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4.1　线段、射线、直线
第2课时　比较线段的长短
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．过A，B两点的直线的长度是A，B两点之间的距离
B．线段AB就是A，B两点之间的距离
C．在A，B两点之间的所有连线中，其中最短连线的长度是A，B两点之间的距离
D．乘火车从石家庄到北京要行驶283千米，是说石家庄与北京的距离是283千米
2．为了比较线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，结果点B在CD的延长线上，则( )
A．ABCD C．AB＝CD D．以上都不对
3．如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，其中正确的是( )
A.A′B′>AB B．A′B′＝AB
C．A′B′4．如图，已知AD>BC，则AC与BD的关系是( )
A．AC>BD B．AC＝BD C．AC5．如图，已知点C在线段AB上，下列条件中不能确定点C是线段AB的中点的是( )
A．AC＝BC B．AC＋BC＝AB C．AB＝2AC D．BC＝AB
6．下列说法中，正确的是( )
①过两点有且只有一条直线；
②连接两点的线段叫做两点间的距离；
③两点之间，线段最短；
④如果AB＝BC，则点B是线段AC的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图所示，C，D为线段AB上的两点，则下列各式中错误的是( )
A.AB＝AD＋DB B．CB＝AB－AC
C．CB－DB＝CD D．CB－DB＝AC
8．已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为( )
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
9．如图，点在线段 的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点， ；第二次操作：分别取线段和的中点， ；第三次操作：分别取线段和的中点， 连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
10．高速公路的建设带动我国经济的快速发展，在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这样做蕴含的数学道理是_____________．
11．如图，点C，D在线段AB上，且AC＝CD＝DB，点E是线段AB的中点，若AD＝8，则CE的长为____．
12．如图，A，B，C三棵树在同一条直线上，小明正好站在线段AC的中点Q处，BC＝2BQ.
(1)填空：AQ＝_______＝_______AC，AQ－BC＝_______；
(2)若BQ＝3 m，求BC的长．
解：因为BQ＝3 m，BC＝2BQ，
所以BC＝_______m.
13．一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：水笔的笔尖正好对着的直尺刻度为 ，另一端正好对着的直尺刻度为 ，则水笔的中点位置对着的直尺刻度为_____ .
14．已知线段AB＝8 cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3 cm，则线段AC＝___________________________．
15．如图，甲、乙均从处去往 处.甲选择图中的路线①，即依次途经， ，，最终到达 处；乙选择图中的路线②，即途经，最终到达 处.图中的，，，，， 均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走，则两条路线相比，______.（填“①长”“②长” 或“一样长”）
三、解答题
16．如图，已知线段a，b，用无度刻的直尺和圆规作一条线段MN，使得线段MN＝2b－a(不写作法，保留作图痕迹).
17．如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3三部分，M是AD的中点，CD＝6，求线段MC的长．
18．如图，线段AB＝2 cm.
(1)请你延长AB到点C，使BC＝AB，反向延长AB到点D，使A为BD的中点；
(2)求出线段DC的长度．
19．已知线段AB＝m(m为常数)，C为直线AB上一点，点P，Q分别在线段BC，AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP.
(1)如图，当点C恰好在线段AB的中点处时，PQ＝________(用含m的代数式表示).
(2)若C为线段AB上任意一点，则PQ的长度是不是常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由．
(3)若点C在点A的左侧，同时点P在线段AB上(不与点A，B重点)，请判断2AP＋CQ－2PQ与1的大小关系，并说明理由．
20．如图，是线段上一动点，沿 的路线以的速度往返运动1次，是线段 的中点，，设点的运动时间为 .
(1)当时，线段___，线段___ .
(2)当_ _____时， .
(3)点从点出发的同时，点也从点 出发，以的速度向点运动，当运动时间 满足时，线段 的长度始终是一个定值，求这个定值和 的值.
21．点在线段上，在线段,, 中，若有一条线段的长度恰好是另一条线段长度的一半，则称点为线段 的“半分点”.
(1)当点是线段的中点时，点 ____（填“是”或“不是”）线段 的“半分点”；
(2)已知，若点为线段 的“半分点”，求线段 的长度；
(3)已知点,,是数轴上互不重合的三个点，点 为原点，点表示的数是 ，若存在这三个点中，一个点是以另外两个点为端点的线段的“半分点”，求点 表示的数的最大值与最小值的差(用含 的式子表示).
参考答案
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．过A，B两点的直线的长度是A，B两点之间的距离
B．线段AB就是A，B两点之间的距离
C．在A，B两点之间的所有连线中，其中最短连线的长度是A，B两点之间的距离
D．乘火车从石家庄到北京要行驶283千米，是说石家庄与北京的距离是283千米
【答案】C
2．为了比较线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，结果点B在CD的延长线上，则( )
A．ABCD C．AB＝CD D．以上都不对
【答案】B
3．如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，其中正确的是( )
A.A′B′>AB B．A′B′＝AB
C．A′B′【答案】C
4．如图，已知AD>BC，则AC与BD的关系是( )
A．AC>BD B．AC＝BD C．AC【答案】A
5．如图，已知点C在线段AB上，下列条件中不能确定点C是线段AB的中点的是( )
A．AC＝BC B．AC＋BC＝AB C．AB＝2AC D．BC＝AB
【答案】B
6．下列说法中，正确的是( )
①过两点有且只有一条直线；
②连接两点的线段叫做两点间的距离；
③两点之间，线段最短；
④如果AB＝BC，则点B是线段AC的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
7．如图所示，C，D为线段AB上的两点，则下列各式中错误的是( )
A.AB＝AD＋DB B．CB＝AB－AC
C．CB－DB＝CD D．CB－DB＝AC
【答案】D
8．已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为( )
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
【答案】C
9．如图，点在线段 的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点， ；第二次操作：分别取线段和的中点， ；第三次操作：分别取线段和的中点， 连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ( )
A. B. C. D.
【解析】因为线段，线段和 的中点分别为，，所以 .因为线段和的中点分别为， ，所以 发现规律： .所以 .
二、填空题
10．高速公路的建设带动我国经济的快速发展，在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这样做蕴含的数学道理是_____________．
【答案】两点之间，线段最短
11．如图，点C，D在线段AB上，且AC＝CD＝DB，点E是线段AB的中点，若AD＝8，则CE的长为____．
【答案】2
12．如图，A，B，C三棵树在同一条直线上，小明正好站在线段AC的中点Q处，BC＝2BQ.
(1)填空：AQ＝_______＝_______AC，AQ－BC＝_______；
(2)若BQ＝3 m，求BC的长．
解：因为BQ＝3 m，BC＝2BQ，
所以BC＝_______m.
【答案】CQ BQ 6
13．一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：水笔的笔尖正好对着的直尺刻度为 ，另一端正好对着的直尺刻度为 ，则水笔的中点位置对着的直尺刻度为_____ .
【答案】12.1
14．已知线段AB＝8 cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3 cm，则线段AC＝___________________________．
【答案】11 cm或5 cm
15．如图，甲、乙均从处去往 处.甲选择图中的路线①，即依次途经， ，，最终到达 处；乙选择图中的路线②，即途经，最终到达 处.图中的，，，，， 均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走，则两条路线相比，______.（填“①长”“②长” 或“一样长”）
【答案】①长
三、解答题
16．如图，已知线段a，b，用无度刻的直尺和圆规作一条线段MN，使得线段MN＝2b－a(不写作法，保留作图痕迹).
解：如图所示，MN即为所求
17．如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3三部分，M是AD的中点，CD＝6，求线段MC的长．
解：AB＝6÷3×2＝4，BC＝6÷3×4＝8，AD＝AB＋BC＋CD＝18，因为M是AD的中点，所以MD＝AD＝9，MC＝MD－CD＝3
18．如图，线段AB＝2 cm.
(1)请你延长AB到点C，使BC＝AB，反向延长AB到点D，使A为BD的中点；
(2)求出线段DC的长度．
解：(1)如图：
(2)5 cm
19．已知线段AB＝m(m为常数)，C为直线AB上一点，点P，Q分别在线段BC，AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP.
(1)如图，当点C恰好在线段AB的中点处时，PQ＝________(用含m的代数式表示).
(2)若C为线段AB上任意一点，则PQ的长度是不是常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由．
(3)若点C在点A的左侧，同时点P在线段AB上(不与点A，B重点)，请判断2AP＋CQ－2PQ与1的大小关系，并说明理由．
解：(1)m
(2)是．因为CQ＝2AQ，CP＝2BP，所以CQ＝AC，CP＝BC.因为AB＝m(m为常数)，所以PQ＝CQ＋CP＝AC＋BC＝(AC＋BC)＝AB＝m，所以PQ的长度是一个常数，即常数m
(3)2AP＋CQ－2PQ<1，理由：如图：
因为CQ＝2AQ，所以2AP＋CQ－2PQ＝2AP＋CQ－2(AP＋AQ)＝2AP＋CQ－2AP－2AQ＝CQ－2AQ＝2AQ－2AQ＝0，所以2AP＋CQ－2PQ<1
20．如图，是线段上一动点，沿 的路线以的速度往返运动1次，是线段 的中点，，设点的运动时间为 .
(1)当时，线段___，线段___ .
【答案】4 3
(2)当_ _____时， .
【答案】或
【解析】因为是线段的中点，所以 .因为，所以，所以 ，所以.当点从时，;当点 从时，因为点沿 的路线需要，故.综上所述，当为或时， .
(3)点从点出发的同时，点也从点 出发，以的速度向点运动，当运动时间 满足时，线段 的长度始终是一个定值，求这个定值和 的值.
【解】如图，由题意得点的速度是，点 的速度为，因为且，所以点在点 右侧.由题意可知，， ，所以.因为是线段 的中点，所以 ，所以 .因为线段的长度始终是一个定值，所以，解得 ，所以这个定值为5.
21．点在线段上，在线段,, 中，若有一条线段的长度恰好是另一条线段长度的一半，则称点为线段 的“半分点”.
(1)当点是线段的中点时，点 ____（填“是”或“不是”）线段 的“半分点”；
【答案】是
(2)已知，若点为线段 的“半分点”，求线段 的长度；
①【解】当 时，
因为，所以 ；
②当时， ，
因为，所以 ；
③当时， ，
因为，所以 .
综上所述，的长为或或 .
(3)已知点,,是数轴上互不重合的三个点，点 为原点，点表示的数是 ，若存在这三个点中，一个点是以另外两个点为端点的线段的“半分点”，求点 表示的数的最大值与最小值的差(用含 的式子表示).
当点在点的右侧，且时，点 表示的数取最大值.
因为点表示的数是，所以 .
所以.所以 ，
即点表示的数为 .
当点在点的左侧，且时，点 表示的数取最小值.
因为，所以，即点表示的数为 .
所以点表示的数的最大值与最小值的差为 .

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