（-3，0），
∴9-3m+n=0，即n=3m-9，
∵n＞0，
∴m＞3，
∴3＜m≤5．
∵二次函数y=x2+mx+n的最小值为t,
∴t===-（m-6）2；
当m=5时，t=-，
当m=3时，t=-．
∴-＜t≤-．
19、解：（1）①∵二次函数y=a（x-2）2-1（a＞0）经过（3，1），
∴1=a-1，
∴a=2，
∴二次函数的解析式为y=2（x-2）2-1；
当x=0时，y=2×（0-2）2-1=7，
∴C与y轴的交点坐标为（0，7）；
②∵y1=y2，
∴M，N关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线x=2，且x2-x1=3，
∴x1=，x2=，
当x=时，y1=2×（-2）2-1=，
∴当y1=y2时，顶点到MN的距离=+1=；
（2）若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，
∴x1+3＞2，
∴x1＞-1，
∵x2-x1=3，
∴x1≤，
∴-1＜x1≤，
∵函数的最大值为y1=a（x1-2）2-1，最小值为-1，
∴y1-（-1）=1，
∴a=，
∴≤（x1-2）2＜9，
∴＜a≤．
若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1＜2，
∵x1≥，
∴≤x1＜2，
∵函数的最大值为y2=a（x2-2）2-1，最小值为-1，
∴y2-（-1）=1，
∴a=，
∵≤x1＜2，
∴≤x1+1＜3，
∴≤（x1+1）2＜9，
∴＜a≤．
综上所述，＜a≤．
20、解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，1），
∴y=a（x-1）2+1=ax2-2ax+a+1，
∴b=-2a,c=a+1；
（2）∵y=ax2+bx+c,a＞0，c＜0，
∴Δ=b2-4ac＞0，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴|ax2+bx+c|≥0，
∴-2024|ax2+bx+c|≤0，
∴-2024|ax2+bx+c|-1≤-1，
∴函数y=-2024|ax2+bx+c|-1的最大值为-1；
（3）∵直线与抛物线C1有且只有一个公共点，
∴方程组只有一组解，
∴ax2+（b-m）x++m+c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0，
∴（b-a）2-4a（+m+c）=0，
整理得：（1-a）m2-2（2a+b）m+b2-4ac=0，
∵不论m为任何实数，（1-a）m2-2（2a+b）m+b2-4ac=0恒成立，
∴，
∴a=1，b=-2，c=1．
此时，抛物线解析式为y=x2-2x+1=（x-1）2，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，开口向上，
∵当k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k,
∴分三种情况：k＜0或0≤k≤1或k＞1，
①当k＜0时，k+1＜1，当k≤x≤k+1时，y随着x的增大而减小，则当x=k+1时，y的最小值为k,
∴（k+1-1）2=k,
解得：k=0或1，均不符合题意，舍去；
②当0≤k≤1时，当x=1时，抛物线的最小值为0，
∴k=0；
③当k＞1时，y随着x的增大而增大，则当x=k时，y的最小值为k,
∴（k-1）2=k,
解得：k=或，
∵k＞1，
∴k=，
综上所述，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k,k的值为0或．

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