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北师大版九年级下 3.4 圆周角与圆心角的关系 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接AC，AD，BD，CD．若∠C=50°，则∠BAD的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
2．如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=50°，则∠ACB的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．70°
3．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ABC=40°，则∠AOC的大小是（　　）
A．90° B．80° C．70° D．60°
4．如图，⊙O的半径为1，点A为⊙O上一点，如果∠BAC=60°，那么BC的长是（　　）
A． B．2 C．2 D．3
5．如图，A、D是⊙O上的两点，A是的中点，若∠D=35°，则∠BCA的度数是（　　）
A．55° B．45° C．35° D．25°
6．如图，BD，AC分别是⊙O的弦和直径，若，则sin∠ACD的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，OC是⊙O的半径，弦AB垂直平分OC于点E，点D是优弧上一点，连接CD，若∠ABD=75°，则∠OCD的大小为（　　）
A．5° B．10° C．15° D．20°
8．如图，圆O的半径为1，点A，B，C在圆周上，∠C=45°，则弦AB的长度为（　　）
A．1 B．2 C． D．
9．如图，A，B，C为⊙O上三点，若∠OAC=47°，则∠ABC的度数为（　　）
A．38° B．39° C．41° D．43°
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连接OC，OD．若⊙O的半径为m,∠AOD=α，则下列结论一定成立的是（　　）
A．OE=m tanα B．CD=2m sinα
C．AE=m cosα D．S△OCD=m2 sinα
二．填空题（共5小题）
11．如图，⊙O的半径为6，直角三角板30°角的顶点A落在⊙O上，两边与⊙O分别交于B，C两点，则弦BC的长为 ______．
12．如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=48°，则圆周角∠ACB的度数是 ______．
13．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=50°，则∠BOD=______．
14．如图，在矩形ABCD中，AD=4，，以AD为直径作⊙O，E为BC的中点，AE交⊙O于F，连CF，则CF的长为 ______．
15．我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．根据定义：
①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c,AC=b,BC=a,且b＞a,若Rt△ABC是奇异三角形，则；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC=120°．其中，说法正确的有 ______．
三．解答题（共5小题）
16．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=4，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．
（1）求证：BD=DC．
（2）若∠BAC=50°，求弧AE的度数及长度．
17．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，点E是上的点（不与点A，C重合），连接BE并延长至点G，连接AE并延长至点F，BE与AC交于点D．
（1）求证：∠GEF=∠CEF；
（2）若⊙O的半径为5，BC=6，点D是AC的中点，求BD的长．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC，交AB的延长线于点E．
（1）如果∠ADC=76°，求∠CBE的度数；
（2）如果AD=BE，求证：AC=EC．
19．（2025 砀山县模拟）如图，在⊙O中，点C是直径AB上方半圆上的一个点，直径AB平分非直径弦CD于点G，点E是弧AC上一点（不与A、C重合），过点E作EF⊥AB，EH⊥OC，垂足分别为F、H，连接FH．
（1）求证：∠OCD+∠FEH=90°；
（2）若CD=3，求FH的长．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB=BC，连接OD，BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA=∠ACD．
（1）求∠EDO的度数；
（2）若AD=3，CD=4，求AB，BD的长；
（3）若AD=a,CD=b,直接写出BD的长．
北师大版九年级下 3.4 圆周角与圆心角的关系 同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、A 2、A 3、B 4、A 5、C 6、C 7、C 8、C 9、D 10、B
二．填空题（共5小题）
11、6； 12、24°； 13、100°； 14、2； 15、①③；
三．解答题（共5小题）
16、（1）证明：连接AD，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
（2）解：连接BE，OE，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠BAC=50°，
∴∠ABE=40°，
∴∠AOE=2∠ABE=80°，
∴圆弧AE所对的圆心角的度数为80°．
∵⊙O的半径为，
∴圆弧AE的长度为：．
17、（1）证明：∵点A，B，C，E均在⊙O上，
∴四边形ABCE为圆内接四边形．
∴∠ABC+∠AEC=180°．
又∵∠CEF+∠AEC=180°，
∴∠ABC=∠CEF．
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
又∵∠AEB=∠ACB，∠AEB=∠GEF，
∴∠GEF=∠CEF．
（2）解：作AH⊥BC于H，
又∵AB=AC，
∴AH为BC的垂直平分线，
过点D作DM⊥BC于点M，连接OB，
∵AH为BC的垂直平分线，
∴点O在AH上，
∴，
∴，
∴AH=OA+OH=5+4=9，
∵AH⊥BC，DM⊥BC，
∴DM∥AH．又AD=CD，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
18、（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ABC+∠CBE=180°，∠ADC=76°，
∴∠CBE=∠ADC=76°；
（2）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴CD=CB，
由（1）知，∠CBE=∠ADC，
在△ADC与△EBC中，
，
∴△ADC≌△EBC（SAS），
∴AC=EC．
19、（1）证明：∵直径AB平分非直径弦CD，
∴CD⊥AB，即∠CGO=90°，
∴∠OCD+∠COG=90°，
∵EF⊥AB，EH⊥OC，
即∠EFO=∠EHO=90°，
∴∠AOC+∠FEH=180°，
∵∠AOC+∠COG=180°，
∴∠COG=∠FEH，
∴∠OCD+∠FEH=90°；
（2）解：如图，连接OE，
∵∠EFO=∠EHO=90°，
即∠EFO+∠EHO=180°，
∴O、F、E、H四点是在以OE为直径的圆上，
∵∠CGO=90°，
∴O、C、G三点是在以OC为直径的圆上，
∵OE=OC，
∴以OE为直径的圆和以OC为直径的圆是等圆，
∵∠COG=∠FEH，即，
∴．
20、解：（1）连接OD，则：OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠EDA=∠ACD，
∴∠EDA=∠CDO，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠ODC=90°，
∴∠ADO+∠ADE=90°，即∠EDO=90°；
（2）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
∵AD=3，CD=4，
∴，
∵AB=BC，
∴；
过点B作BF⊥BD，交DC的延长线于点F，
则：∠DBF=∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠CBF=90°-∠CBD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCF=∠BAD，
又∵AB=BC，
∴△BAD≌△BCF（ASA），
∴CF=AD，BD=BF，
∴DF=CD+CF=CD+AD=7，
由勾股定理得：BD2+BF2=DF2，即：2BD2=DF2
∴；
（3）由（2）可知：．

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