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1.2.2 矩形的判定
北师大版 九年级上册
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平行四边形
菱形
正方形
矩形
角
边
判定
性质
判定
性质
边
角
判定
性质
学习目标
1.经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.
2.能够用综合法证明矩形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.
3.进一步体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
复习回顾
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
矩形
边：对边平行且相等
角：四个角都是直角
对角线：对角线互相平分且相等
B
C
D
A
O
情境导入
深入探究
思考：怎样判断一个四边形是否是矩形呢？
定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
除此之外，还有没有其他判定方法呢
与研究平行四边形的判定方法类似，我们研究矩形的性质定理的逆命题，看看它们是否成立。
巧妙论证
探究点1. 对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵四形边ABCD是平行四边形
∴AB=DC,ABIIDC
又AC=BD,BC=CB
∴△ABC≌△DCB(SSS)
∴∠ABC=∠DCB
∵ABIIDC
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴∠ABC=90°
∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）.
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
在平行四边形ABCD中，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
归纳总结
深入探究
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
巧妙论证
探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
已知：如图，在四边形 ABCD 中， ∠A=∠B=∠C =90°
求证：四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
矩形的判定定理：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
在四边形ABCD中，
∵∠A =∠B =∠C = 90°,
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
归纳总结
深入探究
思考：你有什么好办法帮助小木匠顺利完成订单拿到全款呢
典例精析
例1 如图，在 □ ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且 OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
典例精析
B
C
D
E
F
G
H
O
A
例2 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形的对角线相等)，
AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）
∵ AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EO+OG=FO+OH，
即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形.
知识内化
1．下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
×
√
×
×
√
√
知识内化
2．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．∠ABC＝∠BAD D．∠1＝∠2
3.要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( )
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
C
C
知识内化
4.如图，是四根木棒搭成的平行四边形框架，AB=8cm，AD=6cm，使AB固定，转动AD，当∠DAB=_____时，□ABCD的面积最大，此时□ ABCD是_____形，面积为______cm2.
90°
矩
48
课堂小结
作业布置
基础作业：教材P60习题18.1第1, 2, 3, 8题
拓展作业：教材P61第14题

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