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18.1　分式及其基本性质
基础对点练习
知识点一　分式的概念
1．(2024·济宁检测)下列各式中是分式的是(　　)
A． B．
C． D．＝
2．在代数式xy2，中，共有 2 个分式．
知识点二　分式有意义的条件
3．若分式的值为零，则x的值是(　　)
A．±3 B．－3
C．3 D．－2
4．若分式的值为0，则a＝ ．
5．已知y＝，m取何值时：
(1)y的值是正数？
(2)y的值是负数？
(3)y的值是零？
(4)分式无意义？
知识点三　分式的基本性质
6．如果把中的x与y都扩大为原来的3倍，那么这个代数式的值(　　)
A．不变
B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的
D．扩大为原来的9倍
7．下列运算中，错误的是(　　)
A．＝(c≠0)
B．＝－1
C．＝
D．＝
知识点四　分式的约分和通分
8．下列分式中，最简分式是(　　)
A． B．
C． D．
9．(2024·东营检测)式子的最简公分母是(　　)
A．24x2y2xy B．24x2y2
C．12x2y2 D．6x2y2
10．约分：
(1)；(2)；
(3).
11．通分：
(1)与；
(2)与.
能力提升练习
12．若分式有意义且它的值为零(a，b，c均为正实数)，其中a，b，c的值为三角形三条边的长，则此三角形一定为(　　)
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．各边都不相等的三角形
D．直角三角形
13．使分式的值为整数，则整数x可取的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
14．(2024·临沂检测)分式，－的最简公分母是(　　)
A．(x2－x)(x＋1)
B．(x2－1)(x＋1)2
C．x(x－1)(x＋1)2
D．x(x＋1)2
15．已知＝＝，求的值．
16．已知不论x为何实数，分式总有意义，试求m的取值范围．
17．(2024·临沂检测)有甲、乙两筐水果，甲筐水果的质量为(m－1)2kg，乙筐水果的质量为(m2－1)kg(m>1)，售完后，两筐水果都卖了120元．试说明哪筐水果的单价卖得高．
【创新运用】
18．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．如：＝1＋.在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．如：，…，这样的分式是假分式；如：，…，这样的分式是真分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
如：＝＝1＋；
＝＝x＋1＋.
解决下列问题：
(1)已知x为整数，且分式为整数，则x的值为 ；
(2)将分式化为整式与真分式的和的形式；
(3)如果分式的值为整数，求x的整数值．
18.1　分式及其基本性质
基础对点练习
知识点一　分式的概念
1．(2024·济宁检测)下列各式中是分式的是(　C　)
A． B．
C． D．＝
2．在代数式xy2，中，共有 2 个分式．
知识点二　分式有意义的条件
3．若分式的值为零，则x的值是(　B　)
A．±3 B．－3
C．3 D．－2
4．若分式的值为0，则a＝ －3 ．
5．已知y＝，m取何值时：
(1)y的值是正数？
(2)y的值是负数？
(3)y的值是零？
(4)分式无意义？
解：(1)m>－1且m≠2.
(2)m<－1.
(3)m＝－1.
(4)m＝2.
知识点三　分式的基本性质
6．如果把中的x与y都扩大为原来的3倍，那么这个代数式的值(　B　)
A．不变
B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的
D．扩大为原来的9倍
7．下列运算中，错误的是(　D　)
A．＝(c≠0)
B．＝－1
C．＝
D．＝
知识点四　分式的约分和通分
8．下列分式中，最简分式是(　B　)
A． B．
C． D．
9．(2024·东营检测)式子的最简公分母是(　C　)
A．24x2y2xy B．24x2y2
C．12x2y2 D．6x2y2
10．约分：
(1)；(2)；
(3).
解：(1).　 (2).　(3).
11．通分：
(1)与；
(2)与.
解：(1)最简公分母为18a2b2c，
∴＝＝.
(2)最简公分母为2(x＋4)(x－4)，
∴＝，
＝.
能力提升练习
12．若分式有意义且它的值为零(a，b，c均为正实数)，其中a，b，c的值为三角形三条边的长，则此三角形一定为(　A　)
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．各边都不相等的三角形
D．直角三角形
13．使分式的值为整数，则整数x可取的个数为(　C　)
A．2 B．3
C．4 D．5
14．(2024·临沂检测)分式，－的最简公分母是(　C　)
A．(x2－x)(x＋1)
B．(x2－1)(x＋1)2
C．x(x－1)(x＋1)2
D．x(x＋1)2
15．已知＝＝，求的值．
解：设x＝3k，y＝4k，z＝5k，
∴＝.
16．已知不论x为何实数，分式总有意义，试求m的取值范围．
解：x2－6x＋m＝(x－3)2＋m－9.
∵(x－3)2≥0，
∴当m－9>0，即m>9时，x2－6x＋m始终为正数，且分式总有意义．
17．(2024·临沂检测)有甲、乙两筐水果，甲筐水果的质量为(m－1)2kg，乙筐水果的质量为(m2－1)kg(m>1)，售完后，两筐水果都卖了120元．试说明哪筐水果的单价卖得高．
解：由题意，得甲筐水果的单价为元/千克，乙筐水果的单价为元/千克.
∵最简公分母为(m－1)2(m＋1)，
∴＝，
＝＝.
∵m＋1>m－1，
∴>.
∴甲筐水果的单价卖得高．
【创新运用】
18．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．如：＝1＋.在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．如：，…，这样的分式是假分式；如：，…，这样的分式是真分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
如：＝＝1＋；
＝＝x＋1＋.
解决下列问题：
(1)已知x为整数，且分式为整数，则x的值为 3或1或4或0 ；
(2)将分式化为整式与真分式的和的形式；
(3)如果分式的值为整数，求x的整数值．
解：(1)∵＝＝＝3＋，
又∵的值为整数，且x为整数，
∴x－2为2的约数．
∴x－2的值为1或－1或2或－2.
∴x的值为3或1或4或0.
故答案为3或1或4或0.
(2)＝＝1＋.
(3)＝
＝＝x＋1＋.
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴x－2为2的约数．
∴x－2的值为1或－1或2或－2.
∴x的值为3或1或4或0.
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