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第四章 图形的相似
4.8 图形的位似
学习目标
1．了解位似多边形的有关概念．
2．能利用位似将一个图形放大或缩小．
它们是相似图形吗？图形位置间有什么关系？找出规律.
情境引入
2. 画位似图形的一般步骤有哪些？
① 确定位似中心；
② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；
③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；
④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
3. 图形在平面直角坐标系中作平移变换时坐标的变化规律是 ( h > 0 )：
4. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数 k ( k ≠ 0 )，所对应的图形与原图形 ，位似中心是 ，它们的相似比为 ．
向左平移 h 个单位 ( a , b )→( a - h , b )，
向右平移 h 个单位 ( a , b )→( a + h , b )；
向上平移 h 个单位 ( a , b )→( a , b + h )；
向下平移 h 个单位 ( a , b )→( a , b - h )；
位似
原点
k
思考1：我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 ( 中心对称 ). 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？
例1：在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(6，0),B(3，6),C(-3，3).以原点O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的相似是2:3.
x
y
O
2
4
-2
-4
2
4
-2
-4
A
C
画法一：如右图所示，
解：将四边形OABC各顶点的坐标都乘 ；在平面直角坐标系中描点O(0,0), A'(4,0),B'(2,4)
C(-2,-2);在平面直角坐标系中描点A',B',C',用线段顺次连接O,A',B',C'.
B
A'
C'
B'
画法二：如右图所示
解：将四边形OABC各顶点的坐标都乘 ；在平面直角坐标系中描点O(0,0), A''(-4,0),
B'' (-2,-4),C(2,-2);在平面直角坐标系中描点A'',B'', C'',用线段顺次连接O,A'',B'',C''.
x
y
O
2
4
-2
-4
2
4
-2
-4
A
C
B
A'
C''
B'
A''
B''
C''
例 如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．
A
B
C
O
典例精析
解：如图，画射线OA，OB，OC；在射线OA，OB，OC上分别取点D，E，F，使OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC；顺次连接D，E，F，则△DEF与△ABC位似，相似比为2．
思考 满足条件的△DEF可以在点O的另一侧吗？
答：满足条件的△DEF可以在点O的另一侧．
典例精析
画位似的一般步骤：
① 确定位似中心；
② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；
③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；
④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
用以下方法可以近似地把一个不规则图形放大：
1.将两根等长的橡皮筋系在一起，联结处形成一个结点。
2.选一个图形，再选一个定点，将橡皮筋的一端固定在定点处，把铅笔固定在另一端。
利用位似可以把一个图形放大或缩小
3.拉动铅笔，使结点沿图形的边缘移动一周，这样铅笔就画出一个新的图形。试试看，它们相似吗？
D
C
B
A
A2
B2
C2
D2
四边形 A2B2C2D2 与四边形 ABCD 位似. 它们对应顶点所在的直线相交于 O 点. 位似中心为 O，相似比为 .
思考2：在平面直角坐标系中，将一个多边形的每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数 k ( k ≠ 0 )，所对应的图形与原图形有什么关系？
1
2
3
4
5
1
2
3
4
O
5
6
7
6
x
y
5．已知点O和△A'B'C'，如下图所示，以点O为位似中心把△A'B'C'放大3倍，请画出放大后的图形．
A'
B'
C'
O
课堂练习
画法一（1）以点O为端点，分别作射线OA′，OB ′ ，OC ′ ；
　　 （2）分别在射线OA′，OB′，OC′上取点A，B，C，使
　　 （3）连接AB，BC，AC，
△ABC就是所求作的三角形．
课堂练习
　　（2）分别在射线A'O，B'O，C'O上取点A，B，C，
使
　　（3）连接AB，BC，AC，
△ABC就是所求作的三角形．
画法二（1）以点A′为端点作射线A′O，以点B′为端点作射线B′O，以点C′为端点作射线C′O；
课堂练习
1．位似多边形的概念
一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP'=k·OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心．k就是这两个相似多边形的相似比．
课堂小结
温馨提示
1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个．
2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的
比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为 -k．
3. 当 k > 1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0 < k < 1时，图形缩小为原来的 k 倍．
1. 如图，△ABC 与△A'B'C' 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是多少？
位似中心的坐标是 ( 9 , 0 )
6. 如图，△ ABC 的顶点都在网格点上，点 A 的坐标为(－1，3).
(1)以点 O 为位似中心，在第二象限作△ ABC 的位似图形△A'B'C'，使
△A'B'C'与△ ABC 的相似比为2，则点 A 的对应点A'的坐标为 ；
(－2， 6)
【解析】由位似的性质作图，如图：
∴A'(－2，6).

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