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18.5分式方程
基础对点练习
知识点一　分式方程的定义
1．下列方程：①2x＋＝10；②x－＝2；
③－3＝0；④＝0.其中是分式方程的为(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
知识点二　解分式方程
2．(2024·济南检测)若分式方程＝1，则去分母后得(　　)
A．x(x＋2)－1＝x2－4
B．x(x－2)－1＝x2－4
C．x(x＋2)－1＝1
D．x－1＝x2－4
3．分式方程＋1＝的解是(　　)
A．x＝1 B．x＝－2
C．x＝ D．x＝2
4．解方程：
(1)＝－2；
(2)＝.
知识点三　已知分式方程解的情况，求字母的取值范围
5．若x＝3是分式方程＝2的解，则实数k的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
6．若分式方程＝－1无解，则m的值为(　　)
A．－1 B．－1或－
C．3 D．－1或3
7．(2024·菏泽检测)当a＝ 时，关于x的方程＝1的一个解与方程＝3的解相同．
8．若分式方程＝－1的解是正数，求a的取值范围．
关于这道题，有位同学作出如下解答：
知识点四　分式方程的应用
9．一艘轮船在静水中的最大航速为35 km/h，它以最大航速沿江顺流航行120 km所用的时间与以最大航速逆流航行90 km所用的时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为(　　)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
10．某厂计划x天生产120个零件，由于技术改进，每天比计划多生产3个，因此比原计划提前2天完成，则可列方程为(　　)
A．＝－3
B．＝－3
C．＝－3
D．＝－3
11．某社团第一次用120元购买了若干本资料，第二次用240元在同一商家购买了同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．若设第一次买了x本资料，则可列方程为 ．
能力提升练习
12．对于实数a，b，定义一种新运算“ ”，使a b＝.若(－3) x＝2 x，则x的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
13．当x＝ 时，分式与的值互为相反数．
14．(2024·重庆检测)若关于x的一元一次不等式组有解且至多有6个整数解，且关于y的分式方程＋3＝的解是整数，则所有满足条件的整数m的值的和为 ．
15．当a为何值时，关于x的方程＝无解？
16．(2024·泰安检测)甲、乙两辆汽车同时分别从A，B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A，C两城的距离为550 km，B，C两城的距离为500 km，甲车比乙车的速度快10 km/h，结果两辆车同时到达 C城．求甲、乙两辆汽车的速度．
17．某校购买了一批A，B两种型号的跳绳，其中A型号跳绳的单价比B型号跳绳的单价少9元，已知该校用2 600元购买A型号跳绳的条数与用3 500元购买B型号跳绳的条数相等．
(1)求该校购买的A，B两种型号跳绳的单价各是多少元；
(2)若两种跳绳共购买了200条，且购买的总费用不超过6 300元，求A型号跳绳至少购买多少条．
【创新运用】
18．观察下列等式：
＝1－＝＝……
将以上三个等式两边分别相加，得
＝1－＝.
用你发现的规律解答下列问题．
(1)计算下列各式：
①＋…＋；　
②＋…＋.
(2)仿照题干中的计算方法，猜想并写出的值．
(3)解方程：＝.
18.5分式方程
基础对点练习
知识点一　分式方程的定义
1．下列方程：①2x＋＝10；②x－＝2；
③－3＝0；④＝0.其中是分式方程的为(　B　)
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
知识点二　解分式方程
2．(2024·济南检测)若分式方程＝1，则去分母后得(　A　)
A．x(x＋2)－1＝x2－4
B．x(x－2)－1＝x2－4
C．x(x＋2)－1＝1
D．x－1＝x2－4
3．分式方程＋1＝的解是(　D　)
A．x＝1 B．x＝－2
C．x＝ D．x＝2
4．解方程：
(1)＝－2；
(2)＝.
解：(1)方程两边同乘2(x－1)，
得2x＋3＝－4(x－1)．
整理，得2x＋3＝－4x＋4.
解得x＝.
经检验，x＝是原分式方程的解．
(2)方程两边同乘(x＋2)(x－2)，
得(x＋2)2－x(x－2)＝16.
整理，得6x＝12.
解得x＝2.
经检验，当x＝2时，(x＋2)(x－2)＝0，因此x＝2不是原分式方程的解．
∴原分式方程无解．
知识点三　已知分式方程解的情况，求字母的取值范围
5．若x＝3是分式方程＝2的解，则实数k的值为(　D　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
6．若分式方程＝－1无解，则m的值为(　B　)
A．－1 B．－1或－
C．3 D．－1或3
7．(2024·菏泽检测)当a＝ 时，关于x的方程＝1的一个解与方程＝3的解相同．
8．若分式方程＝－1的解是正数，求a的取值范围．
关于这道题，有位同学作出如下解答：
解：去分母，得2x＋a＝－x＋2.
解得x＝.
若方程的解为正数，则>0，
解得a＜2.
∴当a＜2时，分式方程＝－1的解是正数．
上述解法是否有误？若有错误，请说明错误的原因，并写出正确解答；若没有错误，请说出每一步解法的依据．
解：上述解法有错误，错误的原因：解分式方程时没有考虑分母不等于零，即x≠2.
由x≠2，得≠2，解得a≠－4.
∴当a＜2，且a≠－4时，方程＝－1的解是正数．
知识点四　分式方程的应用
9．一艘轮船在静水中的最大航速为35 km/h，它以最大航速沿江顺流航行120 km所用的时间与以最大航速逆流航行90 km所用的时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为(　D　)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
10．某厂计划x天生产120个零件，由于技术改进，每天比计划多生产3个，因此比原计划提前2天完成，则可列方程为(　D　)
A．＝－3
B．＝－3
C．＝－3
D．＝－3
11．某社团第一次用120元购买了若干本资料，第二次用240元在同一商家购买了同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．若设第一次买了x本资料，则可列方程为 ＝4 ．
能力提升练习
12．对于实数a，b，定义一种新运算“ ”，使a b＝.若(－3) x＝2 x，则x的值为(　B　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
13．当x＝ 时，分式与的值互为相反数．
14．(2024·重庆检测)若关于x的一元一次不等式组有解且至多有6个整数解，且关于y的分式方程＋3＝的解是整数，则所有满足条件的整数m的值的和为 －6 ．
解析：解关于x的一元一次不等式组解得
根据题意，得－6＜m－1＜1，
∴－5＜m＜2.
解关于y的分式方程＋3＝，得y＝.
∵分式方程的解为整数，－5＜m＜2，且≠1，
∴满足条件的整数m的值为－4，－2.
∴所有满足条件的整数m的值的和是－4－2＝－6.
故答案为－6.
15．当a为何值时，关于x的方程＝无解？
解：方程两边乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋ax＝3(x－2)．
整理，得(a－1)x＝－10.
①当a－1＝0，解得a＝1时，原分式方程无解；
②当a－1≠0，原分式方程有增根x＝±2.
当x＝2时，2(a－1)＝－10，解得a＝－4；
当x＝－2时，－2(a－1)＝－10，解得a＝6.
综上所述，当a的值为1或－4或6时，原分式方程无解．
16．(2024·泰安检测)甲、乙两辆汽车同时分别从A，B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A，C两城的距离为550 km，B，C两城的距离为500 km，甲车比乙车的速度快10 km/h，结果两辆车同时到达 C城．求甲、乙两辆汽车的速度．
解：设甲车的速度是x km/h.
依题意，得＝.
解得x＝110.
经检验，x＝110是原分式方程的解，且符合题意．
∴甲车的速度为110 km/h，乙车的速度为100 km/h.
17．某校购买了一批A，B两种型号的跳绳，其中A型号跳绳的单价比B型号跳绳的单价少9元，已知该校用2 600元购买A型号跳绳的条数与用3 500元购买B型号跳绳的条数相等．
(1)求该校购买的A，B两种型号跳绳的单价各是多少元；
(2)若两种跳绳共购买了200条，且购买的总费用不超过6 300元，求A型号跳绳至少购买多少条．
解：(1)设B型号跳绳的单价为x元/条，则A型号跳绳的单价为(x－9)元/条．
根据题意，得＝，
解得x＝35.
经检验，x＝35是原分式方程的解，且符合题意．
x－9＝26.
答：A型号跳绳的单价为26元/条，B型号跳绳的单价为35元/条．
(2)设购买A型号跳绳a条，则购买B型号跳绳(200－a)条．
根据题意，得26a＋35(200－a)≤6 300，
解得a≥.
∵a为正整数，
∴a的最小值为78.
答：A型号跳绳至少购买78条．
【创新运用】
18．观察下列等式：
＝1－＝＝……
将以上三个等式两边分别相加，得
＝1－＝.
用你发现的规律解答下列问题．
(1)计算下列各式：
①＋…＋；　
②＋…＋.
(2)仿照题干中的计算方法，猜想并写出的值．
(3)解方程：＝.
解：(1)①＋…＋　
＝1－＋…＋　
＝1－
＝.
②＋…＋
＝1－＋…＋
＝1－
＝.
(2)＝.
(3)仿照(2)中的结论，原方程可变形为＋＝.
整理，得＝，
即＝.
解得x＝2.
经检验，x＝2是原分式方程的解．
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