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4.4探索三角形相似的条件
掌握相似三角形的定义
经历两三角形相似条件的探索过程，掌握两三角形相似的判定条件：两角分别相等的两个三角形相似
你能根据相似多边形的定义说出相似三角形的定义吗？
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
记作_______________.
注意：对应顶点写在对应位置
△ABC ∽ △DEF
相似多边形
定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
A1
B1
C1
D1
E1
F1
A
B
C
D
E
F
六边形ABCDEF ∽六边形A1B1C1D1E1F1
一、知识回顾
思考：什么叫相似三角形呢？
对应角—相等
一、知识回顾
对应边—成比例
全等是一种特殊的相似
相似三角形
定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
三角形ABC ∽三角形A1B1C1
二、探究新知
A
B
C
A1
B1
C1
1.计算黄金比.
解：由 ，得AC2 = AB·BC.
设AB = 1，AC = x,则BC = 1 – x.
∴ x2 = 1 ×（1 - x）.
即 x2 + x – 1 = 0.
解方程得：x1= x2=
黄金比
做一做
做一做
2.如图所示,已知线段AB按照如下方法作图:
1.经过点B作BD⊥AB,使BD= AB
2.连接AD,在AD上截取DE=DB.
3.在AB上截取AC=AE.
思考：点C是线段AB的黄金分割点吗
A
B
D
E
C
思考：两个三角形至少满足什么条件就相似呢？类比两个三角形全等的条件，寻找判定两个相似的条件？
A
B
C
A1
B1
C1
二、探究新知
判定方法 全等三角形
相似三角形
角边角
ASA
角角边
AAS
边边边
SSS
边角边
SAS
HL
三角形全等的性质和判定方法有哪些？
需要三个等量条件
思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？
直角边、斜边
二、探究新知
想一想
(2) 两个条件
有哪几种情况呢？
∠A=∠A '
∠B=∠B '
∠C=∠C '
角相等
边成比例
(2) 两个条件
①
一个角相等
一个角相等
＋
＝
两角分别相等
②
一个角相等
两边成比例
＋
＝
两边成比例且两角相等
③
两边成比例
两边成比例
＋
＝
三边成比例
a.两边成比例且夹角相等
b.两边成比例且其中一边的对角相等
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有(　　)
A．1对　　　　 B．2对 C．3对 D．4对
C
2.下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（ ）
A.△ABC中，∠A＝42 o，∠B＝118 o，△A' B' C' 中，∠A' ＝118 o，∠B' ＝15 o
B.△ABC中，AB=8，AC=4, ∠A＝105 o，△A' B' C' 中，A' B' ＝16，B' C' ＝8，∠A`＝100o
C.△ABC中，AB=18，BC＝20，CA＝35，△A' B' C' 中，A' B' ＝36，B' C' ＝40，C' A' ＝70
D.△ABC和△A' B' C' 中，有，∠C＝∠C' 。
C
例3：已知：如图，∠1=∠2=∠3，
求证：△ABC∽△ADE．
证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC , ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，
∵ ∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE.
又∵ ∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C= ∠E.
在△ABC和△ ADE中 ∠BAC=∠DAE，∠C= ∠E
∴ △ABC∽△ADE.
归纳总结
如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D.
（1）请指出图中所有的相似三角形 ;
（2）证明：
随堂演练
如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩
石上观察到一个明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A，B，
D，使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C．测得AC=
120m，CB=60m，BD=50m，你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？
思维拓展
3.如图，在等边三角形ABC中，边长为10，点D在BC上，BD=6，∠ADE=60°，DE交AC于E.
（1）求证：△ABD∽△DCE.
∴∠BAD=∠CDE,∴△ABD∽△DCE.
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，∴∠ADB+∠BAD=120°，
又∠ADE=60°，∴∠ADB+∠CDE=120°，
（2）求CE的长.
6
10
4
解：∵ABD∽△DCE，
∴△ABD∽△DCE，
∴CE=2.4.
如果矩形的长为a,宽为b,且满足条件：
那么此矩形称为黄金矩形．
黄金矩形
【例题】
例2.根据科学分析，舞台上节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点处，灯光，音响效果最好，已知学校礼堂舞台宽20 m，如果你是节目主持人，你将站在何处？
【解析】线段有两个黄金分割点，所以有两个位置选择.20 0.618=12.36 m，所以应选择站在离舞台边12.36 m或者7.64 m处.
(1)已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列等式
中正确的是（ ）
A．AB2=AC·BC B．BC2= AC·AB
C．AC2=BC·AB D．AC2=2AB·BC
(2)把1m的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为________.
(3)把1m的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长是_________.
(4)把长度为20cm的线段黄金分割成两段，则较短的一段长
度为 cm.
C
【跟踪训练】
到目前为止，我们学习了哪些识别三角形相似的方法？
两角分别相等的两个三角形相似.
(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
(3)三边成比例的两个三角形相似.
运用定义
三个角对应相等
三边对应成比例

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