资源简介

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课前准备
草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具
美丽的数学心
三角形是我们最熟悉的老朋友了。我们知道它有三条边、三个角，非常稳固。但今天，我们要像一位细致的侦探，走进三角形的内部，去探寻它体内三条特殊的“生命线”——中线、角平分线和高。它们虽然都从一个顶点出发，却各自肩负着不同的使命，决定着三角形的“体重”平衡、“性格”分界和“身高”尺度。它们隐藏着什么奥秘呢？让我们一起来揭开它们的神秘面纱。
13.2.2 三角形的
中线、角平分线、高
学习目标
学习重点
理解三角形的中线、角平分线、高的概念．
掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.
了解三角形的重心的概念．
理解三角形的中线、角平分线、高的概念．
掌握钝角三角形的两短边上高的画法.
情境导入
活动 把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边移动到点C（如下图）.
观察思考 点在BC上移动时形成的无数条线段(AD、AE、AF、AG…)中有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？
探究新知
　　问题1　点在BC上移动时，有没有一条线段能将这个三角形分为面积相等的两个三角形？
A
B
C
D
　　三角形的中线：
在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫作三角形的中线．
三角形中线的符号语言：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=DC =
　　追问1　如上页图，画出△ABC 的另两条中线，观察三条中线，你有什么发现？
　　三角形的三条中线相交于一点．
三角形三条中线的交点叫作三角形的重心．
追问2 直角三角形、钝角三角形的重心在哪？
任意三角形的三条中线都相交于三角形内部
知识应用
例 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，AB与AC的长度和为11cm，求AC的长．
　　练习1　如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线．
（1）AC = AE = EC；
CD = ；
AF = AB；
（2）若S△ABC = 12 cm2，
则S△ABD = ．
巩固练习
2
2
BD
6 cm
A
B
C
D
E
F
G
探究新知
　　问题2　点在BC上移动时，有没有一条线段能将∠BAC分成相等的两部分？
数学探究
定义：
三角形的角平分线：
在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形角平分线的符号语言：
∵AE是 △ABC的角平分线
∴∠BAE = ∠CAE =
　　追问　一个三角形可以画出几条角平分线？
一个三角形的三条角平分线有什么特点？
三角形的三条角平分线都相交于一点，且都在三角形内部．
任意
应用练习
∠2
　　练习2　如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，则：
∠1 = ；
∠3 = ；
∠ACB = 2 .
∠ABC
∠4
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
探究新知
　　问题3　点在BC上移动时，与点A所形成的线段中，有没有一条线段能与BC边垂直呢？
　　追问　你能描述三角形的高吗？
　　如图，在△ABC 中，AH⊥BC , 点H是垂足，则AH是△ABC的边BC上的高．
　　三角形的高：
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
几何语言：
∵AH是△ABC的边BC上的高
（AH⊥BC于点H）∴∠AHC=∠AHB=90°.
② AH⊥BC，垂足为点H.
③ 点H在BC上，且∠BHA (=∠CHA) = 90°.
① AH 是△ABC 中BC边上的高.
高的叙述方法（如图）：有三种
探究活动　分别画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，请画出这三个三角形的三条高，并总结各自的高有何特点。
A
C
A
B
C
┐
┐
┐
┐
┐
O
O
B
D
A
B
C
D
E
F
O
D
E
F
锐角三角形的三条高都在三角形的内部；
直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边；
钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上．
三角形三条高所在的直线都交于一点．
任意
C
　　练习3　在下图中，正确画出△ABC 中边BC 上高的是（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
A
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）你能分别描述三角形中的几种重要线段吗？
（3）你能说说什么是三角形的重心吗？
∵AD是△ABC的高线.
∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°
∵ AD是△ABC的BC上的中线
∴ BD=CD= BC
∵AD是△ABC的∠BAC的平分线
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
课外作业
必做题：教科书习题13.2 第3、4题．
选做题：教科书习题13.3 第7、8题． 　　
大美数学
课桌教材中，三角的 “三线” 正悄然绽放意趣。中线如温柔的信使，循着线段中点轻缓延展，稳稳托住图形的重心，似为失衡的世界寻得妥帖的支撑，藏着不偏不倚的从容。角平分线则是精准的裁刀，将棱角均分，让对称之美在笔尖流淌，每一寸分割都写满公平的隐喻，像极了人心底那杆不偏不倚的秤。
而高，是最富筋骨的存在。垂直向上，直抵三角的顶点，仿佛要刺破纸面的局限，撑起一片开阔的视野。它不似中线婉转，不如角平分线精巧，却凭着一股向上的韧劲，标注出攀登的方向。
原来，数学从非冰冷的线条。中线是人生的平衡杆，一头挑着学业的勤勉，一头载着生活的温情，寻得重心，方能行稳致远；角平分线是处世的标尺，在抉择前守得清明，与他人处怀得公正，让心底始终亮着一束澄澈的光；高是成长的阶梯，每多学一点知识，每克服一个难题，都是在为人生拔高一寸，朝着更远的风景迈进。
愿我们都能读懂这三线的深意，以中线定平衡，以角平分线守本心，以高逐梦想，在人生的坐标系里，画出属于自己的从容与辽阔。

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