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乾县第二中学2025-2026学年高二第二次阶段性检测
数学试题
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
2．若直线：与直线：平行，则＝（ ）
A． B．或3 C． D．3
3．已知函数为R上的偶函数，则实数a等于（ ）
A．1 B．-2 C．-1 D．2
4．在正方体中，与向量相等的向量有（ ）
A． B． C． D．
5．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
8．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．
B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则
C．的对称中心为，
D．若，且，则
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数，则（ ）
A． B．
C．z在复平面内对应的点位于第一象限 D．z是方程的一个复数根
10．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线可能与轴垂直
B．当时，直线的倾斜角为
C．当时，直线与直线AB平行
D．当时，直线与直线AB垂直
11．如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成角为
B．平面
C．三棱锥的体积不变
D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为
三 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知圆C经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆C的标准方程为 ．
13．已知奇函数满足，当时，，则 ．
14．如图，在三棱锥中，为的重心，，，，，若交平面于点，且，则，满足的关系式为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点．
(1)求证：底面；
(2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17．已知函数的部分图象如图所示．

（1）求的最小正周期和的解析式；
（2）若函数在区间上是减函数．求实数的取值范围．
18．已知直线和点.
(1)在直线上求一点，使的值最小；
(2)直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程.
(3)已知的顶点，直线为边中线所在的直线方程，的角平分线所在直线方程为，求直线的方程；
19．如图，四棱锥中，平面平面是中点，是上一点.

(1)当时，
（i）证明：平面；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值；
(2)平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
参考答案
1．B
因为命题“”为全称量词命题，
所以其否定为：.
2．B
因为两直线平行，所以：
，
所以或.
3．C
函数为R上的偶函数，得，，
则，，
即，而不恒为0，
于是，而，所以.
4．A
如图，
在正方体中，由正方体性质可知与相等的向量有.
5．D
因为是直线的方向向量，是平面的法向量，且，
则，则，所以，，解得，，
因此，.
6．C
因为，
所以点在圆的外部，
设以为圆心的圆的半径为：r，
则，
解得，
所以所求圆的方程为：.
7．D
由于平面平面，平面平面，平面，，则平面，
由于平面，则，
由于四边形为菱形，，则为正三角形，
设，则，
由于，
则
，
所以，
则直线所成角的余弦值为，
8．D
由图知，故，
又过点，且该点在函数增区间上，故，
则，则，结合，则，
故，A错误；
将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，可得的图象，
再向左平移个单位，得到的图象，则，B错误；
令，则，
即的对称中心为，，C错误；
因为，且，令，
则，则，
则，
故，D正确，
9．AC
，
所以，故A正确；
，故B错误；
z在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C正确；
若z是方程的一个复数根，则有，，
但，故D错误.
10．AB
对于A，当时，直线，此时该直线与轴垂直，故A正确；
对于B，当时，直线的斜率为，
由，则该直线的倾斜角为，故B正确；
对于C，当时，直线，
由，则直线，化简可得，
显然两条直线重合，故C错误；
对于D，当时，直线，由直线，
且，则两直线不垂直，故D错误.
11．BCD
对于A，因为正方体中，故异面直线与夹角为，
故A错误；
对于B，由正方体的性质可知，，面，
平面，又因为面
，同理可得平面，又因为面
，
又因为面,
平面，故B正确；
对于C，因为面,面，所以面
所以为定值，故C正确；
对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，设，
，，，，，
则，
所以，
由正方体的性质知：平面的法向量为，
直线与平面所成角正弦值为，
因为，，所以当时取得最大值，若时取得为，所以，故D正确.
12．
由原点与的中点坐标为，且，则垂直于的直线斜率为，
所以的垂直平分线为，即，
联立，可得，则圆心，半径为，
所以，所求圆的标准方程为.
13．1
因为函数满足，故，
即是以4为周期的函数；
由奇函数的自变量x可取0，则，
结合当时，，得，
故，则，故当时，，
则
，
14．
因为
，
所以，
因为，，，
所以，
因为，，，四点共面，
所以，所以.
15．（1），
解得．
（2）
.
16．（1）证明：在中，，，
所以.
在中，，，，
由余弦定理有：，
所以，，所以，所以，
又因为，，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，
在中：，，，则，所以，，
因为，、平面，所以面.
（2）解：因为平面，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有、、、、，
设，其中，
则，，，
设为面的法向量，
则有，取，则，，
所以，平面的一个法向量为，
由题意可得，
可得，因为，所以.
因此，存在点使得与平面所成角的正弦值为，且.
17．（1）设函数的最小正周期为，
由图象可得，，解得， 所以．
又由数的图象过点，所以，
即，所以，
解得，
因为，所以，所以．
（2）令，解得，
所以函数在上是减函数．
因为，所以，
故，解得，可得，
所以实数的取值范围为．
18．（1）将点坐标代入直线方程得，将点坐标代入直线方程得，
所以点和在直线的两侧，
的最小值为的长度，此时为与的交点.
斜率，的直线方程： ，即.
由，解得故；
（2）点和到直线距离相等，分两种情况：
①直线.因为直线斜率为3，故方程为，即.
②直线过中点.中点为，又直线经过点，所以直线方程为.
综上，直线的方程为或.
（3）设（因在角平分线上），则中点.
中线过，代入得，
解得，故.
设关于的对称点则，解得，
所以，由角平分线性质知在上.
因为，所以直线方程为，
整理得.
19．（1）如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，则，.

（1），由，
可得，
.
（i）证明：设平面的法向量为，，
则
解得
令，得.
因为，
所以.
又平面，
所以平面.
（ii），
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（2），设，
则，
设平面的法向量为，
则
取，则，
则
化简得：，
解得，
所以.

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